- •Знайти екстремум функції за умови.
- •4. Знайти екстремум функції за умови .
- •Знайти екстремуми функції .
- •Знайти розв’язок задачі Коші
- •Знайти екстремум функції за умови .
- •2. Показати, що поле потенціальне та знайти його потенціал.
- •5. Знайти розв’язок задачі Коші
- •Знайти масу кардіоїди , якщо лінійна густина маси .
- •Знайти потік векторного поля через зовнішню сторону поверхні тіла, обмеженого поверхнями
- •Знайти найбільше та найменше значення функції в області .
- •Знайти потік векторного поля через зовнішню сторону поверхні тіла, обмеженого поверхнями
- •Знайти розв’язок задачі Коші
- •Знайти екстремум функції за умови .
- •Знайти розв’язок задачі Коші .
№ 1
1. Заміна змінних в кратних інтегралах. Подвійний інтеграл в полярній системі координат.
2. Знайти циркуляцію поля вздовж замкненого контуру С: , який обходиться проти годинникової стрілки.
3. Знайти потік векторного поля через внутрішню сторону частини поверхні , яка розташована в першому октанті.
4. Знайти екстремуми функції .
5. Знайти розв’язок задачі Коші .
№ 2
1. Диференціювання складеної функції багатьох змінних. Повна похідна функції.
2. Показати, що поле потенціальне та знайти його потенціал.
3. Знайти потік векторного поля через зовнішню сторону поверхні тіла, обмеженого поверхнями .
4. Знайти екстремум функції за умови .
5. Знайти розв’язок задачі Коші
№ 3
1. Деякі типи ДР: диференціальні рівняння першого порядку з відокремленими та відокремлюваними змінними; однорідні ДР першого порядку.
2. Показати, що поле потенціальне та знайти його потенціал.
3. Знайти масу частини поверхні , яка відтинається від неї циліндром при заданій поверхневій густині маси .
4. Знайти найбільше та найменше значення функції в області
5. Знайти розв’язок задачі Коші .
№ 4
1. Задача про обчислення маси матеріальної кривої. Криволінійні інтеграли І роду (по довжині дуги). Означення та обчислення, фізичний зміст та властивості. Криволінійні інтеграли І роду (по довжині дуги): означення, умови існування, фізична зміст та обчислення.
2. Знайти масу кардіоїди , якщо лінійна густина маси .
3. Знайти потік векторного поля через зовнішню сторону поверхні тіла, обмеженого поверхнями .
4. Знайти екстремуми функції .
5. Знайти криву, для якої довжина відрізка, що його нормаль відтинає від осі ОХ, дорівнює .
№ 5
-
Означення ФСР ОЛДР n-го порядку. Необхідні та достатні умови існування такої системи.
-
Показати, що поле потенціальне та знайти роботу поля при переміщенні матеріальної точки від точки А(-1,2) до В(2,3).
-
Знайти масу частини однорідної поверхні яка відтинається від неї поверхнями , перший октант.
-
Знайти екстремум функції за умови .
5. Знайти розв’язок задачі Коші
№ 6
-
Задача про роботу змінної сили по переміщенню матеріальної точки вздовж кривої. Криволінійні інтеграли ІІ роду (за координатами). Означення та фізичний зміст, властивості. Криволінійні інтеграли ІІ роду загального виду.
-
Знайти масу однієї арки циклоїди якщо лінійна густина маси
-
Знайти потік векторного поля через зовнішню сторону поверхні тіла, обмеженого поверхнями .
-
Знайти площу фігури, обмеженої лініями
-
Знайти розв’язок задачі Коші .
№ 7
-
Потенціальні векторні поля та їх властивості. Скалярний потенціал векторного поля: означення та його обчислення. Необхідна і достатня ознака потенціальності векторного поля.
-
При заданій густині заряду знайти заряд, розподілений вздовж відрізка прямої від А(0,0) до В(4,3).
-
Знайти потік векторного поля через зовнішню сторону частини поверхні
-
Знайти екстремум функції
-
Знайти розв’язок задачі Коші
№ 8
-
Зв’язність області. Формула Гріна: формулювання та доведення.
-
Знайти масу заряду, розподіленого вздовж астроїди , якщо лінійна густина заряду .
-
Знайти потік векторного поля через внутрішню частину поверхні
-
Знайти екстремуми функції .
-
Знайти розв’язок задачі Коші .
№ 9
1. ОЛДР n-го порядку: ФСР, структура загального розв’язку, формула Остроградського-Ліувілля.
2. Знайти циркуляцію поля вздовж кола , яке обходиться проти годинникової стрілки.
3. Знайти потік векторного поля через зовнішню сторону частини поверхні , яка розташована в І октанті .
4. Знайти найбільше та найменше значення функції в області .
5. Знайти розв’язок задачі Коші
№ 10
1. ДР n-го порядку: загальний вигляд; задача Коші; загальний розв'язок; теорема Коші. Існування та єдиність розв’язку задачі Коші.
2. Знайти роботу сили , яка виконується при переміщенні матеріальної точки вздовж ламаної , якщо .
3. Знайти потік векторного поля через зовнішню сторону поверхні тіла, обмеженого поверхнями
4. Знайти екстремум функції .
5. Знайти розв’язок задачі Коші
№ 11
1. Потенціальні та соленоїдальні векторні поля: означення та їх властивості. Векторні труби.
2. Знайти масу заряду , розподіленого вздовж лінії якщо задана густина заряду .
3. Знайти потік векторного поля через зовнішню сторону поверхні тіла, обмеженого поверхнями
4. Знайти найбільше та найменше значення функції в області
5. Знайти розв’язок задачі Коші
№ 12
1. Поняття подвійного інтегралу, його обчислення по прямокутній та довільній області. Геометричний зміст. Фізичні застосування подвійного інтеграла. Теорема про середнє в подвійному інтегралі.
2. Знайти масу петлі кривої (першої арки), якщо лінійна густина маси дорівнює .
3. Знайти потік векторного поля через зовнішню сторону частини поверхні , якщо .
4. Знайти екстремуми функції .
5. Знайти розв’язок задачі Коші
№ 13
-
Поняття подвійного інтегралу Рімана по області, необхідна умова існування, класи інтегрованих функцій, геометричний та фізичний зміст. Властивість лінійності в подвійному інтегралі.
-
Знайти масу дуги лінії від до , якщо лінійна густина маси
-
Знайти потік векторного поля через внутрішню сторону частини поверхні
-
Знайти екстремум функції
-
Знайти розв’язок задачі Коші
№ 14
1. Заміна змінних в кратних інтегралах. Потрійний інтеграл в циліндричних і сферичних координатах.
2. Знайти циркуляцію поля вздовж замкненого контуру С: , який обходиться проти годинникової стрілки.
3. Знайти потік векторного поля через внутрішню сторону частини поверхні , яка розташована в першому октанті.
4. Знайти екстремуми функції .
5. Знайти розв’язок задачі Коші .
№ 15
1. Частинний та повний прирости функції в точці. Частинні похідні функцій багатьох змінних та їх геометричний зміст при n=2. Диференційованість функції багатьох змінних в точці (означення). Необхідна та достатня умови диференційовності функції. Диференціал функції.
2. Знайти координати центра ваги однорідної дуги циклоїди , якщо .
3. Знайти потік векторного поля через зовнішню сторону частини поверхні
-
Знайти екстремум функції за умови.
№ 16
1. Формула Тейлора для функції багатьох змінних.
2. Знайти масу дуги кубічної параболи , якщо лінійна густина маси дорівнює .
3. Знайти потік векторного поля через внутрішню сторону частини поверхні , яка розташована у І октанті.
4. Знайти екстремум функції за умови .
5. Знайти загальний розв’язок рівняння
№ 17
1. Локальний екстремум функції багатьох змінних: означення, необхідна та достатня умови існування.
2. Знайти роботу сили , яка виконується при переміщенні матеріальної точки вздовж дуги в напрямку зростання параметру.
3. Знайти масу частини поверхні , яка відтинається від неї поверхнями , (І октант), якщо поверхнева густина маси дорівнює
4. Знайти екстремум функції .
5. Зінтегрувати диференціальне рівняння:
№ 18
1. Існування неявно заданої функції та її диференціювання.
2. При заданій лінійній густині заряду знайти масу заряду, розподіленого вздовж лінії, яка задана параметрично .
3. Знайти потік векторного поля через зовнішню сторону поверхні тіла, обмеженого поверхнями
4. Знайти екстремум функції за умови
5. Знайти розв’язок задачі Коші
№ 19
1. Квадратична форма n-змінних: означення, знаковизначеність. Критерій Сильвестра.
2. Показати, що поле потенціальне та знайти його потенціал.
3. Знайти масу частини однорідної поверхні , яку відтинає від неї поверхня
4. Знайти екстремуми функції .
5. Зінтегрувати диференційне рівняння: .
№ 20
-
Однорідні функції. Однорідні диференціальні рівняння 1-го порядку та ті, що зводяться до них.
-
При заданій густині заряду знайти заряд, розподілений вздовж відрізка прямої від А(0,0) до В(4,3).
-
Знайти потік векторного поля через зовнішню сторону частини поверхні
-
Знайти екстремум функції
-
Знайти розв’язок задачі Коші
№ 21
1. Дивергенція векторного поля: означення та її властивості. Формула Остроградського-Гауса в координатній і векторній формі.
2. Показати, що поле потенціальне та знайти його потенціал.
3. Знайти масу однорідної частини поверхні , вирізаної з неї поверхнями (І октант).
4. Знайти умовні екстремуми функції за умови
5. Знайти розв’язок задачі Коші
№ 22
1. Лінійно залежні і лінійно незалежні системи функцій. Визначник Вронського для лінійно-залежних систем функцій.
2. При заданій лінійній густині маси , знайти масу лінії
3. Знайти потік векторного поля через внутрішню частину поверхні , яка розташована у першому октанті.
4. Знайти екстремуми функції
5. Знайти загальний розв’язок рівняння
№ 23
1. Площа криволінійної поверхні: означення та її обчислення за допомогою подвійного та поверхневого інтегралів.
2. Знайти роботу сили , при переміщенні матеріальної точки вздовж дуги , якщо .
3. Знайти потік радіус-вектора точки через зовнішню сторону поверхні тіла, обмеженого поверхнями
4. Знайти екстремуми функції .
5. Знайти розв’язок задачі Коші
№ 24
1. Умовний екстремум функції багатьох змінних: означення, необхідна умова існування. Обчислення методом виключення і Лагранжа.
2. Показати, що поле потенціальне та знайти його потенціал.
3. Знайти потік векторного поля через зовнішню сторону поверхні тіла, обмеженого поверхнями
4. Знайти екстремуми функції .
5. Знайти розв’язок задачі Коші .
№ 25
1. Диференціальні операції другого порядку в стаціонарних та векторних полях.
2. Знайти масу петлі кривої (першої арки), якщо лінійна густина маси дорівнює .
3. Знайти потік векторного поля через зовнішню сторону частини поверхні , якщо .
4. Знайти екстремуми функції .
5. Знайти розв’язок задачі Коші
№ 26
1. Потрійний інтеграл: означення та обчислення зведенням до повторного. Геометричний та фізичний зміст. Застосування потрійних інтегралів в механіці.
2. Знайти роботу сили , при переміщенні матеріальної точки вздовж прямої від точки А(1,1,1) до точки В(2,3,4).
3. Знайти масу однорідних частин поверхні кулі , які відтинаються від неї циліндром .
4. Знайти екстремуми функції .
5. Зінтегрувати диференційне рівняння:
№ 27
1. Скалярне поле. Похідна скалярного поля за напрямом. Градієнт скалярного поля та його властивості.
2. Знайти масу всієї кардіоїди , якщо лінійна густина маси
3. Знайти потік векторного поля через зовнішню сторону частини поверхні , яка розташована у І октанті.
4. Знайти екстремуми функції за умови .
5. Знайти криві, для яких площа трикутника, утвореного віссю ОХ, дотичною і радіус-вектором точки дотику, стала і дорівнює .
№ 28
1. Дотична площина і нормаль до поверхні. Геометричний зміст диференціалу двох змінних.
2. Показати, що поле потенціальне та знайти його потенціал.
3. Знайти центр ваги частини поверхні параболоїда , яка відтинається від нього площиною , якщо поверхнева густина маси обернено пропорційна до .
4. Знайти екстремум функції .
5. Знайти розв’язок задачі Коші .
№ 29
1. Векторне поле. Потік векторного поля через просту і замкнену поверхню. Фізичний зміст потоку векторного поля.
2. При заданій лінійній густині заряду знайти заряд, розподілений вздовж лінії .
3. Знайти потік векторного поля через зовнішню сторону поверхні тіла, обмеженого поверхнями .
4. Знайти екстремум функції за умови .
5. Знайти розв’язок задачі Коші .
№ 30
1. Диференціальні рівняння вищих порядків, що допускають зниження порядку.
2. Знайти роботу сили , яка виконується при переміщенні матеріальної точки вздовж дуги в напрямку зростання параметру.
3. Знайти масу частини поверхні , яка відтинається від неї поверхнями , (І октант), якщо поверхнева густина маси дорівнює
4. Знайти екстремум функції .
5. Зінтегрувати диференціальне рівняння: .
№ 31
1. Умови незалежності криволінійного інтегралу ІІ роду від форми кривої інтегрування.
2. Знайти циркуляцію поля вздовж замкненого контуру С: , який обходиться проти годинникової стрілки.
3. Знайти потік векторного поля через внутрішню сторону частини поверхні , яка розташована в першому октанті.
4. Знайти екстремуми функції .
5. Знайти розв’язок задачі Коші
№ 32
1. Диференційовність функції багатьох змінних в точці. Поняття диференціалу в точці та його властивості. Наближені обчислення за допомогою диференціала.
2. Показати, що поле потенціальне та знайти його потенціал.
3. Знайти потік векторного поля через зовнішню сторону поверхні тіла, обмеженого поверхнями .
4. Знайти екстремум функції за умови .
5. Знайти розв’язок задачі Коші
№ 33
1. Лінійні ДР першого порядку; рівняння Бернуллі.
2. Показати, що поле потенціальне та знайти його потенціал.
3. Знайти масу частини поверхні , яка відтинається від неї циліндром при заданій поверхневій густині маси .
4. Знайти найбільше та найменше значення функції в області
5. Знайти розв’язок задачі Коші
№ 34
1. Векторне поле. Циркуляція та ротор векторного поля. Теорема Стокса про зв’язність між ними.
2. Знайти масу кардіоїди , якщо лінійна густина маси .
3. Знайти потік векторного поля через зовнішню сторону поверхні тіла, обмеженого поверхнями .
4. Знайти екстремуми функції .
5. Знайти криву, для якої довжина відрізка, що його нормаль відтинає від осі ОХ, дорівнює .
№ 35
-
ОЛДР n-го порядку. Властивості розв’язків ОЛДР n-го порядку та структура загального розв’язку ОЛДР n-го порядку.
-
Показати, що поле потенціальне та знайти роботу поля при переміщенні матеріальної точки від точки А(-1,2) до В(2,3).
-
Знайти масу частини однорідної поверхні яка відтинається від неї поверхнями , перший октант.
-
Знайти екстремум функції за умови .
5. Знайти розв’язок задачі Коші
№ 36
-
Орієнтація поверхні. Поняття поверхневого інтегралу ІІ роду, правило обчислення по простій поверхні, зведення до подвійного, властивості, геометричний і фізичний зміст.
-
Знайти масу однієї арки циклоїди якщо лінійна густина маси
-
Знайти потік векторного поля через зовнішню сторону поверхні тіла, обмеженого поверхнями .
-
Знайти площу фігури, обмеженої лініями
-
Знайти розв’язок задачі Коші .
№ 37
-
Ротор векторного поля: означення, властивості, інваріантне означення, фізичний зміст. Формула Стокса в векторній формі.
-
Знайти масу заряду, розподіленого вздовж кривої , якщо лінійна густина заряду
-
Знайти потік векторного поля через зовнішню сторону поверхні тіла, обмеженого поверхнями (І октант).
-
Знайти екстремум функції
-
Знайти закон руху матеріальної точки, маса якої , по прямі ОА під дією відштовхуючої сили, обернено пропорційної кутові відстані х=ОМ від точки М до нерухомого центру.
№ 38
-
Означення ДР та його розв’язку. ДР 1-го порядку. Поле напрямів і ізоклін. Теорема Коші. Загальний розв’язок і розв’язок задачі Коші.
-
Знайти масу заряду, розподіленого вздовж дуги , якщо лінійна густину заряду
-
Знайти потік векторного поля через зовнішню сторону частини поверхні
-
Знайти загальний розв’язок рівняння
-
Знайти найбільше та найменше значення функції в області області D:
№ 39