ЗАДАНИЕ N 1 Тема: Правила дифференцирования Производная функции равна …
Решение: Для нахождения производной необходимо воспользоваться правилами , , , где c – постоянная величина, а U и V – некоторые функции, зависящие от x, и формулами Тогда получим
ЗАДАНИЕ N 2 Тема: Производная функции в точке Если то принимает значение, равное … |
Решение: Напоминаем, что производная суммы двух функций равна сумме производных этих функций. Тогда имеем Пусть . Получим
ЗАДАНИЕ N 3 Тема: Дифференциал функции Для приближенного вычисления значения функции y(x) в точке можно использовать формулу где приращение функции в точке Функция y(x) определяется из условия задачи. Значения и выбираются так, чтобы можно было вычислить и при этом , взятое по модулю, было бы как можно меньше. Тогда приближенное значение выражения равно …
Решение: . Так как , то можно рассмотреть функцию Пусть тогда Имеем: По формуле получим:
ЗАДАНИЕ N 4 Тема: Наибольшее и наименьшее значения функции Функция имеет на отрезке наибольшее значение, равное …
Решение: Заметим, что функция непрерывна на отрезке . Найдем производную В данном задании критическими являются точки, в которых производная равна нулю. То есть . Корнями полученного уравнения являются и Обращаем внимание на то, что точка не принадлежит отрезку Вычислим значения функции в точке и на концах данного отрезка. Наибольшее значение функции на указанном промежутке равно 10.
ЗАДАНИЕ N 6 Тема: Экстремум функции Для функции точка минимума равна …
Решение: Заметим, что . Для отыскания точек экстремума нужно найти точки, в которых производная равна нулю или не существует. Из полученного уравнения имеем Отметим эти точки на числовой прямой. Напоминаем, что в точке функция не существует. Найдем знак производной на каждом из получившихся промежутков. Точки и являются экстремальными, так как при переходе через эти точки производная меняет знак. – точка минимума, так как производная меняет знак с «-» на «+».
ЗАДАНИЕ N 7 Тема: Действия над множествами Пусть на рисунке изображены множества и Тогда заштрихованная область соответствует множеству …
ЗАДАНИЕ N 8 Тема: Прямое произведение двух множеств Пусть , . Тогда прямое произведение равно …
Решение: Прямое произведение содержит множество упорядоченных пар вида , в которых x пробегает все значения из множества A, а y – все значения из множества B, тогда
ЗАДАНИЕ N 9 Тема: Основные понятия теории множеств Даны множества нечетное и Тогда верными будут утверждения …
|
множество A бесконечно |
|
|
Решение: Обращаем внимание, что множества заданы с помощью характеристического свойства. Зададим их перечислением элементов. Получим и . Тогда очевидно, что утверждения и «множество A бесконечно» являются верными, а утверждения и являются ложными.
ЗАДАНИЕ N 10 Тема: Числовые множества Числовые множества – это множества, элементами которых являются числа. Примеры таких множеств: R – множество действительных чисел, Q – множество рациональных чисел, Z – множество целых чисел, N – множество натуральных чисел. Пусть дано множество , тогда верными будут утверждения …
|
|
|
|
Решение: Элементами множества A являются целые числа. Значит, справедливы утверждения, что и . Так как отрицательные числа не являются натуральными, то неверно. Неверным является и , так как множество A содержит в себе всего три числа.
ЗАДАНИЕ N 11 Тема: Способы задания множеств, конечные и бесконечные множества Даны множества и Тогда верными будут утверждения …
|
|
|
|
Решение: Обращаем внимание, что множества заданы с помощью характеристического свойства. Зададим их перечислением элементов. Элементы множества A являются корнями уравнения . Решим его, получим . Значит, и утверждение ложное. Аналогично получим . Для множеств A и B элемент 3 является общим, значит, утверждение истинное. По этой же причине утверждение ложное. Объединение множеств содержит все элементы, которые содержатся в каждом из них, поэтому утверждение истинное.
ЗАДАНИЕ N 12 Тема: Действия над конечными множествами Даны множества и . Тогда равно …
|
|
|
|
ЗАДАНИЕ N 13 Тема: Первый замечательный предел равен …
Решение: Напоминаем, что для вычисления предела функции нужно воспользоваться первым замечательным пределом и соотношением . Для этого необходимо выполнить замену переменной откуда Учитывая, что при , получаем
ЗАДАНИЕ N 14 Тема: Предел функции в точке Предел функции равен …
Решение: Напоминаем, что для вычисления предела многочлена при достаточно вместо переменной поставить значение , к которому она стремится, и выполнить соответствующие действия:
ЗАДАНИЕ N 15 Тема: Способы задания числовых последовательностей Дана числовая последовательность Установите соответствие между номером и соответствующим членом данной последовательности.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение: Для того чтобы найти определенный член последовательности, нужно вместо в данное равенство подставить его номер.
Задание n 16 Тема: Второй замечательный предел
ЗАДАНИЕ N 17 Тема: Раскрытие неопределенности вида "ноль на ноль" равен …
Решение: Обращаем внимание, что предел данной функции нельзя вычислить непосредственной подстановкой предельного значения аргумента в выражение, так как при этом получается неопределенность вида . Поэтому нужно преобразовать функцию, используя формулу разности квадратов . Имеем: Сократив полученную дробь на критический множитель , и подставив предельное значение аргумента в оставшееся выражение, получим
ЗАДАНИЕ N 18 Тема: Раскрытие неопределенности вида "бесконечность на бесконечность" равен …
Решение: Обращаем внимание, что так как и то в данном случае имеет место неопределенность вида . Для ее раскрытия нужно разделить каждое слагаемое числителя и знаменателя на (наивысшую степень в данной дроби). Тогда, зная, что , получим:
ЗАДАНИЕ N 19 Тема: Методы вычисления неопределенных интегралов Неопределенный интеграл равен …
Решение: Обращаем внимание, что подстановка приводит рассматриваемый интеграл к табличному: Для этого нужно найти дифференциал от обеих частей подстановки: . Подставляя получившиеся выражения в исходный интеграл, получаем Заменив его выражением из подстановки, имеем
ЗАДАНИЕ N 20 Тема: Неопределенный интеграл Неопределенный интеграл равен …
ЗАДАНИЕ N 21 Тема: Геометрические приложения определенного интеграла Площадь фигуры, изображенной на заданном рисунке, равна …
Решение: Обращаем внимание, что площадь данной плоской фигуры вычисляется по формуле Тогда Получаем, что площадь фигуры равна (кв. ед.).
ЗАДАНИЕ N 22 Тема: Свойства определенного интеграла Определенный интеграл равен …
Решение: Обращаем внимание, что используя свойства интеграла и , исходный интеграл можно представить в виде разности двух выражений и, применяя формулу Ньютона – Лейбница , получим:
ЗАДАНИЕ N 23 Тема: Определенный интеграл. Формула Ньютона - Лейбница Определенный интеграл равен …
Решение: Напоминаем, что формула Ньютона – Лейбница имеет вид В нашем случае, используя формулу , имеем
ЗАДАНИЕ N 24 Тема: Физические приложения определенного интеграла Скорость движения тела задана уравнением . Тогда путь, пройденный телом за время от второй секунды до четвертой секунды движения, равен …
Решение: Напоминаем, что путь , пройденный телом за отрезок времени от до , движущимся прямолинейно со скоростью , вычисляется по формуле: . Тогда, используя условие, имеем:
ЗАДАНИЕ N 25 Тема: Элементы комбинаторики Автомобилю может быть присвоен номер, состоящий из 4 цифр: 1, 3, 5, 7. Цифры в номере повторяться не могут. Тогда максимальное количество автомобилей, которым могут быть присвоены такие номера, равно …
Решение: Число различных номеров из 4 цифр: 1, 3, 5, 7, в которых каждая цифра встречается ровно один раз, равно числу перестановок из четырех элементов:
ЗАДАНИЕ N 26 Тема: Классическое определение вероятности В урне 10 шаров, имеющих номера: 1, 2, …, 10. Наугад вынутый шар имеет номер, кратный 3, с вероятностью, равной …
Решение: Вероятностью Р(А) события А называется отношение числа благоприятных для А исходов к числу всех равновозможных исходов. По условию задачи число благоприятных исходов, то есть количество выпадений номеров, кратных 3: 3, 6 и 9, равно 3. Число всех равновозможных исходов равно 10, тогда
ЗАДАНИЕ N 27 Тема: Объем выборки Объем выборки, заданной статистическим распределением , равен …
Решение: Случайная величина Х принимает некоторое значение 120 раз, второе значение − 180 раз, третье значение − 205 раз и четвертое значение 95 раз. Тогда 120 + 180 + + 205 + 95 = 600 – объем выборки.
ЗАДАНИЕ N 28 Тема: Характеристики вариационного ряда. Выборочное среднее Выборочное среднее для вариационного ряда равно …
ЗАДАНИЕ N 29 Тема: Математическое ожидание дискретной случайной величины Математическое ожидание М(Х) случайной величины, имеющей закон распределения вероятностей , равно …
Решение: Воспользуемся формулой где – значение дискретной случайной величины; а – вероятность, с которой дискретная случайная величина принимает значение . Тогда
ЗАДАНИЕ N 30 Тема: Теоремы сложения и умножения вероятностей В первой урне 2 белых и 3 черных шара, во второй − 4 белых и 6 черных шаров. Из каждой урны вынули по одному шару. Вероятность того, что оба вынутых шара будут белыми, равна …
Решение: Пусть событие А означает, что из первой урны вынули белый шар, тогда Событие В означает, что из второй урны вынули белый шар, значит, События А и В являются независимыми. Тогда вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий:
ЗАДАНИЕ N 1 Тема: Классическое определение вероятности В урне 30 красных, 25 зеленых и 75 желтых шаров. Наугад вынутый шар окажется красным с вероятностью, равной …
ЗАДАНИЕ N 2 Тема: Объем выборки Объем выборки, заданной статистическим распределением , равен …
Решение: Случайная величина Х принимает некоторое значение 120 раз, второе значение − 180 раз, третье значение − 205 раз и четвертое значение 95 раз. Тогда 120 + 180 + + 205 + 95 = 600 – объем выборки.
ЗАДАНИЕ N 3 Тема: Элементы комбинаторики Пин–код пластиковой карты состоит из 4 цифр: 4, 5, 6, 7. Если бы каждая цифра встречалась ровно один раз, то максимальное количество карт с такими кодами было бы равно …
Решение: Число различных кодов, состоящих из 4 цифр: 4, 5, 6, 7, в которых каждая цифра встречается ровно один раз, равно числу перестановок из четырех элементов:
ЗАДАНИЕ N 4 Тема: Математическое ожидание дискретной случайной величины Математическое ожидание М(Х) случайной величины, имеющей закон распределения вероятностей , равно …
ЗАДАНИЕ N 5 Тема: Характеристики вариационного ряда. Выборочное среднее Выборочное среднее для вариационного ряда равно …
Решение: Выборочным средним называется среднее арифметическое всех значений выборки: Обращаем внимание, что значение «1» некоторая случайная величина принимает 2 раза, значение «4» – 2 раза, значение «8» – 5 раз и значение «10»− 1 раз. Тогда среднее арифметическое всех значений выборки равно
ЗАДАНИЕ N 6 Тема: Теоремы сложения и умножения вероятностей Первый спортсмен попадает в мишень с вероятностью , а второй – с вероятностью . Оба спортсмена стреляют одновременно. Вероятность того, что они оба промахнутся, равна …
Решение: Если первый спортсмен попадает в мишень с вероятностью , то вероятность промаха равна . Аналогично вероятность промаха для второго спортсмена равна . Тогда вероятность совместного появления двух независимых событий (два промаха) равна произведению вероятностей этих событий:
ЗАДАНИЕ N 7 Тема: Правила дифференцирования Производная функции равна …
ЗАДАНИЕ N 8 Тема: Экстремум функции Для функции точка максимума равна …
Решение: Заметим, что . Для отыскания точек экстремума нужно найти точки, в которых производная равна нулю или не существует. Из полученного уравнения имеем Отметим эти точки на числовой прямой. Напоминаем, что в точке функция не существует. Найдем знак производной на каждом из получившихся промежутков. Точки и являются экстремальными, так как при переходе через эти точки производная меняет знак. – точка максимума, так как производная меняет знак с «+» на «-».
ЗАДАНИЕ N 9 Тема: Дифференциал функции Для приближенного вычисления значения функции y(x) в точке можно использовать приближенную формулу где приращение функции в точке Функция y(x) определяется из условия задачи. Значения и выбираются так, чтобы можно было вычислить и при этом , взятое по модулю, было бы как можно меньше. Тогда приближенное значение выражения равно …
Решение: .Так как , то можно рассмотреть функцию Тогда По формуле получим
ЗАДАНИЕ N 11 Тема: Наибольшее и наименьшее значения функции Наименьшее значение функции на отрезке равно …
Решение: Заметим, что функция непрерывна на отрезке . Найдем значения функции на концах отрезка: Найдем производную данной функции. Тогда Так как то нужно найти только Сравнивая значения и , определим, что наименьшее значение функции равно 1.
ЗАДАНИЕ N 12 Тема: Производная функции в точке Если , то принимает значение, равное …
Решение: Напоминаем, что производная суммы двух функций равна сумме производных этих функций. Тогда имеем . Пусть . Получим
ЗАДАНИЕ N 13 Тема: Действия над конечными множествами Даны множества и . Тогда равно …
ЗАДАНИЕ N 14 Тема: Числовые множества Числовые множества – это множества, элементами которых являются числа. Примеры таких множеств: R – множество действительных чисел, Q – множество рациональных чисел, Z – множество целых чисел, N – множество натуральных чисел. Пусть дано множество , тогда верными будут утверждения …
|
|
|
|
Решение: Элементами множества A являются рациональные числа. Значит, справедливы утверждения, что и . Числа и являются рациональными и не принадлежат множеству целых и тем более натуральных чисел, поэтому два оставшихся утверждения ложные.
ЗАДАНИЕ N 15 Тема: Прямое произведение двух множеств Пусть , . Тогда прямое произведение равно …
Решение: Прямое произведение содержит множество упорядоченных пар вида , в которых x пробегает все значения из множества A, а y – все значения из множества B, тогда
ЗАДАНИЕ N 16 Тема: Основные понятия теории множеств Даны множества четное и Тогда верными будут утверждения …
|
|
|
множество A конечно |
Решение: Обращаем внимание, что множества заданы с помощью характеристического свойства. Зададим их перечислением элементов. Получим и . Здесь элементы множества B являются корнями квадратного уравнения . Тогда очевидно, что утверждения и являются верными, а утверждения и «множество A конечно» являются ложными.
ЗАДАНИЕ N 17 Тема: Действия над множествами Пусть на рисунке изображены множества и Тогда заштрихованная область соответствует множеству …
|
|
|
|
ЗАДАНИЕ N 18 Тема: Способы задания множеств, конечные и бесконечные множества Даны множества и Тогда верными будут утверждения …
|
|
|
|
Решение: Обращаем внимание, что множества заданы с помощью характеристического свойства. Зададим эти же множества перечислением элементов. Получим и . Очевидно, что утверждение истинное, а ложное. Для множеств A и B элементы 3 и 4 являются общими. Значит, утверждение истинное. По этой же причине утверждение ложное.
ЗАДАНИЕ N 19 Тема: Определенный интеграл. Формула Ньютона - Лейбница Определенный интеграл равен …
Решение: Напоминаем, что формула Ньютона – Лейбница имеет вид: Тогда, используя формулу , имеем:
ЗАДАНИЕ N 20 Тема: Методы вычисления неопределенных интегралов Неопределенный интеграл равен …
ЗАДАНИЕ N 21 Тема: Физические приложения определенного интеграла Скорость движения тела задана уравнением . Тогда путь, пройденный телом за время от первой секунды до третьей секунды движения, равен …
Решение: Напоминаем, что путь , пройденный телом за отрезок времени от до , движущимся прямолинейно со скоростью , вычисляется по формуле: . Тогда, используя условие, имеем:
ЗАДАНИЕ N 22 Тема: Свойства определенного интеграла Определенный интеграл равен …
Решение: Обращаем внимание, что используя свойства интеграла и , исходный интеграл можно представить в виде разности двух выражений и, применяя формулу Ньютона – Лейбница , получим:
ЗАДАНИЕ N 23 Тема: Неопределенный интеграл Неопределенный интеграл равен …
ЗАДАНИЕ N 24 Тема: Геометрические приложения определенного интеграла Площадь фигуры, ограниченной параболой и осью ОХ, равна …
Решение: Обращаем внимание, что площадь данной плоской фигуры вычисляется по формуле В данной задаче сначала необходимо найти пределы интегрирования (точки пересечения параболы с осью ОХ): Тогда Площадь фигуры равна (кв. ед.).
ЗАДАНИЕ N 25 Тема: Раскрытие неопределенности вида "бесконечность на бесконечность"
Решение: Так как и то имеет место неопределенность вида Для ее раскрытия нужно разделить каждое слагаемое числителя и знаменателя на . Тогда, зная, что получим:
ЗАДАНИЕ N 26 Тема: Второй замечательный предел
Решение: Функцию нужно преобразовать так, чтобы использовать второй замечательный предел, то есть формулу Для этого числитель и знаменатель дроби необходимо разделить на число , получим: Выполним замену переменной, полагая, что Если , то и , и, следовательно,
ЗАДАНИЕ N 27 Тема: Раскрытие неопределенности вида "ноль на ноль"
ЗАДАНИЕ N 28 Тема: Способы задания числовых последовательностей Дана числовая последовательность Установите соответствие между номером и соответствующим членом данной последовательности.
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение: Для того чтобы найти определенный член последовательности, нужно вместо в данное равенство подставить его номер.
ЗАДАНИЕ N 29 Тема: Предел функции в точке …