Теоретические задачи
.pdf1.Доказать, что если линейный оператор – невырожден, то и -¹ имеют одни и те же собственные векторы. Найти связь между собственными значениями этих операторов.
2.Доказать, что если x – собственный вектор оператора , относящийся к собственному значению , то x будет собственным вектором и для оператора где – произвольный многочлен степени n. Найти соответствующее собственное значение оператора .
3.Найти характеристический многочлен оператора , действующего в трехмерном евклидовом пространстве по формуле , где – фиксированный вектор.
4.Найти собственные значения и собственные векторы оператора , действующего
втрехмерном евклидовом пространстве по формуле , где – фиксированный вектор.
5.Привести пример линейных операторов и , таких, что .
6.Доказать, что оператор
1) положителен когда для любого x|Â*x|.
2) нормален когда для любого оператор также нормален.
(
7.Доказать, что в положительно определенной квадратичной форме
все коэффициенты при квадратах неизвестных
положительны и что это условие не является достаточным для положительной определенности формы.
8.Доказать, что ортогональное дополнение к линейному подпространству евклидова (унитарного) пространства является линейным подпространством пространства . В случае, если , найти .
9.В пространстве заданы две квадратичные формы и . Можно ли одним невырожденным преобразованием привести их к каноническому виду? Если можно, то указать это преобразование. Если нельзя, то доказать это утверждение.
10.Доказать, что сумма и пересечение подпространств и , инвариантных относительно оператора , также инвариантны относительно оператора .
11.Дать определения нормальных и унитарных операторов. Связь между ними. Будет ли нормальный оператор унитарным и наоборот. Если да, то доказать это утверждение. Если нет, то также доказать. Будет ли произведение унитарных (нормальных) операторов в свою очередь унитарным (нормальным) оператором? Если да, то доказать. Если нет, то также доказать или привести контрпример.
12.Доказать, что если , где и перестановочны, – эрмитово, – унитарно, то – нормальное преобразование.
13.Доказать, что если и – самосопряженные преобразования, то самосопряженными будут и преобразования:
и .
14.Доказать, что произведение двух унитарных преобразований есть снова унитарное преобразование.
15.Показать, что если – унитарное преобразование, а – самосопряженное преобразование, то преобразование – также самосопряженное.
16.Доказать, что если – самосопряженное преобразование то преобразование
существует и является унитарным. ( здесь – тождественное преобразование).
17. Пусть – унитарное преобразование. Доказать, что если преобразование обратимо, то преобразование – самосопряженное.
(здесь – тождественное преобразование).
18.Доказать, что всякое инвариантное собственное подпространство линейного
преобразования является также инвариантным подпространством линейного преобразования если преобразования и коммутируют.
19.Доказать теорему Гамильтона-Кэли о том, что матрица линейного преобразования
в удовлетворяет его характеристическому уравнению, для частного случая n=2.
20.Доказать, что множество линейных операторов над пространством
– линейное пространство и найти его размерность
21.Доказать, что для любых двух подпространств и конечномерного пространства таких, что существует линейный оператор , действующий в пространстве , такой, что и .
22.Доказать, что ядро и образ любого линейного оператора ,
действующего в пространстве , являются линейными подпространствами пространства , причем ядро и образ любого оператора являются инвариантными подпространствами относительно оператора .
23.Найти собственные значения и собственные векторы оператора сопряженного к
оператору , действующего в трехмерном евклидовом пространстве по формуле , где – фиксированный вектор.
24.Пусть в трехмерном евклидовом пространстве задан оператор равенством
где – фиксированный вектор.
1)Найти сопряженный к нему оператор *,
2)Показать, что – нормальный оператор,
3)Является ли этот оператор ортогональным?
25.Доказать, что пересечение подпространств и и сумма подпространств и
также являются подпространствами.
26.Доказать, что если и – положительно определенные преобразования, из которых одно не вырождено, то преобразование имеет неотрицательные собственные значения.