36. Арифметические основы работы эвм. Системы счисления. Выбор системы счисления.

Перевод чисел из одной системы счисления в другую.

Систе́ма счисле́ния (англ. numeral system или system of numeration) — символический метод записи чисел, представление чисел с помощью письменных знаков.

Системы счисления подразделяются на:

• позиционные (англ. positional system, place-value notation);

• непозиционные;

Непозиционная система счисления – это система, в которой значение числа не зависит от позиции его цифр. В этой системе каждая цифра представляет собой фиксированную величину, а не степень основания системы счисления.

Позиционная система счисления - это система, в которой значение числа определяется позицией его цифр в числе. В позиционной системе счисления используется основание системы, которое указывает, сколько цифр используется для представления чисел.

, – целые числа, называемые цифрами

В позиционных системах чем больше основание системы счисления, тем меньшее количество разрядов (то есть записываемых цифр) требуется при записи числа.

Компьютер может работать только с целыми числами. Пусть M самое большое число. Выберем систему счисления с основанием p, которая требует n разрядов для представления M различных чисел:

или (при M>>1)

Тогда число разрядов

Для хранения числа M нужно оборудование с емкостью, пропорциональной произведению основания СС на количество разрядов (D – количество устойчивых состояний элемента памяти).

Значение D характеризует и емкость памяти и быстродействие

Дополнительные причины выбора двоичной СС:

Удобство контроля

Диагностика неисправностей

Для перевода из десятичной в любую СС нужно брать остаток от деления числа на основание СС, потом делить нацело на это же число. Так повторять пока число больше нуля.

37. Способы представления чисел в эвм с фиксированной и плавающей запятой.

Микрооперации сдвига, передача, преобразование.

Числа с фиксированной точкой представляются в ЭВМ с использованием фиксированного количества битов для целой и дробной частей числа. Обычно это делается с помощью фиксированной запятой, где определенное количество битов отводится для целой части числа, а остальные - для дробной.

Число в форме с плавающей точкой занимает в памяти ЭВМ четыре или восемь байт (больше крайне редко). При записи числа с плавающей точкой выделяются разряды для хранения мантиссы, знака порядка, порядка и мантиссы.

Представление чисел в форме с плавающей точкой очень удобно для решения научных и инженерных задач. Нормализованное представление чисел не только позволяет сохранить в разрядной сетке большое количество значащих цифр, но также упрощает действие над порядками и мантиссами.

Современные ЭВМ работают в режиме с плавающей точкой, но сохранен и режим работы с фиксированной точкой, который используется преимущественно для представления целых чисел.

где – мантисса числа

p – основание СС

q – порядок

Разрядная сетка имеет вид:

Знак числа → мантисса → Знак порядка → Порядок

Пусть m – число разрядов для мантиссы, а k – число разрядов для порядка

Тогда получается диапазон чисел:

Абсолютная ошибка представления числа с плавающей запятой в ЭВМ:

Мантисса ограничена в пределах:

Поэтому для минимальной относительной ошибки с учетом m>>1 запишим:

Для максимальной относительной ошибки справедливо:

Существенным недостатком машин с фиксированной точкой является конечный диапазон представления величин. Может показаться, что это ограничивает вычислительные возможности ЭВМ. Но на самом деле короткая длина слова приводит только к снижению быстродействия машин: обработка боьших чисел ведется последовательно-параллельным способом, сами числа представляются несколькими машинными словами, и для выполнения операций над ними необходимо составлять специальные программы. Поэтому если результат вычислений в естественной форме выходит за допустимые пределы, то в современных компьютерах производиться автоматический переход к представлению данных в экспотанциальной форме (но только если это оговорено программой).

Сдвиг

Различают два вида микрооперации сдвига:

логический сдвиг;

арифметический сдвиг;

Логический сдвиг приводит к смещению всех разрядов числа, включая и знак, влево или вправо. При этом освобождающиеся разряды заполняются нулями или единицами.

Арифметический сдвиг выполняется над частью числа, часть сдвинутых разрядов теряется. (Очевидно, знаковый разряд должен исключаться из рассмотрения).

Передача.

Эта микрооперация предполагает, что некоторый код (число) записывается в соответствующее устройство и вытесняет тот код, который там находился до передачи.

Различают два вида передач:

запись (с разрушением ранее записанной информации);

чтение (без разрушения).

Преобразование.

Функция, выполняемая над передаваемыми числами, называется преобразованием. Чаще других в арифметических основах рассматривают инвертирование кода. Это поразрядная микрооперация , которая выполняется над всеми разрядами одновременно.