КР_1 1 курс 1 семестр [заочка]
.docxКонтрольная работа №1
1.01 Решить систему линейных уравнений методом Гаусса и по формулам Крамера. Сделать проверку.
.
Для решения системы по правилу Крамера найдем следующие определители:
Так как данный определитель не равен нулю, то данная система имеет единственное решение, а значит система совместна.
Тогда решение системы находим по формулам:
x = ; y =
2) Для решения системы методом Гаусса рассмотрим расширенную матрицу системы и приведем ее к треугольному виду:
= [ умножим первую строчку на -3, вторую на 5 и сложим их] =
Т.к. ранг расширенной системы совпадает с рангом системы и равен 2, то система имеет решение.
Тогда получим систему:
Тогда из системы получим решение:
Проверка:
Ответ: х= ,у=
1.11 Решить систему линейных уравнений тремя методами:
А) по формулам Крамера;
Б) методом Гаусса;
В) с помощью обратной матрицы.
Для решения системы по правилу Крамера найдем следующие определители:
Так как данный определитель не равен нулю, то данная система имеет единственное решение, а значит система совместна.
Тогда решение системы находим по формулам:
х1 = = ; х2= = ; х3 =
2) Для решения системы методом Гаусса рассмотрим расширенную матрицу системы и приведем ее к треугольному виду:
= [ умножим вторую строчку на -2 и сложим с первой, умножим третью строку на -4 и сложим с первой их] = = [умножим вторую строку на 7, третью на 3 и сложим их ] = .
Т.к. ранг расширенной системы совпадает с рангом системы и равен 3, то система имеет решение.
Тогда получим систему:
3) Для решения матричным методом нужно рассмотреть матричное уравнение: AX = B, где A = , X = , B = . Тогда X = A-1B. Найдем матрицу A-1.
Вычислим обратную матрицу .
|
|
|
Тогда A-1 =
Получим
X = A-1B = = .
Ответ: х1 = -4; х2= -3; х3 = 1
1.21 При каких А и В система имеет бесчисленное множество решений? Найдите эти решения.
Определитель матрицы должен быть равен нулю:
Для решения системы методом Гаусса рассмотрим расширенную матрицу системы и приведем ее к треугольному виду:
= [ умножим первую строчку на -2 и сложим со второй, умножим первую строку на -4 и сложим с третьей] = = [умножим вторую строку на -11, третью на 3 и сложим их] = .
Тогда , если , то система будет иметь бесконечное множество решений.
.Значит, при А=-2, В=9 система имеет бесчисленное множество решений .
Тогда получим систему: . Пусть , тогда ,
Ответ: , , ,А=-2, В=9
1.31 Даны вектора и . Найти и длину .
Векторное произведение векторов , заданных в ортонормированном базисе , выражается формулой:
Скалярное произведение выражается формулой:
Длина вектора равна
Ответ: или , ,
1.41 Написать уравнение плоскости, проходящей через точки М(1,2,3), К(-1,3,5), L(0,1,1) в виде Ax+By+Cz+D=0.
или
– искомое уравнение .
Ответ:
1.51 Даны 4 вектора . Вычислить:
1)координаты вектора в базисе ;
2) ;
3) ;
4) ;
5) ;
6) ;
7) .
Векторы образуют базис в пространстве R3 в том случае, если равенство a + b + c = 0 выполняется лишь тогда, когда = = = 0.
Рассмотрим это условие:
(4;5;2)+ (3;0;1) + (-1;4;2)= (0;0;0) или
Рассмотрим матрицу данной системы и приведем ее к треугольному виду:
Умножим первую строчку на -5, вторую на 4 и сложим их, умножим третью строчку на -2 и сложим с первой; умножим третью строку на 15 и сложим их .
Так как число ненулевых строк в треугольной матрице равно числу переменных, то система имеет единственное решение, а именно = = . Значит, векторы a, b, c образуют базис. Вектор d в базисе a, b, c имеет вид:
1a + 1b + 1c= d.
В расширенном виде:
Рассмотрим расширенную матрицу системы и приведем ее к треугольному виду (см. предыдущие действия):
.
Получим систему:
Значит, вектор d в базисе a, b, c имеет координаты d( ;4;3).
Найдем скалярное произведение :
Найдем скалярное произведение :
Векторное произведение двух векторов а= {ax; ay; az} и b = {bx; by; bz} в декартовой системе координат - это вектор, значение которого можно вычислить, используя следующие формулы:
Ответ: 1) d( ;4;3); 2)14; 3)39; 4)-659;5) ; 6) ;
7)115
1.61 Даны вершины треугольника А, В, С. Найти:
1) длину стороны АВ;
2) уравнение стороны АВ;
3) длину медианы АМ;
4) уравнение медианы АМ;
5) уравнение высоты ВН;
6) длину высоты ВН;
7) площадь треугольника;
8) угол ВАС (в градусах);
9) уравнение высоты, параллельной стороне ВС и проходящей через точку А.
В ответах надо приводить уравнения прямых в виде y=kx+b. Все вычисления проводить с двумя знаками после запятой.
А(1,1), В(4,3), С(-4,2)
1) Длина АВ равна
2) Прямая, проходящая через точки А и В:
3) Найдем середину стороны ВС: Точка M имеет координаты: ( ; ) = (0;5/2). Длина АМ равна
4) Медиана, проходящая через точки А и М:
5) Найдем уравнение перпендикуляра, опущенного из точки B на прямую AC.
Прямая, проходящая через точки А и C:
Уравнение ВН представляется в виде
Длина перпендикуляра ВН равна
Длина АС равна
Площадь треугольника будет равна
ед2
Для нахождения внутреннего угла необходимо знать уравнения прямых, образующих этот угол.
Прямая, проходящая через точки А и В:
Прямая, проходящая через точки А и С:
Тогда, если cos(BAC) равен
Прямая, проходящая через точки С и В:
Тогда уравнение прямой параллельной стороне ВС будет выглядеть так: . Подставим точку А:
Ответ: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) 2,55; 7) ; 8) ; 9) .
1.71 Написать уравнение плоскости в виде Ax+By+Cz+D=0, проходящей через точку М(1,2,3) параллельно векторам и .
Пусть необходимо составить уравнение плоскости, проходящей через заданную точку М0(x0, y0, z0) и параллельную заданным векторам и . Считаем, что такая плоскость построена, возьмем произвольную точку М(x,y,z) этой плоскости и составим вектор . При любом расположении точки М, векторы компланарны, т.е. их смешанное произведение равно 0. Запишем это условие в векторной форме: . Запишем в координатной форме:
Для нашего случая получим:
уравнение искомой плоскости.
Ответ:
1.81 Даны вершины пирамиды SPMN. Найти следующие величины.
1). Длину ребра SN.
2) Уравнение ребра SN.
3) Уравнение грани SPN.
4) Площадь грани SPN.
5) Уравнение высоты, опущенной из вершины S на грань PMN.
6) Длину высоты, опущенной из вершины S на грань PMN.
7) Угол между ребрами SP и SN (в градусах).
8) Угол между ребром SP и гранью PMN (в градусах).
9) Объем пирамиды SPMN.
S (1,0,0), P (0,1,0), M (0,0,2), N (0,4,-1)
1) Длина ребра SN равна расстоянию между этими точками, которое находится по формуле :
2) Уравнение прямой SN имеет вид: , где (x0;y0;z0 ) – координаты точки, через которую проходит прямая, а (l;m;n) – координаты направляющего вектора. За координаты (x0;y0;z0 ) можно выбрать координаты точки S, а за направляющий вектор взять вектор SN
- уравнение SN.
3) Уравнение грани SPN получим как уравнение плоскости, проходящей через три точки, а именно
или
– Уравнение грани SPN
4) SP =(0-1;1-0;0-0)=(-1;1;0)
SN =(0-1;4 -0;-1-0)=(-1;4;-1)
Площадь грани SPN будет равна
ед2
5) Уравнение высоты, опущенной из вершины S на грань PMN
Высота, опущенная из вершины S на грань PMN имеет своим направляющим вектором нормальный вектор плоскости PMN , а значит найдем его.
Уравнение грани PMN получим как уравнение плоскости, проходящей через три точки, а именно
или
– Уравнение грани PMN
Тогда - уравнение высоты, опущенной из вершины S на грань PMN в симметричном виде.
6) Длину высоты, опущенной из вершины S на грань PMN вычислим следующим образом:
ед
Угол между рёбрами SP и SN равен углу между векторами SP и SN.
SP =(0-1;1-0;0-0)=(-1;1;0)
SN =(0-1;4 -0;-1-0)=(-1;4;-1)
Тогда, если φ угол между векторами SP и SN, то
Тогда
Угол между ребром SP и гранью PMN найдём следующим образом: для начала узнаем уравнение грани PMN , затем выпишем нормальный вектор этой грани, найдём угол между нормалью к грани PMN и вектором SP. Тогда искомый угол между гранью PMN и вектором SP есть разность 900 и полученного последнего угла.
– уравнение грани PMN, SP =(0-1;1-0;0-0)=(-1;1;0)
Значит, нормальный вектор будет иметь координаты N=(-5;0;0). Найдём угол между нормалью к грани PMN и вектором SP.
Тогда
Значит, угол между гранью PMN и вектором SP равен 90-23,070=66,930
Объем пирамиды SPMN.
Объём треугольной пирамиды равен одной шестой объема параллелепипеда, построенного на рёбрах SP , SM, SN.
SP =(0-1;1-0;0-0)=(-1;1;0)
SМ=(0-1;0-0;2-0)=(-1;0;2)
SN =(0-1;4 -0;-1-0)=(-1;4;-1)
Тогда
Ответ: 1) 4.24; 2) ; 3) ; 4) ед2; 5) ;6)1 ед; 7) ; 8) ; 9)