![](/user_photo/89009_lytIF.jpg)
- •I. Комплексные числа. Многочлены
- •1. Комплексные числa
- •Решение. А) Перепишем первое уравнение в виде . Из геометрического смысла модуля разности двух комплексных чисел следует, что множество решений
- •2. Многочлены
- •Задание 1.1
- •Задание 1.2
- •Задание 1.3
- •Задание 1.4
- •Задание 1.5
- •Задание 1.6
- •Задание 1.7
Решение. А) Перепишем первое уравнение в виде . Из геометрического смысла модуля разности двух комплексных чисел следует, что множество решений
этого
уравнения задаёт окружность радиусом
1 с центром в точке
.
Аналогично находим, что решением
уравнения
является окружность радиусом 1 с центром
в точке (1 + 2i).
Решением нашей системы уравнений
являются точки пересечений этих
окружностей.
Запишем z в алгебраической форме: z = x + yi.
Тогда
Отсюда, вычитая
из первого уравнения второе, получим
и находим x = 3/2 . Подставив это значение
в первое уравнение, найдём y:
;
,
.
Таким образом, решениями нашей системы
являются числа
,
.
б) Представление z в алгебраической форме приводит нас к неравенству x y. Решением этого неравенства является замкнутая полуплоскость (заштриховано).
в) Перепишем неравенство в виде
.
Учитывая, что модуль разности двух комплексных чисел равен расстоянию между соответствующими точками комплексной плоскости, приходим к выводу, что решением этого неравенства является кольцо с центром в точке (2 – 3i), внутренний радиус которого равен 1, а внешний равен 2.
2. Многочлены
Многочленом (или
полиномом) степени
,
называется функция
, (10)
где
– известные комплексные числа
(коэффициенты), при этом старший
коэффициент
отличен от 0, z – переменная
комплексная величина. Степень многочлена
f(z)
обозначается deg
f(z).
На множестве всех многочленов очевидным образом вводятся операции сложения и умножения. Число z0 называется нулём многочлена f(z) , если f(z0) = 0.
Теорема 1 (о делении многочленов). Для любых многочленов f(z) и g(z) существуют многочлены h(z) и r(z) такие, что:
1) f(z) = h(z) g(z) + r(z),
2) deg r(z) < deg g(z).
При этом h(z) и r(z) определяются однозначно.
Многочлен h(z) называется частным, а r(z) – остатком от деления f(z) на g(z). При этом оказывается, что deg f = deg g + deg h. Если r(z) 0, то говорят, что f(z) делится на g(z).
Теорема 2. Число z0 является нулём многочлена f(z) в том и только в том случае, если f(z) делится на линейный многочлен (z – z0).
Число z0 называется нулём кратности m многочлена f(z), если f(z) делится на (z – z0)m и не делится на (z – z0)m+1. Можно дать другое, равносильное приведённому, определение: z0 является нулём кратности m для многочлена f(z), если f(z) представим в виде
f(z) = (z – z0)m g(z), где g(z) – такой многочлен, что g(z0) 0 .
Теорема 3 (основная теорема алгебры). Любой многочлен степени n 1 имеет ровно n нулей, если каждый нуль считать столько раз, какова его кратность.
Следствием основной теоремы алгебры является то, что если z1, z2, … , zm – нули многочлена (1) кратностей k1, k2, … , km соответственно, то f(z) представим в виде
,
при
этом
,
k1
+ k2
+ … +km
= n
.
Для
того чтобы
несократимая дробь
(p – целое, q – натуральное) была нулём
многочлена f(z) с целыми коэффициентами
aj,
необходимо, чтобы число p было делителем
свободного члена a0,
а число q –
делителем старшего коэффициента аn.
В частности, если f(z) имеет целые
коэффициенты aj
и an = 1,
то рациональными нулями такого многочлена
могут быть только целые числа, которые
являются делителями свободного члена
a0
.
Теорема 4. Если
коэффициенты многочлена f(z) – действительные
числа и
– нуль f(z), то z0 = – i
также является нулём этого многочлена.
Из последней теоремы следует, что если f(z) – многочлен с действительными коэффициентами, то он представим в виде
,
(11)
где
zj , pj , qj – действительные
числа и квадратичные функции неразложимы
(т.е. имеют отрицательный дискриминант),
при
.
При этом k1 + k2 + … + km + 2(r1 + r2 + … + rs) = n .
Если
f(z),
g(z)
– многочлены, то функция
называется рациональной функцией или
рациональной дробью. Рациональная дробь
называется правильной, если deg
g(z)
< < deg
f(z).
Любую неправильную дробь можно представить
в виде суммы многочлена и правильной
рациональной дроби. Если
– правильная рациональная дробь с
действительными коэффициентами и f(z)
имеет разложение (3), то h(z)
допускает следующее представление в
виде суммы простейших дробей:
. (12)
Коэффициенты
находятся путём приравнивания
коэффициентов при одинаковых степенях
z у многочлена g(z) и многочлена, который
получается в числителе правой части
(11) после приведения суммы к общему
знаменателю (метод неопределённых
коэффициентов).
Пример 6. Найти
все нули многочлена
и разложить его на неразложимые множители
с действительными коэффициентами, если
известен один его нуль
.
Решение.
f(z) имеет действительные коэффициенты,
поэтому наряду с z1
= 2+i нулём f(z) является также z2
=
= 2–i. Значит, f(z) делится на
.
Разделим
f(z) на
уголком
Таким образом,
.
Найдём нули второго множителя: z2
+ 2z + 10 = 0, z3,4
= –1
3i.
Итак, нулями многочлена f(z) являются: z1 = 2 + i, z2 = 2 – i,
z3 = –1 – 3i, z4 = –1 + 3i. Многочлен f(z) разлагается на неразложимые множители (квадратные функции с отрицательными дискриминантами) следующим образом:
z4 – 2z3 + 7z2 – 30z + 50 = (z2 – 4z + 5)(z2 +2z +10) .
Пример 7. Дан многочлен f(z) = z4 – 6z3 + 10z2 + 2z – 15:
а) подобрать целые нули многочлена среди делителей свободного члена;
б) разложить f(z) на линейные и неразложимые квадратичные множители с действительными коэффициентами;
в) разложить f(z) на линейные множители с комплексными коэффициентами;
г) разложить дробь (2z – 3) / f(z) на простейшие дроби с действительными коэффициентами.
Решение. а) Делителями числа 15 являются: 1, 3, 5, 15.
В результате проверки убеждаемся, что z1 = –1 является нулём f(z):
f(–1) = 0. Следовательно, f(z) делится на (z – z1) = z + 1. Выполним деление
Имеем: f(z) = (z + 1) (z3 – 7z2 +17z – 15). Найдём целые нули второго множителя среди делителей свободного члена (–15): 1; 3; 5; 15.
В
результате проверки убеждаемся, что
является нулём многочлена (z3
– 7z2
+17z
– 15) и, следовательно, многочлена f(z).
Значит, f(z)
делится на (z
– z1)
(z
– z2)
= (z
+ 1) (z
– 3) = z2
– 2z
– 3. Разделим f(z)
на этот квадратный трёхчлен:
Таким образом, f(z) = (z2 – 2z – 3)(z2 – 4z + 5). При этом второй множитель (z2 – 4z +5) не имеет целых (и даже действительных) нулей. Итак, f(z) имеет лишь два целых нуля: z1 = –1 и z2 = 3.
б)
Так как z2
– 4z + 5 = 0 имеет лишь комплексные нули
и
,
то искомым разложением будет уже
полученное
.
в) f(z) имеет 4 однократных (говорят, простых) нуля: z1 = –1, z2 = 3,
z3 = 2 – i, z4 = 2 + i. Старший коэффициент f(z) равен 1. Поэтому
f(z)
= (z
– z1)(z
– z2
)(z
– z3)(z
– z4)
или f(z)
= (z
+ 1)(z
– 3)
(z – 2 + i)(z –2– i).
г) Дробь (2z – 3)/f(z) является правильной. Имеем
.
Приведём последнюю сумму к общему знаменателю:
Так
как f(z) равен знаменателю левой части,
то получим равенство
A(z
–3)(z2–
4z +5) + B(z + 1)(z2–
4z +5) + (Cz + D)(z +1)(z – 3)
2z
– 3.
Неизвестные коэффициенты А, В, С, D можно найти, раскрыв скобки в левой части, сгруппировав слагаемое по степеням z и приравняв соответствующие коэффициенты в левой и правой частях равенства, при этом получится система из 4-х линейных алгебраических уравнений:
(A + B + C)z3 + (– 7A – 3B – 2C + D)z2 + (17A + B – 3C – 2D)z +
+(–15A + 5B – 3D) = 2z – 3.
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях z, получаем систему
Решая её, находим
A = 1/8, B = 3/8, C = –1/2, D =1. Итак,
.