10855
.pdfПоследнее равенство справедливо по теореме о сложении вероятностей несовместных событий. Аналогично доказываются два других равенства.
3. Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины
Определение. Плотностью распределения вероятностей (или со-
кращённо плотностью вероятности) ϕ(x) непрерывной случайной величины называется производная от её функции распределения F (x) , если только существует эта производная:
ϕ(x) = F '(x) .
_______________
Пример. Найти плотность вероятности случайной величины X (величины Релея), которая принимает неотрицательные значения, а её функция распределения равна F (x) = 1 − e− k 2 x 2 .
Решение. Т.к. F (x = 0) = 0 и F (x) не убывает (1 - e−k 2 x 2 > 0 при x < 0 ), то на самом деле:
|
- e |
−k |
2 x |
2 |
|
1 |
|
|
при x ³ 0 |
. |
|
F (x) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
при x < 0 |
|
0 |
|
|
|
|
Поэтому:
|
- e |
−k |
2 x |
2 |
при x ³ 0 |
|
− k 2 x 2 |
)(-k |
2 |
× 2x) |
при x ³ 0 |
|
||
(1 |
|
|
)'x |
- (e |
|
|
= |
|||||||
ϕ(x) = F '(x) = |
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
при x < 0 |
|
|
|
|
|
при x < 0 |
|
||
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
2 |
x e |
−k 2 x 2 |
при x ³ 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2k |
|
|
. |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
при x < 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
4. Свойства плотности вероятности
Свойство 1o . Вероятность того, что случайная величина X примет какое-либо значение x из замкнутого интервала [a,b] , равна
b
P(a £ X £ b) = ∫ j(x) dx .
a
Доказательство. Функция распределения F (x) - непрерывна, т.к. существует производная ϕ(x) = F '(x) . Поэтому по следствию из свойства 4o для непрерывной функции распределения:
P(a ≤ X ≤ b) = F (b) − F (a) ,
а по формуле Ньютона-Лейбница:
b |
b |
F (b) − F (a) = ∫ F '(x) dx = ∫ j(x) dx . |
|
a |
a |
b
Поэтому P(a £ X £ b) = ∫ j(x) dx .
a
40
Что и требовалось доказать.
Пример. Плотность вероятности случайной величины X задана:
j(x) = 1 . p(1 + x 2 )
Найти вероятность того, что случайная величина X примет значение на интервале [0;5] .
Решение. По только что доказанному свойству:
5 |
5 |
1 |
|
|
|
1 |
5 |
dx |
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
P(0 £ X £ 5) = ∫ j(x) dx =∫ |
|
|
dx = |
∫ |
|
= |
arctg x |
|
05 = |
( arctg 5 - 0) » 0,435 . |
||||||
|
|
|
|
|||||||||||||
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
p |
||||||||
0 |
0 |
p(1 + x |
|
) |
|
p |
0 |
(1 + x |
) |
|
p |
|
|
|
Свойство 2o . Функция j(x) , плотность распределения вероятностей , всегда неотрицательна, т.е.
j(x) ³ 0 .
Доказательство. Поскольку F (x2 ) ³ F (x1 ) при x2 > x1 (по свойству 3o для функции распределения), то:
j(x = x ) = F '(x = x ) = lim |
F (x2 ) - F (x1 ) |
³ 0 , |
|||
|
|||||
1 |
1 |
x2 |
→ x1 |
x2 - x1 |
|
|
|
как отношение двух неотрицательных величин. Что и требовалось доказать.
+∞
Свойство 3o . ∫ j(x) dx = 1.
−∞
Доказательство. По только что установленному свойству 2o ( j(x) ³ 0 ) плотности вероятности:
+∞ + A
∫ j(x) dx ³ ∫ j(x) dx
−∞ − A
при любом достаточно большом A . Но по свойству 1o для плотности вероятности:
+A
∫j(x) dx = P(-A £ X £ A)
−A
при любом достаточно большом A . Следовательно:
+∞ + A
∫ j(x) dx ³ ∫ j(x) dx = P(-A £ X £ A) = F ( A) - F (-A)
−∞ − A
по следствию для непрерывной функции распределения. Откуда, переходя к пределу при A ® +¥ (неравенство сохранится), получаем:
+∞ |
|
(F ( A) - F (-A)) = lim F ( A) - lim F (-A) = F (+¥) - F (-¥) . |
||
∫ |
j(x) dx ³ lim |
|||
|
A→+∞ |
A→+∞ |
A→+∞ |
|
−∞ |
|
|
|
Откуда по свойству 2o для функции распределения:
+∞
∫ j(x) dx ³ F (+¥) - F (-¥) = 1 - 0 = 1.
−∞
Поскольку вероятность события не может быть больше 1, постольку
41
+∞
∫ ϕ(x) dx = 1.
−∞
В силу доказанных сейчас свойств, функция ϕ(x) плотности распределения вероятностей всегда неотрицательна (по свойству 2o ). Она стремится к нулю при стремлении x → −∞ и x → +∞ (т.к. по свойству 3o площадь между графиком функции ϕ(x) и осью абсцисс равна единице). Примерный график функции ϕ(x) плотности распределения вероятностей изображён на следующем рис. 6.3.
Рис. 6.3. Иллюстрация свойств 1-3 функции плотности распределения
Свойство 4o . Функция распределения F (x) равна
x
F (x) = ∫ ϕ(t) dt .
−∞
Доказательство. Для несобственного интеграла
x
∫ ϕ(t) dt
−∞
справедливо:
x |
ϕ(t) dt = lim |
x |
ϕ(t) dt , |
|
∫ |
|
|||
|
A→−∞ ∫ |
|
||
−∞ |
|
A |
|
|
а по свойству 1o для плотности распределения вероятностей: |
||||
x |
|
|
|
|
∫ ϕ(t) dt = P( A ≤ X ≤ x) . |
||||
A |
|
|
|
|
По следствию из свойства 4o |
для непрерывной функции распределения: |
x
∫ ϕ(t) dt = P( A ≤ X ≤ x) = F (x) − F ( A) .
A
Поэтому, переходя к пределу, получим:
x |
|
x |
ϕ(t) dt = lim |
(F (x) − F ( A)) = F (x) − lim F ( A) = F (x) − F (−∞) . |
∫ |
ϕ(t) dt = lim |
|||
|
A→−∞ ∫ |
A→ −∞ |
A→ −∞ |
|
−∞ |
A |
|
|
|
По свойству 2o |
для функции распределения F (−∞) = 0 , т.е. |
x
∫ ϕ(t) dt = F (x) − F(−∞) = F(x) .
−∞
42
Что и требовалось доказать.
Итак, для полной характеристики случайной величины достаточно знать или функцию распределения, или плотность распределения вероятностей (т.к. одну из них можно выразить через другую):
x
F (x) = ∫ ϕ(t) dt или ϕ(x) = F '(x) .
−∞
Рис. 6.4. Иллюстрация свойства 4 функции плотности распределения
______________
Пример. Найти функцию распределения случайной величины, плотность вероятности которой:
ϕ(x) = |
1 |
. |
π(1 + x 2 ) |
Решение. По только что доказанному свойству:
x
F (x) = ∫ ϕ(t)
−∞
= π1 arctg t −∞x = π1 ( arctg x − arctg
x |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
dt = ∫ |
|
|
|
dt = |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
π(1 + t |
2 |
) |
|
|
|
|
||||||
−∞ |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
( arctg x + π ) = |
|
|
|
|
|||||
(−∞) ) |
= |
1 |
|
1 |
+ |
1 |
arctg x . |
|||||
π |
2 |
π |
||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
Лекция № 7
Примеры распределения непрерывных случайных величин
1. Равномерное распределение
Определение. Случайная величина с плотностью вероятности
0 |
при x < a и x > b |
где C = const, |
ϕ(x) = |
, |
|
C |
при a < x < b |
|
|
|
|
называется равномерно распределённой величиной.
43
Равномерный закон распределения используется: при анализе ошибок измерения, когда проводятся численные расчёты; в ряде задач массового обслуживания.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Найдём величину C из условия ∫ ϕ(x) dx = 1 |
(свойство 3o плотности ве- |
||||||||||||||||||||||||||||||
роятности): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
+∞ |
|
|
|
|
a |
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
+∞ |
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
∫ |
j(x) dx = |
∫ |
0 × dx + |
∫ |
C × dx + |
∫ |
0 × dx = C |
∫ |
dx = C x |
|
b = C(b - a) = 1. |
||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
должно |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
−∞ |
|
|
|
|
−∞ |
a |
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
быть |
|||
Поэтому С = |
1 |
|
, а плотность вероятности равномерно распределённой ве- |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
b - a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
личины имеет вид: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
при x < a |
и |
x > b |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j(x) = |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
при a < x < b |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Найдём также функцию распределения равномерно распределённой |
|||||||||||||||||||||||||||||||
величины. По свойству 4o |
для плотности вероятности: |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
при x < a |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ 0 × dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
a |
|
|
|
|
|
x |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
F (x) = ∫ j(t) dt = ∫ 0 |
× dt |
+ ∫ |
|
dt |
|
|
при a < x < b |
= |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
b - a |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
−∞ |
|
−∞ |
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
b |
|
1 |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ 0 × dt + ∫ |
dt + ∫ 0 × dt |
|
|
при b < x |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b - a |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−∞ |
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
0 |
|
|
|
|
|
при x < a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
при x < a |
|
|
0 |
|
при x < a |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
x |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x - a |
|
||||||
= ∫ |
|
dt |
|
|
при a < x < b = |
|
|
|
|
|
(x - a) |
при a < x < b = |
|
|
при a < x < b . |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
a |
b - a |
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
- a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b - a |
при b < x |
||||||||
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(b - a) |
при b < x |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
∫ |
|
dt |
|
|
при b < x |
|
b |
- a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
b - a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Графики функций F (x) и j(x) |
|
приведены ниже на рис. 7.1. На графике |
|||||||||||||||||||||||||||||
для функции j(x) четыре стрелки означают, |
что левый или правый пределы |
||||||||||||||||||||||||||||||
не достижимы функцией в соответствующей точке. |
|
|
|
Рис. 7.1. Равномерное распределение
44
Пример. Поезда метрополитена идут регулярно с интервалом 2 минуты. Пассажир выходит на платформу в случайный момент времени. Какова вероятность того, что ждать пассажиру придётся не более полминуты.
Решение. Пусть случайная величина X - время ожидания пассажира. Тогда её плотность вероятности равна:
0 |
при x < 0 и x > 2 |
|
|
. |
|
ϕ(x) = 1 |
||
|
|
при 0 < x < 2 |
|
||
2 |
|
Поэтому по свойству 1o для плотности вероятности получим:
1 |
|
1 |
|
1 |
2 |
1 |
|
1 |
2 |
1 |
|
1 / 2 |
|
P(0 ≤ X ≤ |
) = ∫ |
dx = |
∫ dx = |
x |
||||||
2 |
2 |
2 |
2 |
0 |
||||||
|
|
|
||||||||
|
0 |
|
0 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
=1 .
4
2. Нормальное распределение
Определение. Случайная величина имеет нормальный закон распреде-
ления (закон Гаусса), если её плотность распределения вероятностей имеет вид:
ϕ(x) = |
|
1 |
|
− ( x−a )2 |
|
||
|
|
|
|
2σ2 |
, |
||
|
|
|
|
||||
2π σ e |
|||||||
|
|
|
|
где a и σ - параметры распределения ( σ > 0, − ∞ < a < +∞ ).
Нормальный закон распределения наиболее часто встречается на практике. Главная его особенность – он является предельным законом, к которому приближаются другие законы распределения (при типичных условиях).
Плотность вероятности ϕ(x) - функция, похожая на колокол. Зависимость от параметров такова (рис. 7.2). При уменьшении только параметра σ , график функции вытягивается и поднимается вверх по оси ординат. А при увеличении только параметра a , график симметрично передвигается вправо вдоль оси абсцисс:
Рис. 7.2. Функция плотности распределения нормальной величины
Функция распределения F (x) нормального распределения
45
x |
1 |
|
x |
− |
(t −a )2 |
|
|
F (x) = ∫ ϕ(t) dt = |
|
|
∫ e |
|
2 σ2 |
dt |
|
|
|
|
|
|
|||
−∞ |
2π σ −∞ |
|
|
|
имеет вид, изображенный на рис. 7.3:
Рис. 7.3. Функция распределения нормальной величины
а) Правило «трёх сигм»
Найдём вероятность того, что изучаемая случайная величина (распределённая нормально) примет значение в пределах от α до β :
β |
1 |
|
β |
− |
( x−a)2 |
|
|
P(α ≤ X ≤ β) = ∫ ϕ(x) dx = |
|
|
∫ e |
|
2 σ2 |
||
|
|
|
|
|
dx . |
||
|
|
|
|||||
α |
2π σ α |
|
|
|
Для этого воспользуемся известным из математического анализа свойством определённого интеграла:
b c b
∫ f (x) dx = ∫ f (x) dx +∫ f (x) dx
a |
a |
c |
и, используя ещё одно свойство: |
|
|
|
c |
a |
|
∫ f (x) dx = −∫ f (x) dx , |
|
|
a |
c |
окончательно получим: |
|
|
b |
b |
a |
∫ f (x) dx = ∫ f (x) dx −∫ f (x) dx . |
||
a |
c |
c |
Этим равенством и воспользуемся (при условии, что роль c играет параметр a из нормального закона)
|
|
1 |
|
|
β − |
( x−a)2 |
|
|
|
|
|
1 |
|
β |
|
− |
( x−a)2 |
|
|
|
1 |
|
|
α |
− |
( x−a)2 |
|
|
|
||||||||||||
P(α ≤ X ≤ β) = |
|
|
|
∫ e |
|
2 σ2 |
|
|
|
= |
|
|
∫ e |
|
2 σ2 |
− |
|
|
∫ e |
|
2 σ2 |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
dx . |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
2π σ |
α |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2π σ a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2π σ a |
|
|
|
|
|
|||||||||
Далее сделаем замену t = |
x − a |
в определённых интегралах (тогда dt = d ( |
x − a |
) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
σ |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
или dx = σ dt ): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
σ |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
β |
− ( x−a)2 |
|
|
|
|
1 |
|
α |
− ( x−a)2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
P(α ≤ X ≤ β) = |
|
|
|
|
|
e |
|
2 |
σ2 |
|
dx |
− |
|
e |
|
|
|
2 σ2 |
|
dx |
= |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2π σ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2π σ ∫a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
46 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
β−a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
α − a |
|
|
||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
σ |
|
− |
t 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
σ |
|
− |
t 2 |
|
|||||||
|
|
= |
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
σ dt |
− |
|
|
|
∫ |
|
|
σ dt = |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e 2 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2π σ a−a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2π σ a −a |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
β−a |
|
|
|
|
|
σ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
α−a |
|
|
|
|
|
|
|
σ |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
1 |
|
|
|
σ |
− |
t 2 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
σ |
− |
t 2 |
|
|
|
β − a ) − Φ( α − a ) , |
||||||||||||||
= |
|
|
|
|
∫ e |
2 |
|
|
|
dt − |
|
|
|
|
∫ e |
2 |
dt = Φ( |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
2π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2π |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
σ |
σ |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
x |
− |
z 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
где функция Лапласа |
|
|
Φ(x) = |
|
|
|
|
|
∫ e |
|
|
затабулирована и приводится в при- |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 dz |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2π |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ложении 2 из [2]. В частном случае, когда интервал симметричен относительно точкиa , эта формула выглядит так:
P(a − ε ≤ X ≤ a + ε) = F( a + ε − a ) s
или так:
P( X − a
- F( a − ε − a ) = F( ε ) s s
≤ ε) = 2 F( sε ) .
- F( −sε ) = 2 F( sε )
Отсюда правило «трёх сигм» выводится следующим образом. Рассмотрим вероятность того, что изучаемая случайная величина (распределённая нормально) примет значение в пределах от a - 3s до a + 3s :
P(a - 3s £ X £ a + 3s) = 2 F(3s / s) = 2 F(3) .
Из таблицы для функции Лапласа находим, что F(x) = 0,49865, поэтому
P(a - 3s £ X £ a + 3s) = 2 × 0,49865 » 0,9973 ,
т.е. вероятность встретить значение изучаемой случайной величины именно на интервале [a - 3s, a + 3s] велика - 0,9973 !!!
3. Показательный (экспоненциальный) закон распределения
Определение. Случайная величина X имеет показательный (экспо-
ненциальный) закон распределения, если её плотность распределения вероятностей имеет вид:
0 |
|
при x < 0 |
j(x) = |
−λ x |
, |
l e |
при x ³ 0 |
|
|
|
|
где l - параметр распределения ( l > 0 ). |
||
Он возникает в теории массового обслуживания, теории надёжности. |
Например, интервал времени T между двумя соседними событиями (заявками) в потоке поступающих заявок на обслуживание (ремонт телевизоров, автомобилей, …) имеет показательный закон распределения (с интенсивностью l ).
Примерный график плотности распределения вероятностей j(x) приводится на рис. 7.4.
47
Рис. 7.4. Функция плотности распределения показательной величины
Определим вид функции распределения для показательного закона:
x
F (x) = ∫ ϕ(t) dt
−∞
x |
|
|
|
при x < 0 |
|
|
||
|
∫ 0 × d t =0 |
|
|
|
||||
= −∞ |
|
|
0 |
x |
|
|
x |
|
|
x |
|
|
|
|
|||
∫ l e−λ t d t = ∫ 0 × d t + ∫ l e−λ t d t = - ∫ |
||||||||
−∞ |
|
|
−∞ |
0 |
|
|
0 |
|
0 |
|
при x < 0 |
0 |
|
при |
|||
|
|
|
|
|
|
|
||
= |
- e−λ t |
|
x |
при x ³ 0 |
= |
|
−λ x |
|
|
|
|||||||
|
|
1 |
-e |
|||||
|
|
0 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=
e−λ t d (-lt) |
при x ³ 0 |
x < 0
.
при x ³ 0
Примерный график функции распределения F (x) приводится на рис.7.5.
Рис. 7.5. Функция распределения показательной величины
4. Логарифмически-нормальное распределение
Определение. Случайная величина X ( X > 0) имеет логарифмическинормальное (логнормальное) распределение, если её натуральный логарифм ln X подчинён нормальному закону:
0 |
|
|
при |
x < 0 |
|
|
|||
|
|
|
ln x |
|
(t −a)2 |
|
|
||
F (x) = P(ln X < ln x) = |
1 |
|
− |
|
|
|
|
||
e |
2σ |
2 |
d t |
при x ³ 0 . |
|||||
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|||||
s |
|
2p |
∫0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
48 |
|
|
|
|
|
Отсюда, функция j(x) плотность распределения вероятностей логнормального распределения имеет вид (по правилу дифференцирования интеграла, зависящего от параметра)
0 |
|
при |
x < 0 |
|
||||
|
|
|
|
(ln x−a)2 |
|
|||
j(x) = |
1 |
|
− |
|
|
|
|
|
|
2σ |
2 |
|
при x ³ 0 . |
||||
|
|
|
|
e |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|||
s |
2p x |
|
|
|
|
Примерный вид графика функции j(x) приведён на рис. 7.6.
Рис. 7.6. Функция плотности распределения логнормальной величины
Логнормальное распределение встречается при описании распределения доходов, банковских вкладов, долговечности изделий в режиме износа – старения, месячной зарплаты, посевных площадей под различные культуры и т.п.
5.Вейбуловское распределение
Винженерной практике часто используется распределение ВейбуллаГнеденко:
0 |
|
при x < 0 |
|
|
|
|
|
F (х) = |
|
−( x / α) |
β |
|
-e |
при x ³ 0 |
|
1 |
|
|
0 |
при x < 0 |
|
|||
, |
|
|
|
|
|
|
j(x) = |
β−1 |
|
−( x / α) |
β |
|
|
|
|
e |
|
при x ³ 0 |
||
|
(b/ a)(x / a) |
|
|
с параметрами a > 0 и b > 0 . Данное распределение часто используется для описания распределения экстремальных значений системы случайных величин:
X max (n) = max(X1, X 2 ,...X n ) , X min (n) = min(X1, X 2 ,...X n ) ,
кроме того оно используется для описания времени и интенсивности отказов в теории надежности сложных систем.
Частными случаями распределения Вейбулла-Гнеденко являются следующие распределения :
-Показательное распределение a = 1/ l > 0 , b =1,
-Релеевское распределение a > 0 , b = 2 .
49