10328
.pdf[Введите текст]
можно сделать, если данная функция дифференцируема в точке x0 . Действительно, в этом случае в точке (x0 , f (x0 )) существует касательная к гра-
фику функции y f (x) . Тогда приращение функции |
y можно прибли- |
жённо заменить приращением ординаты касательной dy (см. рис. 21.1)
y dy f (x0 ) x
Рис. 21.1
Таким образом, приращение функции y представлено в виде двух
слагаемых |
|
y f (x0 ) x ( x) . |
(21.1) |
Первое из них называют дифференциалом функции в данной точке и обо-
значают символом
dy f (x0 ) x .
Ввиду важности этого понятия, только что определённого кратко с помощью формулы (21.1), приведём его словесную формулировку, акцентирующую внимание на наиболее характерных свойствах дифференциала.
Дифференциалом функции в данной точке называется главная часть приращения функции в этой точке, линейная относительно приращения независимой переменной x .
Второе слагаемое (заметим, что оно может быть любого знака) представляет собой бесконечно малую величину более высокого порядка, чем
x . Напомним, что есть специальный символ |
( x) o( x) |
(чита- |
|
ется: равно o - малое от |
x ). Действительно, сравнивая бесконечно ма- |
||
лые ( x) y f (x0 ) x |
и x , имеем |
|
|
150
[Введите текст]
|
( x) |
|
|
y |
|
|
f (x0 ) f (x0 ) 0 . |
lim |
x |
lim |
|
x |
f (x0 ) |
|
|
x 0 |
x 0 |
|
|
|
|
Сравним теперь бесконечно малые y и |
dy |
|
|
|
|
|
|||||
|
y |
|
f (x0 ) x ( x) |
|
|
1 |
|
( x) |
|
||
lim |
|
lim |
|
|
|
1 |
|
|
lim |
|
1 |
|
|
|
|
|
|||||||
x 0 |
dy |
x 0 |
f (x0 ) x |
|
|
|
|
f (x0 ) x 0 |
x |
|
Другими словами, обе бесконечно малые y и dy эквивалентны. В связи
с этим дифференциал называют главной частью приращения функции. Убедимся на следующем примере, что дифференциал действительно
составляет «львиную» долю приращения функции. Площадь квадрата со стороной x равна S (x) x2 . Вычислим приращение этой функции
S (x x)2 x2 2x x ( x)2 .
Рис. 21.2
Из рисунка видно, что первое слагаемое, представляющее собой дифференциал, равно площади двух прямоугольников, а второе равно площади квадрата со стороной x .
Заменяя приращение функции дифференциалом, мы получаем универсальную формулу для вычисления значения функции в точке близкой к
точке x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x0 x ) f (x0 ) f (x0 ) x . |
(21.2) |
|||||||
Применим её к поставленной выше задаче вычисления |
arctg1.02 |
|||||||
arctg (1 0.02) |
|
|
1 |
|
x 0.7854 |
0.5 0.02 |
0.79 . |
|
|
|
|
||||||
2 |
||||||||
4 |
|
|
|
|
||||
|
|
1 x0 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
151 |
|
|
[Введите текст]
Отметим еще раз геометрическое содержание приближённого равенства (21.2), переписав его в других обозначениях
y y0 f (x0 )(x x0 ) .
Отбрасывая в приращении функции бесконечно малую величину более высокого порядка, чем x , мы заменяем кривую в окрестности точки x0 её
касательной в этой точке, т.е. линеаризуем данную функцию, заменяя её
линейной функцией.
Заметим, что дифференциал независимой переменной равен её приращению, т.е.
|
d x x . |
|
|||
Пусть f (x) x , тогда |
d f (x) d x |
f |
|
|
x x . |
|
(x) x x |
Таким образом, дифференциал функции вычисляется по формуле d f (x) f (x)d x .
Отсюда получаем выражение производной через дифференциалы f (x) dd xy .
Отметим еще так называемое свойство инвариантности дифференциала. Пусть сначала имеем функцию y f (u) , где u – независимая перемен-
ная. Тогда по определению
dy f (u)du .
В случае же, когда u (x) , используя формулу производной сложной функции, получим
dy f (u) (x)dx f (u)du .
Таким образом, выражение для дифференциала не зависит от того, является ли аргумент независимой или зависимой переменной.
Дифференциалы высших порядков определяются по индукции: дифференциал n -го порядка равен дифференциалу от дифференциала (n 1) -го
порядка
d n x d (d n 1x) .
152
[Введите текст] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для n 2 имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
d 2 |
y d |
|
dy |
|
f |
|
x |
|
d x d x |
f |
|
x |
|
d x2 . |
||
( dx – единый символ, поэтому в равенстве |
(dx)2 dx2 скобки опускают). |
|||||||||||||||
Отсюда получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x) |
d 2 y |
. |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
dx2 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
21.2. Правило Лопиталя. Франсуа маркиз де Лопиталь (1661-1704) ма- тематик-любитель, ученик Иоганна Бернулли, автор первого печатного учебника курса дифференциального исчисления.
Под «правилом Лопиталя» понимают один из способов вычисления некоторых пределов. Пусть речь идёт о вычислении предела отношения
|
|
|
|
|
lim |
|
f (x) |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
x x0 |
g(x) |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
причём известно, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
lim f (x) f (x0 ) 0 , lim g(x) g(x0 ) 0 . |
|||||||||||||||
|
|
|
|
x x0 |
|
|
|
|
|
|
|
x x0 |
|
|
|
|
|
||
Предположим, что функции f (x) |
|
|
и g(x) имеют в точке |
x0 |
непрерывные |
||||||||||||||
производные и |
g (x0 ) 0 . Рассмотрим разности f |
и |
g , выделив их |
||||||||||||||||
главные части: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f f (x) f (x0 ) f (x0 ) x ( x) , |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
g g(x) g(x0 ) g (x0 ) x ( x) , |
|
|
|
|
||||||||||||
где x x x0 , |
а и |
бесконечно малые более высокого порядка, чем |
|||||||||||||||||
x , т.е. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim ( x) |
0 , lim |
( x) 0 . |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
x x0 |
x |
|
|
|
x x0 |
x |
|
|
|
|
|
||||
Следовательно, lim |
f (x) |
lim |
f (x) f (x0 ) |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
g(x) |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
x x0 |
x x0 |
g(x) g(x0 ) |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
lim |
f (x0 ) x ( x) |
|
lim |
|
f (x0 ) ( x) x |
|
f (x0 ) |
lim |
f (x) |
. |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
x x0 |
g (x0 ) x ( x) |
x x0 |
g (x0 ) ( x) |
g (x0 ) |
x 0 |
g (x) |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
153 |
|
|
|
|
|
|
|
|
[Введите текст]
Последнее равенство следует из непрерывности производных (предел непрерывной функции в точке равен её значению в этой точке). Отсюда полу-
чаем правило Лопиталя для неопределённости вида |
|
0 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
0 |
lim |
f (x) |
lim |
f (x) |
. |
|
|
|||
x x0 |
g(x) |
x x0 |
g (x) |
Отметим, что это правило остаётся справедливым при x0 и в случае
неопределённости вида |
|
|
|
. |
|
|
|
|
Если окажется, что f x0 g x0 0 и вторые производные непре-
рывны, то правило Лопиталя можно применить к нахождению предела отношения производных. Например,
|
ex e x 2x |
|
|
|
0 |
|
|
|
ex e x 2 |
|
0 |
|
||||||
lim |
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
x sin x |
|
|
1 cos x |
|
|||||||||||||
x 0 |
|
|
|
|
0 |
x 0 |
|
|
0 |
|
||||||||
|
|
ex e x |
|
|
0 |
|
|
|
ex |
e x |
|
|
|
|
||||
lim |
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
x 0 |
sin x |
|
|
0 |
|
x 0 |
|
cos x |
|
|
|
|
Подчеркнем, что правило Лопиталя применимо только к раскрытию не-
определенностей вида |
|
0 |
|
или |
|
||||
|
|
|
||
|
|
0 |
|
. Остальные виды неопределенностей
[ ] , [0 ] , [1 ] , [00 ], [ 0 ]
могут быть приведены к указанным выше.
Например,
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
ln x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
||||||||||
lim x ln x [0 ] lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
0 . |
|||||
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
||||||||||
x 0 |
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
|
|
|
|||
|
|
x |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Неопределенности последних трех видов сводятся к |
|
неопределенности |
|||||||||||||||
[0 ] с помощью логарифмирования. Например, |
получим второй замеча- |
||||||||||||||||
тельный предел |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
lim 1 |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
154 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[Введите текст]
Найдем предел логарифма этого выражения
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
ln 1 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|||||
|
|
|
|
|
(1 1 x) |
|
|
||||||||||||||||
lim |
|
|
|
x |
|
lim |
|
1 . |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
1 |
|
|
|
0 |
|
|
|
1 |
|
|
x |
2 |
|
||||||||||
x |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Следовательно, искомый предел равен
|
|
|
1 x |
1 |
|
|
lim |
1 |
|
|
|
e |
e . |
|
||||||
x |
|
|
x |
|
|
155
[Введите текст]
Лекция 22. Исследование функций и построение их графиков
В аналитическом выражении, которым чаще всего бывает задана функция, содержится вся информация о её свойствах. График функции делает эти свойства легко обозримыми. Поэтому нужно уметь строить график функции по формуле, которой она задана. Самый простейший приём – это построение «по точкам». Однако он требует большого объёма вычислений и при этом могут быть потеряны характерные особенности исследуемой функции. Приёмы исследования, основанные на дифференциальном исчислении, позволяют именно эти особенности и уловить. Так, например, один факт существования производной функции в точке x0 даёт возможность ли-
неаризовать функцию в окрестности этой точки. Дифференцируемость функции, как мы выяснили ранее, равносильна представлению её приращения в виде
y f (x0 ) x ( x) ,
где ( x) – бесконечно малая более высокого порядка, чем x . Заменяя
приращение функции y |
дифференциалом dy f (x0 ) x , т.е. полагая |
|
f (x) f (x0 ) f (x0 )(x x0 ) , |
мы заменяем в окрестности точки x0 кривую y f (x) касательной к ней в
этой точке. Нельзя ли это приближённое равенство превратить в точное? Такое равенство, выражающее приращение дифференцируемой функции через приращение её аргумента, было получено Лагранжем (1736-1813гг).
22.1. Формула Лагранжа имеет вид
f (x) f (x0 ) f ( )(x x0 ) , x0 x . (22.1)
За знак равенства в ней мы «заплатили» тем, что не знаем точного положения точки . Эту формулу называют также формулой конечных прира-
щений.
Из (22.1) следует, что на интервале (x0 , x) существует точка , в кото-
рой
f ( ) f (x) f (x0 ) tg , x x0
156
[Введите текст]
т.е. касательная в этой точке параллельна прямой AB (см. рис. 22.1). Из рисунка видно, что является абсциссой точки P , полученной перемещением прямой AB параллельно себе. Формулу конечных приращений или формулу Лагранжа (22.1) мы будем неоднократно применять в дальнейшем.
Рис. 22.1
22.2.Признак монотонности функции. Применим формулу Лагранжа
кисследованию поведения функции на некотором промежутке (a,b) .
Напомним, что функция называется возрастающей в этом промежутке, если для любых значений x1 x2 выполняется неравенство f (x1) f (x2 ) .
Выясним, каков же признак того, что функция возрастает.
Пусть производная функции положительна во всех точках промежутка (a,b) . Для произвольных x1 x2 из этого промежутка применим формулу
конечных приращений |
|
|
|
f (x2 ) f (x1 ) |
|
x1) , |
x1 x2 . |
f ( )(x2 |
Поскольку правая часть этого равенства положительна, то f (x2 ) f (x1) , т.е. f (x) – возрастающая функция. В предположении, что производная неотрицательна ( f (x) 0) , получим, что функция – неубывающая в этом проме-
жутке, т.е. f (x2 ) f (x1) .
Аналогичным образом можно получить признаки убывающей и невоз-
растающей функций: f (x) 0 и f (x) 0 .
Геометрически эти признаки означают, что в точках возрастания функции касательная к кривой составляет острый угол с положительным направлением оси абсцисс, а в точках убывания – тупой. В качестве примера найдем промежутки возрастания и убывания функции
157
[Введите текст] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
1 |
|
|
. |
|
||||
|
|
|
|
|||||||
|
1 x2 |
|
||||||||
|
y |
|
|
2x |
|
|
|
|
0, |
x 0 |
Найдем производную |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|||
|
(1 |
x |
|
) |
|
|
0, |
x 0 |
Рис. 22.2
Следовательно, в промежутке ( ,0) эта функция возрастает, а в промежутке (0, ) – убывает.
22.3. Экстремумы. Под экстремумом функции в точке понимают её максимальное или минимальное значение в некоторой окрестности этой точки. Говорят, что точка x0 – точка максимума (минимума), если в некото-
|
|
|
рой окрестности этой точки ( |
x x0 |
) выполняется неравенство |
f (x) f (x0 ) , |
f (x) f (x0 ) . |
Как находить экстремумы, зная аналитическое выражение функции? Заметим, что точки экстремумов разделяют интервалы возрастания и убывания функции (точки максимумов) и наоборот (точки минимумов). Исходя из приведенных выше условий монотонности функции, естественно предположить, что в точках экстремумов производная функции обращается в ноль или не существует. Для дифференцируемых функций имеет место следующее.
Необходимое условие экстремума. Пусть функция имеет конечную производную в (a,b) и x0 – точка максимума (для определенности). Тогда
производная в этой точке равна нулю f (x0 ) 0 , т.е. касательная в точке
экстремума горизонтальна (такие точки иногда называют стационарными). Действительно, по определению производной
|
f (x x) f (x ) |
0, x 0 |
|
||
f (x0 ) lim |
0 |
0 |
|
|
f (x0 ) 0 . |
|
x |
x 0 |
|||
x 0 |
|
0, |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
158 |
|
|
|
[Введите текст]
Рис. 22.3
Следующий пример показывает, что обратное утверждение не верно. Так, для функции y x3 производная в начале координат равна нулю, касательная совпадает с осью абсцисс, но экстремума в этой точке нет.
Рис. 22.4
Другие точки, в которых могут быть экстремумы, это точки, в которых производная либо не существует, либо обращается в бесконечность. В совокупности со стационарными эти точки называют критическими. Примеры
критических точек такого рода дают функции y x |
и |
y 3 |
x2 . |
||||||
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
1.5 |
|
|
|
|
1.5 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
0.5 |
|
|
|
|
0.5 |
|
|
|
|
0 |
-1 |
0 |
1 |
2 |
0 |
-1 |
0 |
1 |
2 |
-2 |
-2 |
||||||||
|
|
|
|
|
Рис. 22.5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
159 |
|
|
|
|