10314
.pdf[Введите текст]
Доказательство. В случае, когда угол острый, утверждение очевидно. В случае тупого угла имеем (см. рис. 5.10)
ПрL AB | A1B1 | | AB | cos( ) | AB | cos
|
Рис. 5.10 |
Отметим следующие важные свойства проекции векторов. |
|
Свойство 1. |
Проекция суммы векторов на ось равна сумме их проек- |
ций на эту ось (см. рис. 5.11 и 5.12). Точки A1 , B1 и C1 – проекции точек |
|
A, B и C на ось |
L . |
Рис. 5.11
AC AB BC
ПрL AC A1C1 A1B1 B1C1 ПрL AB ПрL BC
40
[Введите текст]
Рис. 5.12
AB AC CB
ПрL AB A1B1 A1C1 C1B1 ПрL AC ПрL CB .
Свойство 2. Если вектор умножается на число, то его проекция умножается на это же число
ПрL (ka) k ПрLa .
41
[Введите текст]
Лекция 6. Системы координат
6.1. Линейная комбинация векторов. Выше вектор был определен как геометрический объект – направленный отрезок. Перейдем теперь к эквивалентному его описанию в виде упорядоченного набора чисел. Для этого
дадим следующие определения. |
|
|
Линейной комбинацией векторов a1 , a1 , |
, am с коэффициентами |
|
k1 , k2 , , km называется вектор вида |
|
|
|
m |
|
k1a1 k2a2 |
kmam kiai . |
|
|
i 1 |
|
Линейная комбинация называется тривиальной, если все ее коэффи- |
||
циенты равны нулю. Будем говорить, что вектор |
b выражается в виде ли- |
|
нейной комбинации векторов a1, a1, |
, am , если он представим в виде |
bki ai .
i 1m
Теорема. Любой вектор a на плоскости единственным образом представим в виде линейной комбинации двух данных неколлинеарных векторов e1 и e2 этой плоскости.
Доказательство. Поместим начала всех трех векторов в некоторую точку O (см. рис. 6.1). Из конца вектора a проведем прямые, параллельные векторам e1 и e2 , и обозначим через P и Q точки их пересечения с осями,
«проходящими» через векторы e1 и e2 , соответственно. По правилу сложения векторов имеем a OP OQ .
Рис. 6.1
Так как OP || e1 и OQ || e2 , то существуют такие числа a1 и a2 , что
OP a1e1 , OQ a2e2 .
42
[Введите текст]
Таким образом, получим a a1e1 a2e2 .
Покажем теперь, что такое представление единственно. Пусть это не так, т.е. a a1e1 a2e2 . Тогда после вычитания получим
(a1 a1 )e1 (a2 a2 )e2 0 .
Если хотя бы один из коэффициентов при векторах e1 и e2 , не равен нулю,
то отсюда будет следовать их коллинеарность, что противоречит предположению. Таким образом, указанное представление единственно.
Теорема. Любой вектор a в пространстве единственным образом представим в виде линейной комбинации трех данных некомпланарных векторов e1 , e2 и e3 .
Доказательство этой теоремы проводится аналогично доказательству предыдущей теоремы (см. рис.6.2)
a
R
Q
e3 e2 O
e1 P
Рис. 6.2
Введем свойство линейной зависимости векторов, обобщающее свойства коллинеарности и компланарности на случай произвольного числа векторов. Векторы a1, a1, , am называются линейно зависимыми, если
хотя бы один из них выражается в виде линейной комбинации остальных, то есть
|
m |
|
a j |
kiai |
(6.1) |
i 1(i j )
В противном случае эти векторы называются линейно независимыми.
Из этих определений следует, что любые два коллинеарных вектора линейно зависимы, так как из условия a1 || a2 следует, что a2 ka1 , и что
любые три вектора на плоскости также линейно зависимы. Таким образом, приведенные выше теоремы можно переформулировать следующим образом: любой вектор на плоскости единственным образом представим в виде
43
[Введите текст]
линейной комбинации двух заданных линейно независимых векторов, а любой вектор в пространстве – в виде линейной комбинации трех заданных линейно независимых векторов.
Возможность такого представления любого вектора приводит к мысли определять вектор и его положение набором коэффициентов его линейной комбинации. Естественно возникают задачи определения положения вектора и его длины через этот набор коэффициентов. Эти задачи решаются с помощью операции скалярного умножения векторов.
6.2. Разложение вектора по базису. Координаты вектора. Базисом
{e1,e2 ,e3} называются взятые в определенном порядке линейно независимые
векторы. Термин базис (гр. basis – основание) отражает тот факт, что через эти векторы можно выразить любой вектор. Если базисные векторы взаимно перпендикулярны, то базис называется ортогональным, а если плюс к этому базисные векторы имеют единичную длину, то – ортонормирован-
ным.
Выражение данного вектора a в виде линейной комбинации базис-
ных векторов называется его разложением в данном базисе (или по ба-
зису):
a a1e1 a2e2 a3e3 .
Коэффициенты разложения {a1, a2 , a3} называются координатами вектора a в данном базисе, и записывается это так:
a a1,a2 ,a3 .
Таким образом, теперь вектор – это упорядоченная тройка чисел (на плоскости – пара чисел).
Операции над векторами в координатной форме
a b тогда и только тогда, когда ai bi , i ;
a b a1 b1, a2 b2 , a3 b3 ;
a a1, a2 , a3 ,
непосредственно следуют из определения. Например,
a b (a1e1 a2e2 a3e3 ) (b1e1 b2e2 b3e3 )
(a1 b1 )e1 (a2 b2 )e2 (a3 b3 )e3 ) {a1 b1 , a2 b2 , a3 b3}.
Условие коллинеарности двух векторов «в координатах» получается следующим образом: a || b тогда и только тогда, когда b a или bi ai i , т.е. их соответствующие координаты пропорциональны:
44
[Введите текст]
b1 b2 b3 . a1 a1 a3
6.3. Декартова система координат. Декартовой системой коорди-
нат называется совокупность фиксированной точки O (начала координат) и базиса векторов {e1,e2 ,e3}, исходящих из точки O . Оси, проходящие через
базисные векторы, называют соответственно осью абсцисс (ось Ox ), осью ординат (ось Oy ) и осью аппликат (ось Oz ). Плоскости, проходящие через
две какие-либо оси, называют координатными плоскостями.
Если базис ортогональный, то такая система координат называется де-
картовой прямоугольной системой координат. В ортонормированном ба-
зисе единичные базисные векторы принято обозначать через i , j , k . Оче-
видно, что «в координатах» эти векторы записываются следующим образом:
i {1, 0, 0}, j {0, 1, 0}, k {0, 0, 1} .
Радиус-вектором произвольной точки M называют вектор OM , а его координаты называют координатами этой точки. Если даны координаты то-
чек |
A(x1, y1, z1 ) и B(x2 , y2 , z2 ) , то в силу того, что |
AB OB OA , коорди- |
наты вектора AB равны |
|
|
|
AB {x2 x1, y2 y1, z2 z1} . |
|
|
Для произвольной точки M в декартовой системе координат с орто- |
|
нормированным базисом в разложении вектора |
|
|
|
OM x i y j z k |
|
его |
координаты x, y, z являются проекциями |
вектора OM на оси |
Ox, Oy, Oz , соответственно (см. рис. 6.3) |
|
i
45
[Введите текст]
Рис. 6.3
Обозначим через , , углы между положительными направлени-
ями осей координат и вектором OM . Тогда проекции вектора OM выражаются следующим образом:
x PrOX OM | OM | cos , y PrOY OM | OM | cos , z PrOZ OM | OM | cos .
В частности, если вектор OM e единичной длины, то его координаты являются косинусами углов, которые этот вектор образует с осями координат, то есть
e{cos , cos , cos }.
Всвязи с этим координаты единичного вектора называют направляющими косинусами этого вектора.
Длина вектора может быть найдена по теореме Пифагора: из двух пря-
моугольных треугольников OMQ и OPQ следует, что
| OM | x2 y2 z2 .
Таким образом, углы, которые вектор образует с осями координат, связаны следующим соотношением
e 2 cos2 cos2 cos2 1.
6.4. Полярная система |
координат. |
Кроме декартовой, возможны и |
другие системы координат. |
Рассмотрим полярную систему координат. |
|
Пусть на плоскости зафиксирована точка |
O (полюс) и выбран луч (поляр- |
ная ось OP ) с началом в полюсе (см. рис.6.4)
46
[Введите текст]
|
|
|
|
|
, |
|
, φ |
|
|
|
|
|
|
|
|
, φ |
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
r |
|
|
|
φ |
|
φ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 6.4
Тогда положение произвольной точки M на плоскости можно однозначно охарактеризовать двумя числами (r, ) , где r | OM | – расстояние этой
точки от полюса и – угол между полярной осью и вектором OM , отсчитываемый от полярной оси против часовой стрелки (см. рис. 6.4).
Выберем на плоскости две системы координат – декартову прямоугольную и полярную – так, что полюс находится в начале декартовой системы координат, а полярная ось направлена вдоль положительного направления оси абсцисс. Тогда любая точка M будет иметь декартовы координаты (x, y) и полярные (r, ) . Из рис. 6.4 непосредственно следуют соот-
ношения между полярными и декартовыми координатами (предполагается, что линейный масштаб одинаковый в обеих системах координат)
x r cos |
r x |
|
y |
|
|
||||
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
y r sin , |
|
tg |
|
y . |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
x |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
В полярной системе координат удобнее изображать кривую, расстояние точки которой от начала координат (полюса) определяется как функция направления (полярного угла). Например, так называемая «спираль Архимеда» определяется следующим образом: расстояние её точки до полюса пропорционально величине угла между полярной осью и радиусом-векто- ром этой точки. В соответствии с этим запишем уравнение этой кривой в полярной системе координат
r a , |
a 0 |
и построим ее график Спираль Архимеда можно рассматривать как траекторию движения точки, равномерно перемещающейся вдоль прямой, в то время как эта прямая равномерно вращается против часовой стрелки относительно полюса. На рис. 6.5 приведена часть этой спирали, соответствующая изменению полярного угла в пределах одного оборота.
47
[Введите текст]
Рис. 6.5
Лекция 7. Скалярное произведение
7.1. Скалярное произведение двух векторов. Скалярным произве-
дением векторов a и b называется число, равное произведению модулей этих векторов на косинус угла между ними a,b | a | | b | cos
Рис. 7.1
Под углом между двумя векторами будем понимать наименьший из двух углов между ними.
Скалярное произведение обозначается символом a b |
или a,b . |
Обратим внимание на то, что результат этой операции может быть выражен через проекцию одного из векторов на другой. Действительно, так как
Прab | b |cos , |
Прb a | a |cos , |
то (см. рис. 7.2) a,b | a | Пр a b | b | Пр b a
48
[Введите текст]
Рис. 7.2
С этой операцией в физике связано вычисление работы силы F при пере-
мещении материальной точки по направлению вектора S , когда угол между этими векторами равен . Тогда работа вычисляется по формуле
A | F | | S |cos F, S .
Операция скалярного произведения позволяет выразить проекцию вектора на вектор и угол между векторами следующим образом:
Пр |
b |
a a,b |
, |
cos a,b , |
|
| b | |
|
| a | | b | |
|
|
|
|
причем, если скалярное произведение векторов положительно, то угол между ними острый, а если отрицательно – тупой. В частности, скалярное произведение ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда эти векторы перпендикулярны (ортогональны)
a,b 0 |
a b . |
Из определения скалярного произведения следует коммутативность этой операции
a,b b,a ,
а из свойств проекций векторов вытекают следующие ее свойства:
ka,b a, kb k a,b , a,b c a,b a,c .
Докажем последнее из них
49