10314
.pdf[Введите текст]
координат, получить овальную замкнутую кривую, изображённую на рисунке 25.1. Отметим, что при этом все точки эллипса лежат внутри прямоугольника, образованного прямыми x a , x a , y b , y b .
Введём ещё одну величину, характеризующую форму эллипса. Отношение расстояния между фокусами эллипса к длине его большой оси
называется эксцентриситетом эллипса: ac . Величина эксцентриситета
0 1, так как a c 0. Поскольку
|
|
|
c2 |
a2 b2 |
b 2 |
|
b 2 |
b |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
, |
то |
1 |
|
|
, |
|
|
1 |
|
. |
|
|
a |
2 |
a |
2 |
|
|
a |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
Видим, что эксцентриситет определяется соотношением осей эллипса. В случае 0 (если a b ) эллипс превращается в окружность с уравнением
x2 y2 a2 . Чем ближе эксцентриситет к единице, тем меньше отношение
b и тем больше эллипс вытянут. a
25.2. Гипербола. Множество всех точек M плоскости, разность расстояний которых до двух данных точек F1 и F2 есть величина постоянная,
называется гиперболой. Указанная разность берётся по абсолютному значению и обозначается 2a . Точки F1 и F2 называются фокусами гиперболы.
Как и ранее, 2c F1F2 - расстояние между фокусами. Таким образом, если точка M гиперболы находится ближе к фокусу F2 (рис. 25.2), выполняется
равенство |
MF1 MF2 2a , а если M находится ближе к фокусу F1 , то |
MF2 MF1 |
2a . Из рассмотрения суммы длин сторон треугольника MF1F2 |
видим, что MF1 MF2 F1F2 и MF2 MF1 F1F2 . Поэтому, в зависимости |
|
от расположения точки M по отношению к фокусам, MF1 MF2 F1F2 или |
|
MF2 MF1 |
F1F2 . В наших обозначениях получаем 2a 2c или a c . |
Для получения уравнения вводим систему координат так, чтобы фокусы F1 и F2 лежали на оси Ox , а начало координат совпадало с серединой
отрезка F1F2 (рис. 25.2). В этой системе координаты произвольной точки M обозначим x и y , а координаты фокусов будут соответственно: F1 c;0 , F2 c;0 . Заменив расстояние MF1 и MF2 между точками их выражениями через координаты, получим
x c 2 y2 x c 2 y2 2a .
180
[Введите текст]
После преобразований, аналогичных тем, которые были проделаны для уравнения эллипса, соотношение приобретает вид
xc a2 a |
|
x c 2 y2 . |
|
|||
Возведя в квадрат и упростив, получим |
c2 a2 x2 a2 y2 a2 c2 a2 . |
|||||
Учитывая, что, в отличие от эллипса, |
для гиперболы a c , можно ввести |
|||||
b2 c2 a2 . Тогда уравнение примет вид |
b2 x2 a2 y2 a2b2 |
или |
||||
|
x2 |
|
y2 |
1. |
(25.3) |
|
|
|
|
||||
|
a2 |
b2 |
Это уравнение называется каноническим уравнением гиперболы.
Так как уравнение (25.3) содержит x и y только в чётных степенях, то гипербола симметрична относительно осей Ox и Oy , а также относительно
начала координат. Оси симметрии гиперболы называются её осями, а точка пересечения осей – центром гиперболы. Положив y 0 в уравнении (25.3),
найдём две точки пересечения гиперболы с осью Ox : A1 a;0 , A2 a;0 , которые называются вершинами гиперболы. Если взять x 0 в уравнении
(25.3), то получим |
y2 b2 . Следовательно, с осью Oy гипербола не пере- |
секается. Отрезок |
A1 A2 2a принято называть действительной осью ги- |
перболы (а ОA1 a – действительной полуосью); отрезок B1B2 2b , со-
единяющий точки B1 0; b и B2 0;b , называется мнимой осью (ОB1 b
– мнимой полуосью). Прямоугольник со сторонами 2a и 2b называется
основным прямоугольником гиперболы (рис. 25.3).
Из уравнения (25.3) следует, что если x a , то y не имеет действительных значений, то есть, нет точек гиперболы с абсциссами a x a .
Должно выполняться условие |
x2 |
1 или |
x a . Это означает, что гипербола |
a2 |
состоит из двух частей: её точки расположены справа от прямой x a , образуя правую ветвь, и слева от прямой x a , образуя левую ветвь. Наконец, из уравнения (25.3) видно, что с возрастанием x возрастает и y , так
|
x2 |
|
y2 |
|
как разность |
|
|
сохраняет постоянное значение. Тем самым приходим |
|
a2 |
b2 |
к заключению: если y 0 , то точка M x, y при возрастании x , начиная от x a , движется всё время «вправо» и «вверх»; если y 0 , то M x, y движется «вправо» и «вниз». Так образуется неограниченная правая ветвь. При
181
[Введите текст]
x от значения x a получается левая неограниченная ветвь гипер-
болы (рис. 25.2).
Рис. 25.2
Присмотримся более внимательно к тому, как именно точка M «уходит в бесконечность». В лекциях по математическому анализу было введено понятие наклонной асимптоты графика функции. Из уравнения (25.3) вы-
|
|
b |
|
|
|
разим переменную |
y |
|
x2 a2 |
||
a |
|||||
|
|
|
|
используем формулы нахождения наклонной асимптоты при x
k lim f x
x x
. Далее для полученных двух функций
коэффициентов уравнения y kx d
|
b |
a 2 |
|
b |
|
||
lim |
|
1 |
|
|
|
|
; |
a |
|
a |
|||||
x |
x |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
b |
|
|
|
|
|
b |
x |
|
|
|
|||||||||||
|
|
d lim f x kx |
|
x2 a2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
a |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
b |
lim |
x2 a2 |
|
x2 a2 |
|
b |
lim |
|
|
|
|
|
|
a2 |
|
0 . |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
a x |
|
x |
2 |
a |
2 |
x |
|
|
|
|
a x |
|
|
x |
2 |
a |
2 |
x |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
182
[Введите текст]
Следовательно, прямые y ba x являются наклонными асимптотами пра-
вой ветви гиперболы при x . Для левой ветви из соображений симметрии при x получаются те же асимптоты.
Итак, построение гиперболы по каноническому уравнению (25.3) следует начинать с изображения основного прямоугольника, продолжая диагонали которого мы получим асимптоты. Обе бесконечные ветви рисуем неограниченно приближающимися к ним (рис. 25.2). Фокусы находятся на
расстоянии c a2 b2 от начала координат.
Гипербола с равными полуосями a b называется равносторонней, её каноническое уравнение имеет вид x2 y2 a2 . Основной прямоугольник равносторонней гиперболы становится квадратом; прямые y x и y x являются асимптотами, перпендикулярными друг к другу.
Отношение расстояния между фокусами к расстоянию между вершинами гиперболы называется эксцентриситетом гиперболы и обозначается
буквой : |
c |
|
. Для гиперболы 1, так как c a . Поскольку |
||||||||||||||||||||||
a |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
c2 |
a2 |
b2 |
b 2 |
|
b 2 |
b |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
2 |
1 . |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
, то |
1 |
|
, |
|
|
|||||||
|
a |
2 |
|
|
|
a |
2 |
|
|
a |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
a |
|
|
|
|
|
Следовательно, как и для эллипса, эксцентриситет гиперболы определяется отношением её осей. Он характеризует форму основного прямоугольника гиперболы. Чем меньше эксцентриситет, тем меньше отношение
ba , то есть основной прямоугольник более вытянут в направлении действи-
тельной оси. Для равносторонней гиперболы 2 .
183
[Введите текст]
Лекция 26. Парабола. Приведение кривых к каноническому виду
26.1. Парабола. Множество всех точек плоскости, равноудалённых от данной точки F (фокуса) и данной прямой L (директрисы), называется параболой. Расстояние от фокуса до директрисы параболы принято обозначать через p (рис. 26.1). Величину p называют фокальным параметром
параболы.
Для получения уравнения параболы необходимо ввести систему координат на плоскости. Проведём ось абсцисс через фокус параболы перпендикулярно директрисе, будем считать её направленной от директрисы к фокусу; начало координат расположим посередине между фокусом и дирек-
трисой (рис. 26.1). Тогда координаты фокуса |
F p / 2;0 , а уравнение дирек- |
||
трисы в этой системе координат имеет вид |
x |
p |
. |
|
|||
|
2 |
|
Рис. 26.1
Координаты произвольной точки M параболы обозначим x и y , запи-
|
|
p 2 |
|
2 |
|
|
|
шем расстояние MF |
x |
|
|
y |
|
. Расстояние от точки M |
до дирек- |
|
|
||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
трисы равно MQ , где Q – основание перпендикуляра, опущенного из M
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
p |
|
||
на директрису. Поскольку Q имеет координаты |
|
|
; y |
, то |
MQ x |
|
. |
|||||||||
2 |
2 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Тогда для параболы получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
p 2 |
|
2 |
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
||||
x |
|
|
y |
|
x |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
184
[Введите текст]
Возведя обе части равенства в квадрат получим каноническое уравнение
параболы
y2 2 px . |
(26.1) |
Как для эллипса и гиперболы, уравнение параболы тоже является част-
ным случаем уравнения второго порядка. Оно получается из (25.1) при
A B D F 0.
Уравнение (26.1) содержит переменную y только в чётной степени, что доказывает симметрию параболы относительно оси Ox . Так как p 0 , то
переменная x должна быть неотрицательной. Это означает, что парабола расположена справа от оси Oy . Если x 0 , получаем y 0 . При возраста-
нии x возрастает и y (причём, если x , то y ). Построив в первой четверти график функции y 2 px и отразив его симметрично отно-
сительно оси Ox , получим геометрическое изображение параболы (рис. 26.1). Ось симметрии параболы (в данном случае совпадающая с осью Ox ) называется её осью. Точка, в которой парабола пересекает свою ось, называется её вершиной (в нашем случае вершина совпадает с началом координат). Для описания геометрического смысла фокального параметра p
можно взять какое-либо значение абсциссы, например, x 1. Из уравнения (26.1) найдём соответствующие ему значения ординаты: y 2 p . Это
даёт на параболе две точки M1 1; 2 p и M2 1; 2 p , расстояние между
которыми равно 22 p . Тем самым, чем больше p , тем больше расстояние M1M 2 . Следовательно, параметр p характеризует «ширину» области, огра-
ниченной параболой.
Кроме рассмотренных классических кривых, уравнение линии второго порядка может привести ещё к нескольким геометрическим случаям, называемым вырожденными.
26.2. Вырожденные случаи. Если в уравнении линии второго порядка
Ax2 2Bxy Cy2 |
2Dx 2Ey F 0 |
(26.2) |
коэффициенты B D E F 0 , |
то остаётся только два слагаемых, т.е. |
Ax2 Cy2 0 . При одинаковых знаках A и C уравнению соответствует на плоскости одна точка – начало координат. При разных знаках A и C – пара
пересекающихся прямых y CA x .
Если в уравнении (26.2) остаются ненулевыми два других слагаемых, например, оно имеет вид Cy2 F 0 , то возможны две ситуации: при оди-
наковых знаках коэффициентов C и F решений нет, а при разных знаках C и F получаются две параллельные прямые.
185
[Введите текст]
Если из уравнения (26.2) остаётся одно слагаемое Cy2 0 или Ax2 0, то на плоскости получается одна прямая. Если B D E 0 и в уравнении Ax2 Cy2 F 0 коэффициенты A 0,С 0, F 0, то опять ему не удовлетворяют координаты ни одной точки плоскости.
26.3. Приведение уравнения линии второго порядка к канониче-
скому виду. Мы рассмотрели все геометрические ситуации, к которым может привести общее уравнение линии второго порядка (п. 26.2). В задачах аналитической геометрии обычно задаётся вид уравнения второго порядка с конкретными числовыми коэффициентами. В нём могут присутствовать произведение координат x и y (т.е. B 0 ) или переменные x и y без квад-
ратов ( D 0 или Е 0 ). Это будет означать, что в исходной системе координат уравнение не является каноническим. Нужно перейти к другой системе координат, в которой уравнение будет иметь канонический вид. Это даст возможность определить, к какому из рассмотренных случаев относится заданное уравнение. После этого легко будет построить график заданной кривой.
Для приведения уравнения линии второго порядка к каноническому виду используются только те преобразования системы координат, которые не изменяют расстояния между точками, то есть не деформируют кривую. К таким преобразованиям, в частности, относятся параллельный перенос и поворот осей координат. Этих преобразований достаточно для решения поставленных в этой лекции задач. Разберём далее, что происходит с уравнениями при том или ином преобразовании координат.
26.4. Параллельный перенос осей координат. Рассмотрим на плос-
кости прямоугольную декартову систему координат xO y
|
|
|
|
Рис. 26.2 |
Выберем |
начало |
|
вспомогательной системы координат в точке |
|
ў |
; y0 ). Оси |
ў ў |
и |
ў ў |
O (x0 |
O x |
O y расположим параллельно соответствующим |
||
|
|
|
|
186 |
[Введите текст]
осям O x и O y , одинаково с ними направив. Масштаб сохраняем. Такой переход от системы xO y к системе Oўxўyў называется параллельным пе-
реносом осей координат.
Для произвольной точки M координаты относительно исходных осей обозначим через (x; y), а координаты по отношению к «новым» осям обо-
|
|
|
|
( |
|
|
) |
|
|
|
|
||
значим |
|
|
ў |
ў |
. Поскольку |
имеет место векторное равенство |
|||||||
|
x ; y |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ў |
|
|
ў |
|
|
|
|
|
|
OM = OO + O M (рис. 26.2), то можно записать в координатах |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
м |
ў |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
п x = x + x |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
п |
|
0 |
(26.3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
н |
ў |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
опy = y + y0 |
|
Формулы (26.3) позволяют находить исходные координаты (x; y) по известным (xў; yў) при параллельном переносе. «Новые» координаты выражаются через исходные следующим образом:
м |
ў |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
п x = x - |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
п |
|
|
|
0 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
(26.4) |
|
н |
ў |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
п |
|
y0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
опy = y - |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Пусть, например, исходное уравнение имеет вид |
|
|
|
|
|
|||||||||
x2 + 2x + 4 y2 - 16 y = 8 |
или |
x + 1 2 |
+ 4 |
( |
y - 2 |
2 |
= 25. |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
) |
|
|
) |
|
|
После выполнения параллельного переноса, задаваемого формулами |
||||||||||||||
|
|
м ў |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
п x = x + 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
п |
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
н |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
п ў |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
опy = y - 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
оно приобретёт вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 2 |
|
y 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
25 |
25 / 4 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Видим, что в новых координатах получилось каноническое уравнение эл-
липса с полуосями |
a = 5 и |
ў |
b 5 / 2 с центром в начале координат O . |
187
[Введите текст]
Рис. 26.3
Из формул (26.4) ясно, что точка Oўв исходной системе имеет координаты (- 1;2). На рисунке 26.3 отражено построение, соответствующее такому преобразованию.
26.5. Преобразование поворота системы координат. Повернём ис-
ходную систему координат xO y вокруг начала координат на угол j (положительным считается поворот против часовой стрелки) в положение Oxўyў
(рис. 26.4).
Рис. 26.4
Пусть точка M имеет в исходной системе координаты (x; y) и координаты (xў; yў) в «новой» системе координат O xўyў. Чтобы установить связь
между исходными и новыми координатами точки M , выполним дополнительные построения. Через A и B обозначим проекции точки M на координатные оси O x и O y , а через D и C — проекции её на оси O xў и O yў (рис.
26.4). Из точки D опустим перпендикуляры на отрезок AM (основание перпендикуляра — точка F ) и ось O x (основание перпендикуляра – точка Dў ). Тогда из геометрических соображений получаем, что
188
[Введите текст]
x = |
|
OA |
|
= |
ODў- |
|
ADў= |
ODў- |
|
FD |
|
= |
||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin j = xўcos j |
|
|
- yўsin j , |
||||||||||||
= |
OD |
cos j - |
MD |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
DDў+ |
|
|
|||||||||||||
y = |
AM |
= |
|
AF |
|
+ |
FM |
= |
MF |
= |
||||||||||||||
|
|
|
cos j = xўsin j |
|
+ yўcos j . |
|||||||||||||||||||
= |
OD |
sin j |
+ |
MD |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, формулы, выражающие исходные координаты (x; y)
произвольной точки M через её новые координаты при повороте осей на угол j , имеют вид
м |
ў |
- |
ў |
|
пx = |
x cos j |
y sin j |
|
|
п |
|
|
|
(26.5) |
н |
ў |
|
ў |
|
п |
+ |
|
||
опy = x sin j |
y cos j |
|
Исходная система xO y получается поворотом новой системы O xўyў
( |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
на угол - j |
. Поэтому, если в равенствах (26.5) поменять местами исход- |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
) |
ные и новые координаты, заменяя |
одновременно j |
на - |
j |
, то можно вы- |
||||||||
разить новые координаты точки |
M через её исходные координаты |
|||||||||||
|
м |
ў |
|
+ |
y sin j |
|
|
|
|
|
|
|
|
п x = x cos j |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
п |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
н |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
п ў |
x sin j |
+ |
y cos j |
|
|
|
|
|
|
||
|
опy = - |
|
|
|
|
|
|
|||||
Рассмотрим, например, уравнение эллипса |
|
x2 |
+ |
y2 |
= 1. Оно не явля- |
|||||||
|
2 |
4 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ется каноническим, поскольку в нём a b . Чтобы поменять оси местами,
выполним поворот на угол |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
ў ў |
j = 90 и перейдём к системе координат Оx y |
|||||||||
(рис. 26.5). В формулы (26.5) подставим |
|
cos 0 и |
sin 1: |
||||||
|
|
|
м |
|
|
y |
ў |
|
|
|
|
|
пx = - |
|
|
|
|||
|
|
|
п |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
н |
y = xў |
|
||||
|
|
|
п |
|
|
||||
|
|
|
оп |
|
|
|
|
|
|
Теперь, действительно, получилось каноническое уравнение |
|||||||||
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
xў |
+ |
yў |
= 1. |
|
|||
|
4 |
2 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
189