10294
.pdfМИНОБРНАУКИ РОССИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования
«Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет»
В.П. Важдаев, М.М. Коган, М.И. Лиогонький, Л.А. Протасова
64 лекции по математике
Книга 1
(лекции 1–39)
Учебно-методическое пособие
по подготовке к лекционным занятиям по дисциплине
«Математика»
для обучающихся по направлению подготовки
38.03.01 Экономика
Направленность (профиль) Экономика предприятий и организаций
Нижний Новгород
2022
МИНОБРНАУКИ РОССИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования
«Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет»
В.П. Важдаев, М.М. Коган, М.И. Лиогонький, Л.А. Протасова
64 лекции по математике
Книга 1
(лекции 1–39)
Учебно-методическое пособие
по подготовке к лекционным занятиям по дисциплине
«Математика»
для обучающихся по направлению подготовки
38.03.01 Экономика
Направленность (профиль) Экономика предприятий и организаций
Нижний Новгород
ННГАСУ
2022
1
УДК
Важдаев В. П. 64 лекции по математике. Книга 1 (лекции 1 – 39) : учебнометодическое пособие / В.П. Важдаев, М.М. Коган, М.И. Лиогонький, Л.А. Протасова; Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет – Нижний Новгород ННГАСУ, 2022. – 281с. – Текст : электронный
Лекции по математике в двух книгах написаны преподавателями кафедры математики Нижегородского государственного архитектурно-строительного университета для студентов различных «нематематических» специальностей: будущих инженеров-строителей, экологов, экономистов и других. Первая книга включает в себя основные понятия и методы линейной алгебры, аналитической геометрии, математического анализа, дифференциального и интегрального исчислений.
Предназначено для обучающихся в ННГАСУ по дисциплине «Математика» по направлению подготовки 38.03.01 Экономика, Направленность (профиль) Экономика предприятий и организаций.
© В.П. Важдаев,М.М. Коган, М.И. Лиогонький, Л.А. Протасова, 2022
© ННГАСУ, 2022.
Содержание
Введение……………………………………………………………………………7
Раздел 1. Матрицы и системы линейных уравнений
Лекция 1.Введение в матричную алгебру
1.1. Основные понятия …………………………………………………………. 9
1.2.Сложение матриц и умножение на число …………………………………. 10
1.3.Умножение матриц ………………………………………………………….. 10
1.4.Матрицы и линейные преобразования …………………………………….. 11
Лекция 2.Правило Крамера и определители матриц
2.1.Системы двух уравнений с двумя неизвестными ………………………… 15
2.2.Системы трех уравнений с тремя неизвестными ………………………... 18
Лекция 3.Системы и определители матриц n -го порядка
3.1.Матричная запись системы линейных уравнений ……………………… 21
3.2.Определители матриц порядка n и их свойства ……………………… 22
3.3.Обратная матрица ……………………………………………………………26
Лекция 4. Системы m уравнений с n неизвестными
4.1. Ранг матрицы ………………………………………………………………. 30 4.2. Теорема Кронекера-Капелли ……………………………………………… 30
Раздел 2. Векторная алгебра
Лекция 5.Векторы и линейные операции над ними
5.1. Основные понятия и определения ………………………………………… 35
5.2. Линейные операции над векторами ………………………………………. 35
5.3 Проекция вектора на ось …………………………………………………… 38
Лекция 6.Линейная комбинация векторов. Системы координат
6.1.Линейная комбинация векторов …………………………………… ..42
6.2.Разложение вектора по базису. Координаты вектора…………………… 44 6.3. Декартова система координат……………………………………………….. 45 6.4. Полярная система координат ………………………………………………...46
Лекция 7.Скалярное произведение
7.1. Скалярное произведение двух векторов …………………………………. 48 7.2. Скалярное произведение в прямоугольных координатах ………………...51 7.3. Деление отрезка в заданном отношении ……………………………………52
Лекция 8.Векторное и смешанное произведения векторов
8.1. Векторное произведение ………………………………………………….. 54 8.2.Смешанное произведение …………………………………………………… 58
Раздел 3. Аналитическая геометрия. Прямые и плоскости
Лекция 9.Прямая линия на плоскости
9.1.Общее уравнение прямой …………………………………………………... 64
9.2.Уравнение прямой с угловым коэффициентом …………………………... 65
9.3.Параметрические и канонические уравнения прямой …………………… 66
Лекция 10. Задачи, связанные с прямыми на плоскости
10.1. Взаимное расположение двух прямых ……………………………………. 68 10.2. Пучок прямых, определяемый двумя пересекающимися прямыми ……..72
3
10.3. Расстояние от точки до прямой ……………………………………………. 72 10.4Линейные неравенства ……………………………………………………... 74
Лекция 11.Плоскость
11.1. Различные виды уравнения плоскости …………………………………... 76
11.2. Взаимное расположение двух плоскостей ………………………………. 80
11.3. Расстояние от точки до плоскости ………………………………………. 82
Лекция 12. Прямая линия в пространстве
12.1.Различные виды уравнений прямой ……………………………………… 84
12.2.Проекция точки на прямую и
расстояние от точки до прямой в пространстве …………………………. 88 12.3.Пересечение прямых в пространстве ……………………………………. 89 12.4. Расстояние между двумя прямыми ……………………….......................... 91
Лекция 13. Взаимное расположение прямых и плоскостей
13.1.Угол между прямыми …………………………………………………….. 93
13.2.Угол между прямой и плоскостью ………………………………………. 94
13.3.Пересечение прямой с плоскостью ……………………………………… 95
Лекция 14.Другие задачи о прямых и плоскостях ……………98
Раздел 4. Математический анализ. Дифференциальное исчисление
Лекция 15.Функция
15.1.Функция и способы её задания ………………………………………….. 104
15.2.Обратная функция ………………………………………………………... 105
15.3.Предел последовательности ……………………………………………... 107
Лекция 16.Свойства пределов. Второй замечательный предел
16.1. Свойства сходящихся последовательностей …………………………... 109 16.2. Второй замечательный предел ………………………………………… 113
16.3. Раскрытие неопределённостей ………………………………………… 114
Лекция 17.Предел функции. Непрерывность
17.1.Предел функции ………………………………………………………… 117
17.2.Первый замечательный предел ……………………………………….. 119
17.3.Непрерывность функции ………………………………………………. 120
17.4. Свойства непрерывных функций ……………………………………… 122
Лекция 18.Производная
18.1.Физический, геометрический и математический смысл производной .. 126
18.2.Вычисление производных………………………………………………. 128
18.3.Уравнение касательной. Угол между кривыми………………………. 129 18.4.Правила дифференцирования …………………………………………… 131
Лекция 19.Производная (продолжение)
19.1. Дифференцирование сложной и обратной функций………………….. 133 19.2. Дифференцирование функций, заданных параметрически.
Касательная к параметрически заданной кривой…………………….. 135 19.3.Производная функции, заданной неявно.
Касательная к неявно заданной кривой……………………………….. 137 19.4. Логарифмическое дифференцирование……………………………….. 138
19.5.Сводка формул производных и правил дифференцирования ……….. 139 19.6. Производные высших порядков………………………………………. 140
Лекция 20.Вектор-функция
20.1.Вектор-функция и её задание …………………………………………. 142
20.2.Предел, непрерывность и производная вектор-функции …………….. 143
20.3.Уравнения касательной к пространственной кривой и
4
уравнение нормальной плоскости …………………………………….. 145
Лекция 21.Дифференциал
21.1. Дифференциалфункции ……………………………………………….. 148
21.2. Правило Лопиталя ……………………………………………………… 152
Лекция 22.Исследование функций и построение их графиков
22.1Формула Лагранжа…………………………………………………….. 155
22.2.Признак монотонности функции ……………………………………... 156 22.3. Экстремумы …………………………………………………………….. 157
Лекция 23.Исследование функций и построение их графиков
(продолжение)
23.1. Выпуклость ……………………………………………………………… 161 23.2. Точки перегиба ………………………………………………………….. 163
23.3. Асимптоты ………………………………………………………………. 164 23.4. Примерный план исследования функции ……………………………. 167
Лекция 24.Кривизна. Приближённое решение уравнений
24.1.Понятие кривизны ………………………………………………………. 169
24.2.Вычисление кривизны плоской кривой ………………………………. 170
24.3.Геометрический смысл кривизны ……………………………………… 171 24.4.Приближённое решение уравнений …………………………………… 172
Раздел 5. Аналитическая геометрия. Кривые и поверхности второго порядка
Лекция 25. Линии второго порядка
25.1. |
Эллипс ……………………………………………………………………… |
177 |
25.2. |
Гипербола ………………………………………………………………… |
179 |
Лекция 26. Парабола. Приведение кривых к каноническому виду
26.1. Парабола ……………………………………………………………………183
26.2. Вырожденные случаи …………………………………………………… 184 26.3. Приведение уравнения линии второго порядка к каноническому виду18526.4. Параллельный перенос осей координат ……………………………………185
26.5. Преобразование поворота системы координат …………………………..187
Лекция 27.Поверхности второго порядка
27.1. Цилиндрические поверхности ………………………………………… 193
27.2. Поверхности вращения ……………………………………………………195
Лекция 28.Канонические уравнения поверхностей
второго порядка
28.1.Эллипсоиды…………………………………………………………………… 197
28.2.Гиперболоиды…………………………………………………………………..200
28.3.Конусы………………………………………………………………………… 203
28.4.Параболоиды………………………………………………………………….. 204
Раздел 6. Математический анализ. Интегральное исчисление
Лекция 29.Неопределенный интеграл
29.1. Первообразная функция и неопределённый интеграл……………… |
207 |
29.2. Интегрирование методами подстановки и замены переменной…… |
211 |
Лекция 30.Методы интегрирования (продолжение)
30.1. Интегрирование простейших иррациональностей …………………… 214 30.2. Интегрирование по частям ……………………………………………… 215
30.3. Интегрирование тригонометрические выражений ……………………. 217
5
Лекция 31.Комплексные числа
31.1.Введение ………………………………………………………………… .. 220
31.2.Геометрическая интерпретация комплексных чисел …………………. 221
31.3.Тригонометрическая форма комплексного числа ……………………... 221
31.4.Операции над комплексными числами …………………………………. 222
Лекция 32.Решение алгебраических уравнений
32.1.Извлечение корня из комплексного числа ……………………………… 226
32.2.Квадратное уравнение …………………………………………………… 228
32.3.Разложение многочлена на множители ………………………………… 229
32.4.Разложение на простые дроби и интегрирование
дробно-рациональных функций ………………………………………….. 230
Лекция 33. Определённый интеграл
33.1.Задачи, приводящие к понятию определённого интеграла ………….. 232
33.2.Понятие определённого интеграла ……………………………………... 233
33.3.Основные свойства определённого интеграла………………………….. 234
33.4 Существование первообразной функции ……………………………… 237
33.5. Формула Ньютона - Лейбница ………………………………………… 238
Лекция 34. Вычисление определённого интеграла
34.1. Интегрирование по частям и замена переменной ……………………... 239 34.2. Вычисление площадифигуры в полярной системе координат ……… 242
34.3.Вычислениеплощади фигуры, ограниченной кривыми, заданными параметрически ………………………………………………. 234
Лекция 35. Другие приложения определённого интеграла
35.1.Объём тела с известной площадью поперечного сечения …………….. 246
35.2.Вычисление объёмов тел вращения ……………………………………..... 247
35.3.Несобственные интегралы ………………………………………………. 248
Раздел 7 . Математический анализ. Дифференциальное исчисление функций многих переменных
Лекция 36. Функции многих переменных
36.1. Понятие функции двух переменных …………………………………….. 253 36.2. Предел и непрерывность функции двух переменных …………………. 254 36.3. Частные производные, производная по направлению ………………… 256
Лекция 37.Производные сложных функций
37.1. Дифференцирование сложных функций ………………………………… 260 37.2. Вычисление производной по направлению …………………………….. 261
37.3.Дифференцирование неявных функций …………………………………. 262
37.4.Градиент …………………………………………………………………… 262
37.5.Касательная плоскость и нормаль к поверхности ……………………… 266
Лекция 38. Дифференциал и экстремумы функции двух
переменных
38.1. Дифференцируемость функции двух переменных. Дифференциал ….. 269 38.2. Производные и дифференциалы высших порядков ……………………. 272 38.3. Экстремумы функции многих переменных …………………………… 273
Лекция 39. Условный экстремум
39.1. |
Понятие условного экстремума ………………………………………… |
277 |
39.2. |
Метод множителей Лагранжа …………………………………………… |
278 |
6
Даже плавая на поверхности океана знаний, можно достичь его глубин.
Френсис Бэкон
Введение
Лекции написаны преподавателями кафедры математики Нижегородского государственного архитектурно-строительного университета (ННГАСУ) для студентов различных «нематематических» специальностей: будущих инженеров-строителей, экологов, экономистов и других. Общий объем материала ограничивался количеством часов, которое отводится изучению математики современными образовательными стандартами этих специальностей, а его «глубина» определялась педагогическим опытом авторов. Лекции изданы в двух книгах, которые содержат материал, излагаемый в ННГАСУ на первом и втором курсах соответственно. По стилю изложения и по структуре это действительно лекции: весь материал разбит на части, излагаемые примерно за полтора часа и расположенные в том порядке (не единственно возможном), который соответствует читаемому в ННГАСУ курсу. Лекции включают в себя основные понятия и методы линейной алгебры, аналитической геометрии, математического анализа, дифференциального и интегрального исчислений, дифференциальных уравнений, теории рядов, а также элементы теории множеств, теории графов и математической логики.
Следует заметить, что существующие классические учебники математики достаточно сложны для студентов нематематических специальностей, а учебные пособия, появившиеся в последнее время, носят, как правило, справочный характер: в них формулируются определения и приводятся соответствующие формулы для вычислений. По мнению авторов, сейчас востребована учебная литература, которая в доступной форме раскрывает содержание основных математических понятий и методов, сочетая математическую строгость и простоту изложения. В соответствии с этим основная задача, которую ставили перед собой авторы, – повысить общую математическую культуру студентов,
обучить их простейшим навыкам математического моделирования, развить
умение устанавливать причинно-следственные связи и рационально мыслить. Это как раз то, что требуется для эффективной деятельности в любой сфере.
Усилия авторского коллектива распределялись следующим образом: доцент В.П. Важдаев и профессор М.М. Коган написали лекции по алгебре, геометрии, функциям одной и нескольких переменных, дифференциальному и интегральному исчислениям, дифференциальным уравнениям, рядам Фурье (лекции 1–24, 29–48, 60, 61), доцент М.И. Лиогонький – по криволинейным интегралам, теории рядов, элементам математической логики, теории множеств и теории графов (лекции 54–59,
7
62–64), доцент Л.А. Протасова – по кривым и поверхностям второго порядка, кратным интегралам(лекции 25–28, 49–53). Рисунки к лекциям выполнили В.П. Важдаев, М.И. Лиогонький, Г.Л. Пугач (кривые и поверхности второго порядка, кратные интегралы). Общее редактирование лекций осуществили В.П. Важдаев и М.М. Коган. Авторы будут благодарны за любую (положительную или отрицательную) «обратную связь»(например, по электронной почте mkogan@nngasu.ru).
8
Раздел 1. Матрицы и системы линейных уравнений
Лекция 1. Введение в матричную алгебру
Теорию матриц можно справедливо считать арифметикойвысшейматематики.
Ричард Беллман (1920-1984 гг.)
Матрицы широко применяются в различных разделах математики, физики и других дисциплинах; они находят широкое применение при исследованиях экономических проблем. В матричной записи легко и наглядно обнаруживаются те или иные особенности решаемой задачи, а теория матриц дает инструмент для ее эффективного решения.
1.1. Основные понятия.Таблица чисел вида
|
a11 |
a12 |
a1n |
|
|
||
|
a |
21 |
a |
a |
|
|
|
A |
|
22 |
|
2n |
, |
||
|
|
|
|
|
|
||
|
am1 |
am2 |
amn |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
состоящаяиз m строк и n столбцов, называется матрицей A размера m n
(читается « m » на « n »). Числа m и n не обязаны быть одинаковыми. Если
m n , то матрица называется квадратной, а число n называют еёпорядком. Более компактная форма записи матрицы имеет вид
A || aij ||, i 1,2,...,m; j 1,2,...,n ,
где элемент матрицы ai j расположен в i -й строке и j -м столбце.
Частные случаи: A (a11 a12 |
a1n ) – матрица-строка, |
|||
a11 |
|
|
|
|
a |
21 |
|
– матрица-столбец. |
|
A |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
am1 |
|
|
|
Понятие равенства двух матриц естественно вводится для матриц одинаковых размеров. Две матрицы называются равными, если равны их соответствующие элементы:
A B |
|| aij || || bij || |
aij bij , |
i, j , |
|
9 |
|
|