10292
.pdfзначение интеграла через длину промежутка интегрирования и значение подынтегральной функции в некоторой (правда неопределённой) точке этого промежутка.
b |
|
|
|
f (x)dx f (P0 )(b a), |
P0 [a,b] |
a |
|
Этот результат называют теоремой о среднем в интегральном исчислении.
33.4. Существование первообразной функции. В предыдущей лекции мы отметили, что интеграл непрерывной на [ a,b] функции
существует. Наша цель – связать понятия определённого и неопределённого интегралов и, тем самым, показать, как вычисляется определенный интеграл без вычисления интегральных сумм.
Рассмотрим интеграл с переменным верхним пределом
F (x) x f (t)d t ,
a
где подынтегральная функция f (x) непрерывна в промежутке [ a,b] .
Напомним, что переменная интегрирования – «немая», т.е. может быть обозначена любой буквой. Написанный нами интеграл – это некоторая функция F (x) верхнего предела x , и её геометрический смысл ясен из
следующего рисунка:
Рис. 33.6
Применяя теорему о среднем значении функции, запишем приращение в виде
|
|
|
|
x x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F |
|
f (t)d t |
f (P0 ( x)) x , |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
где точка |
P0 ( x) [x, x x], которое показывает, |
что |
lim F 0, т.е. |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
|
|
функция |
F (x) непрерывна. Оказывается, что функция |
F (x) |
не только |
||||||||
непрерывна, но и дифференцируема. Действительно, |
|
|
|
||||||||
lim |
F |
lim |
f (P0 ( x)) x |
lim f (P ( x)) f |
lim P ( x) |
|
f (x) . |
||||
|
|
|
|
||||||||
x 0 |
x |
x 0 |
x |
|
|
x 0 |
0 |
x 0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
240 |
|
|
|
|
|
x |
|
Поскольку (x) f (t)d t F (x) C и |
(a) 0 ,то C F (a) . Поэтому |
a |
|
x |
|
имеем f (t)d t F (x) F (a) . Полагая |
в последнем равенстве x b |
a |
|
,получаем |
|
b |
|
f (t)d t F (b) F (a) .
a
Лекция 34. Вычисление определённого интеграла
34.1. Интегрирование по частям и замена переменной. Пусть u(x) и v(x) – функции, непрерывные вместе со своими производными в
промежутке [ a,b] . Тогда функция |
F (x) u(x) v(x) является |
|||||||||
первообразной для своей производной |
|
|
|
|||||||
|
|
|
v(x) |
|
||||||
|
F (x) u (x) |
v (x) u(x) . |
||||||||
По формуле Ньютона – Лейбница имеем |
|
|
|
|||||||
|
b (u (x)v(x) v (x)u(x))d x u(x)v(x) |
|
ba |
|||||||
|
|
|||||||||
|
|
|||||||||
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
откуда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
b |
||
|
u(x)v (x)d x u(x)v(x) |
|
ba v(x)u (x)d x . |
|||||||
|
|
|||||||||
|
|
|||||||||
|
a |
|
|
|
|
|
|
a |
||
Учитывая, что |
|
и |
|
|
|
|
||||
v (x)d x d v |
u (x)d x d u , полученную формулу |
|||||||||
запишем более компактно, помня, что u |
и v функции переменной x , |
|||||||||
изменяющейся в промежутке [ a,b] : |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
b |
|
|
|
|
|
b |
||
|
|
udv uv |
|
ba vdu . |
||||||
|
|
|
||||||||
|
|
|
||||||||
|
|
a |
|
|
|
|
|
a |
Это и есть формула интегрирования по частям в определённом интеграле. Как и в случае неопределённого интеграла, её целесообразно применять, если интеграл справа будет «проще», чем исходный интеграл.
Пример. Найти площадь фигуры, ограниченной линией y ln x ,
осью абсцисс и прямой x e . Искомая площадь (см. рис. 34.1) выражается
e
интегралом S ln x d x
1
242
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 34.1 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Интегрируем по частям u ln x, |
|
du |
1 |
dx, |
dv dx, |
v x |
|||||||||||
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
e |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
S x ln x |
|
1e x |
d x e x |
|
1e e e 1 1. |
||||||||||||
|
|
||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Формула Ньютона – Лейбница даёт возможность установить правило замены переменной в определённом интеграле. Пусть требуется вычислить интеграл
b
f (x)d x ,
a
где функция f (x) непрерывна в промежутке [ a,b] . Пусть функция x (t) удовлетворяет следующим условиям: 1) (t) непрерывна вместе со своей производной (t) в некотором промежутке [ , ]; 2) сложная функция f ( (t)) должна быть определена в этом промежутке (для этого достаточно, например, потребовать, чтобы (t) была монотонна); 3) концам промежутка [ , ] соответствуют концы промежутка [ a,b] ,т.е. ( ) a,( ) b или ( ) b , ( ) a (см. рис. 34.2).
Рис. 34.2
243
При этих условиях имеют место формулы
b |
|
|
f (x)d x f ( (t)) (t)d t |
|
|
a |
|
|
|
|
(34.1) |
b |
|
|
f (x)d x f ( (t)) (t)d t |
|
|
a |
|
|
Приведём доказательство первой из них. Пусть F (x) – |
одна из |
|
первообразных функции f (x) . |
Тогда F ( (t)) – первообразная |
функции |
|
|
|
f ( (t)) (t) . Действительно, |
|
|
Ft ( (t)) F ( (t)) (t) f ( (t)) (t) .
Применяя формулу Ньютона – Лейбница к обоим интегралам в первом из
b
равенств (34.1), получим, с одной стороны, f (x)d x F (b) F (a) , а с
a
другой
f ( (t)) (t)d t F ( (t) F ( ( )) F ( ( )) F (b) F (a) .
Аналогично можно убедиться в справедливости второго равенства в (34.1). Следует заметить, что, в отличие от замены переменной в неопределённом интеграле, здесь нет необходимости возвращаться к «старой» переменной. Если вычислены правые из интегралов (34.1), то, тем самым, вычислены и левые интегралы. Излишне упоминать, что не каждая подстановка ведёт к упрощению: какую замену переменной следует
применять –это может подсказать лишь опыт.
Пример. Вычислить площадь, ограниченную эллипсом, заданным
уравнением |
x2 |
|
y2 |
1. Ясно, что достаточно вычислить площадь |
|||||
a2 |
b2 |
||||||||
четвёртой части фигуры. Задача приводит к вычислению интеграла |
|||||||||
|
|
|
|
a |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
x2 |
||||
|
|
|
|
Sэл 4b |
1 |
|
|
|
dx . |
|
|
|
|
a |
2 |
||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
244
Опыт вычисления неопределённых интегралов «подсказывает» замену
переменной |
|
x(t) a sin t . |
Она |
удовлетворяет перечисленным выше |
||||||||||
условиям: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x(t) и |
x (t) a cost |
непрерывны в промежутке |
[0, / 2] |
|||||||||||
x(0) 0, |
|
x( / 2) a |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
функция |
1 x2 (t) |
a2 |
1 sin2 t cost определена в [0, / 2] . |
|||||||||||
Произведя эту замену, получаем |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
S |
эл |
4b |
|
cos2t dt |
2ab |
|
(1 cos 2t )dt |
ab . |
|||
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
34.2. Вычисление площади фигуры в полярной системе координат.
Аналогом криволинейной трапеции в полярной системе координат будет криволинейный сектор. Это фигура, ограниченная лучами , и кривой AB , заданной уравнением ( ) , определяющим для каждого значения угла расстояние от начала координат до соответствующей точки кривой AB (см. рис. 34.3).
Рис. 34.3
Предполагается, что функция ( ) непрерывна в промежутке, . Будем сначала решать задачу вычисления площади криволинейного
сектора OAB приближённо. Для этого разобьём отрезок , |
на n частей |
||
|
1 2 |
n n 1 . |
|
Тогда «большой» криволинейный сектор разобьётся на n |
«узеньких» |
||
секторов. Обозначим |
k k 1 k . Заменим каждый |
«узенький» |
|
криволинейный сектор круговым |
сектором,радиус которого примем |
||
|
245 |
|
равным ( k ) , k [ k , k 1] . Площадь кругового сектора радиуса R и с центральным углом равна
Sсект. 12 R2 .
Поэтому площадь сектора OAB приближённо выражается интегральной суммой
S1 n 2 ( k ) k .
2 k 1
Переходя к пределу при n , причём так, что длина максимального из
частичных отрезков max( k ) стремится к нулю, получаем
k
|
1 |
n |
|
|
1 |
|
|
|
S lim |
2 ( k ) k |
|
2 ( )d . |
|
||||
|
|
|
||||||
n |
2 k 1 |
|
2 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Замечание. Если начало координат находится внутри области, |
||||||||
ограниченной замкнутой кривой |
|
( ) , |
0 2 , то |
площадь |
||||
вычисляется по формуле |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
||
|
|
S |
2 ( )d . |
|
|
|||
|
|
2 |
|
|
||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 1. Вычислить площадь круга, граница которого задана |
||||||||
уравнением x2 y2 R2 . Ясно, что достаточно найти площадь |
четверти |
|||||||
круга (см. рис.34.4). |
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 34.4
Если вычисленияпроводить в декартовой системе координат, то получается «плохой» интеграл
1 |
R |
|
|
|
Skp |
R2 x2 dx . |
|||
4 |
||||
0 |
|
|
||
|
|
|
||
|
246 |
|
|
Перейдём к полярным координатам по формулам: x cos , y sin .
Уравнение четвёртой |
|
части |
окружности |
|
x2 y2 R2 в полярных |
|||||||
координатах примет вид |
R, |
|
0 2 . Поэтому |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R2 |
|
1 |
|
1 |
2 |
|
1 |
|
2 |
|
||||
|
|
Skp |
|
R2d |
|
|
R2 |
|
|
|
Skp R2. |
|
|
4 |
2 |
2 |
0 |
4 |
|||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
Пример 2. Вычислить площадь, ограниченную одним витком спирали Архимеда и полярной осью. Спираль Архимеда можно рассматривать как траекторию точки, равномерно движущуюся по лучу, исходящему из полюса, в то время как этот луч равномерно вращается вокруг полюса. В полярнойсистеме координат её уравнение имеет видa , a 0, a const . Один виток спирали получается при повороте луча
на угол 2 .Искомая площадь выражается интегралом
|
1 |
2 |
|
|
a |
2 |
|
3 |
|
2 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
3 |
|
|||
S |
|
(a ) |
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
. |
2 |
|
2 |
3 |
|
|
3 |
|||||||||
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 34.5
34.3. Вычисление площади фигуры, ограниченной кривыми,
заданными параметрически. Интерпретируя определённый интеграл площадью криволинейной трапеции, мы предполагали, что кривая y f (x)
задана в явном виде. А как быть, если границы фигуры заданы параметрическими уравнениями? Заметим, что задание кривой в явном виде
– это частный случай её параметрического задания, когда в качестве параметра избрана переменная x :
x x |
a x b . |
|
|
y f (x) |
|
247 |
|
1 |
|
|
|
|
3 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
S |
a |
2 |
sin |
2 |
2t (1 |
cos2t)dt |
|
a |
2 |
sin |
2 |
2t dt |
a |
2 |
sin |
2 |
2t cos 2tdt |
|
|||||||||||||||||||||||
4 |
8 |
|
|
|
8 |
|
|
|
8 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
3 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
2 |
3 |
|
|
|
0 |
2 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
a2 |
|
|
(1 cos4t)dt |
a2 |
sin |
2 2t d sin 2t |
|
a2t |
|
|
|
a2 sin 4t |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16 |
|
|
|
|
|
|
16 |
|
|
|
0 |
64 |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
3 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
a2 sin3 2t |
|
|
a2 |
S |
a2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
16 |
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
32 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Лекция 35. Другие приложения определённого интеграла
В предыдущей лекции мы применили определенный интеграл к вычислению площадей фигур. Здесь будут рассмотрены другие его приложения.
35.1. Вычисление объёма тела с известной площадью поперечного сечения. Пусть некоторое тело в направлении оси абсцисс находится в пределах отрезка [ a,b] . Как обычно, разбиваем этот отрезок на n частей
и через точки деления проводим плоскости P , перпендикулярные оси Ox
. Эти плоскости рассекут тело на «дольки». На рисунке изображена одна из них.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 35.1 |
|
|
|
|
|
|||||
Предполагается, что для каждого значения x |
известна площадь |
сечения |
|||||||||
S(x) . Предполагается, что это непрерывная |
функция. Объём |
каждой |
«дольки» можно приближённо вычислить как объём цилиндра с площадью основания S (xk ) и высотой xk . Поэтому объём тела приближённо равен
сумме объёмов таких цилиндров
n
V S (xk ) xk
k 1
249