2511
.pdfМинистерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования
«Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет»
В.В. Драгунова , Г.П. Опалева , Л.С. Сенниковская
ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
Учебно-методическое пособие по подготовке к лекционным и практическим занятиям
по дисциплине «Математика» для обучающихся по направлению подготовки 38.03.02_Менеджмент, профиль Менеджмент недвижимости
Нижний Новгород
2016
0
Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования
«Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет»
В.В. Драгунова , Г.П. Опалева , Л.С. Сенниковская
ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
Учебно-методическое пособие по подготовке к лекционным и практическим занятиям
по дисциплине«Математика» для обучающихся по направлению подготовки 38.03.02_Менеджмент, профиль Менеджмент недвижимости
Нижний Новгород ННГАСУ
2016
1
УДК 517.9
Драгунова В.В. Определенный интеграл [Электронный ресурс]: учеб.-метод. пос. / В.В. Драгунова , Г.П. Опалева , Л.С. Сенниковская; Нижегор. гос. архитектур. - строит. ун - т – Н. Новгород: ННГАСУ, 2016. – 48 с;ил. 1 электрон. опт. диск (CD-RW)
В пособии приводятся необходимые формулы, подробно разбираются решения типовых задач, предоставляются задачи для самостоятельного решения.
Предназначено обучающимся в ННГАСУ при изучении раздела «Определенный интеграл» курса высшей математики по направлению подготовки 38.03.02_Менеджмент , профиль Менеджмент недвижимости
©В.В. Драгунова , Г.П. Опалева , Л.С. Сенниковская, 2016
©ННГАСУ, 2016
2
1. Понятие определенного интеграла
Пусть на отрезке [a,b] определена непрерывная функ-
ция y=f(x):
y
•
•
0 |
• |
|
׀׀ |
• |
׀׀ |
׀ ׀׀ |
• |
x |
a |
х1 |
xi |
ξi |
xi+1 |
xn-1 |
b |
||
|
|
|
Рис.1. |
|
|
|
||
|
Определение. |
|
Определенным интегралом от функ- |
|||||
ции |
y = f (x), |
заданной |
на промежутке |
[a,b], |
называется |
число, получаемое следующим образом:
1)промежуток [a,b] разбивается на n элементарных
промежутков |
точками |
xi |
так, |
что |
a = x0 < x1 < ... < xi |
< ... < xn |
= b ; |
|
|
2)внутри каждого элементарного промежутка выби-
рается произвольная точка ξi , xi−1 ≤ ξi ≤ xi , в
каждой из которых вычисляется значение функции;
3)значения функции f (ξi ) умножаются на длины
соответствующих промежутков xi = xi − xi−1 ; 3
4)все полученные произведения f (ξi )Dxi суммиру-
ются
Sn = f (ξ1 )× Dx1 + f (ξ2 )× Dx2 + ...
n
+ f (ξn )× Dxn = ∑ f (ξi ) × D xi .
i=1
Полученная сумма называется интегральной суммой для функции f(x) на отрезке [a,b];
5)вычисляется предел полученной суммы
|
n |
f (ξi |
)× Dxi |
lim |
∑ |
||
n→∞ |
|
|
|
max xi →0 i=1 |
|
|
Если этот предел существует и не зависит от выбора xi и ξi, то он называется определенным интегралом и обозначается
b
∫ f (x)dx ,
a
где f (x) – подынтегральная функция, x - переменная интегрирования,
a и b – границыизмененияпеременной х, a ≤ x ≤ b, a – нижний предел интегрирования,
b – верхний предел интегрирования.
Таким образом
b |
f (x)dx = |
|
n |
f (ξi |
)Dxi |
|
∫ |
lim |
∑ |
(1) |
|||
|
n→∞ |
|
|
|
||
а |
|
max xi →0 |
i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4
2. Задачи, приводящие к определенному интегралу
К операции интегрирования функции на отрезке
приводят задачи различного характера.
1. Задача о вычислении работы
Пусть под действием силы F материальная точка движется по прямой от точки x1=a до точки x2=b. Вычислим работу, производимую этой силой на заданном промежутке.
Если сила есть функция координаты х, т.е. F=F(x), непрерывная на [a,b], то разбив отрезок на n произвольных частей Dx1, Dx2 ,...Dxn и выбрав в каждом частичном
отрезке произвольную точку ξi, будем считать F(x) в пределах этого отрезка постоянной и равной F(ξi). Вычислим
элементарную |
|
работу |
DAi |
= F (ξi )× Dxi . |
Сумма |
|
n |
n |
(ξi |
)× Dxi даст |
|
|
|
∑DAi |
= ∑F |
нам |
приближенное |
значение |
||
i=1 |
i=1 |
|
|
|
|
|
работы силы F на промежутке [a,b].
Если предел этой суммы существует и не зависит от выбора точек xi и ξi, то
b
A = ∫ F (x)dx
a
2. Задача о вычислении площади криволинейной
трапеции
Пусть на плоскости хОу дана фигура, ограниченная отрезком [a,b] оси Ох, прямыми x=a, x=b и графиком непрерывной и неотрицательной функции y=f (x) на [a,b]. Такую фигуру называют криволинейной трапецией.
5
у
|
|
|
|
|
|
y = f(x) |
|
|
• |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
• |
|
• |
|
|
• |
|
|
|
|
• |
|
׀ |
׀ |
• |
x |
||
|
а=х0 |
х1 |
xi |
ξi |
xi+1 |
xn = b |
Рис.2.
Вычислим площадь этой криволинейной трапеции. Разобьем промежуток [a,b] на n элементарных промежутков, тогда площадь прямоугольника, построенного на Dxi = xi - xi−1 , равна Si = f (ξi )× Dxi , где xi−1 £ ξi £ xi . А приближенное значение площади S под кривой равно суммарной площади этих прямоугольников
n |
n |
) xi . |
S ≈ ∑Si = ∑ f (ξi |
||
i=1 |
i=1 |
|
Точное значение площади получим, вычислив
|
n |
f (ξ |
) |
|
|
= |
b |
f (x)dx . |
lim |
∑ |
x |
i |
∫ |
||||
n→∞ |
i |
|
|
|
|
|||
max xi →0 |
i=1 |
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом:
b
S = ∫ f (x) dx
a |
(2) |
6
3. Вычисление определенного интеграла
3.1.Формула Ньютона-Лейбница
Если известна первообразная F(x) для функции f(x), то определенный интеграл от f(x) на отрезке [a,b] можно вычислить по формуле Ньютона-Лейбница:
|
b |
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
∫ f (x)dx = F (x) |
|
= F (b)- F (a) |
(3) |
|||
|
a |
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
dx |
|
|
Пример № 1. Вычислить |
∫ |
|
|||||
|
. |
|
|||||
(x + 3)2 |
|
||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
dx |
1 |
||
∫1 |
||||
|
= - |
(x + 3) |
||
(x + 3)2 |
2
1
=- 1 - - 1 = 1
. 5 4 20
3.2.Формула интегрирования по частям
b |
|
b |
|
|
∫u(х) dv(х) = u(х) × v(х) |
|
ba - ∫v(х) du(х) |
, |
(4) |
|
||||
a |
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
гдеu(x) иv(x) – непрерывныефункциипеременной хнаотрезке [a,b].
7
π
Пример № 2. Вычислить ∫(2x +1) ×cos x dx . 2
0
Так как подынтегральная функция представлена в виде произведения степенной функции (2х +1) и тригономет-
рической cos x , то полагая
2
|
u = 2x +1 , |
dv = cos |
|
x |
dx , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
x |
x |
|
|
|
|
x |
|
||||||
du = 2 dx, |
v = ∫cos |
|
dx = 2∫cos |
|
d |
|
|
|
|
|
= 2sin |
|
. |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|||||
Применяя формулу (4), будем иметь: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
∫(2x +1)×cos |
x |
dx = 2 ×(2x +1) |
×sin |
x |
|
- 4∫sin |
|
x |
dx = |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||
0 |
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
= 2 × (2π +1) ×sin |
|
- (2 ×0 |
+1) ×sin 0 + 8cos |
|
|
|
|
= |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
π |
- cos 0 |
|
|
- 8 |
= 4π - 6. |
|
|||||||||||||||||
= 2 ×(2π +1)+ 8 × cos |
= 4π + 2 |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
3.3.Формула замены переменной |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
b |
|
|
|
|
β |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
∫ f (x) dx = ∫ f (ϕ (t)) ϕ ¢(t) dt |
|
, |
|
|
(5) |
|||||||||||||||||||
|
|
|
a |
|
|
|
|
α |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где f (x) - непрерывная функция, a ≤ x ≤ b ,
x=φ(t) - монотонная функция, имеющая непрерывную производную, dx = ϕ ′(t)dt, α ≤ t ≤ β , где φ(α) =а и ϕ (β ) = b .
8
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вычислить ∫ x |
|
|
dx . |
|
|
|
|||||||
|
Пример № 3. |
1 + x |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Пусть t = |
|
|
|
, тогда x = t 2 -1 |
|
|
|
и dx = 2t dt. |
||||||||||||||||
1+ x |
|
|
||||||||||||||||||||||
Найдём новые пределы интегрирования. |
|
Так как |
||||||||||||||||||||||
t = |
|
|
|
,то при х=0 будем иметь |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
1+ x |
t=1, а при х=3 получим |
|||||||||||||||||||||||
t=2. |
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
||||||
|
∫ x |
|
|
dx = ∫ |
(t 2 -1)× t × 2t dt = 2∫t 4 dt - 2 ∫t 2 dt = |
|||||||||||||||||||
|
1 + x |
|||||||||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
||||||
|
= 2 × |
t 5 |
|
2 |
- 2 × |
t 3 |
|
|
= |
2 |
× (25 -15 )- |
2 |
× (23 -13 )= |
116 |
. |
|||||||||
|
|
|
|
2 |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
5 |
|
1 |
3 |
|
|
1 |
5 |
|
3 |
|
|
15 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4.Несобственные интегралы
4.1.Интегралы с бесконечными пределами
Если функция f (x) определена и непрерывна на промежутке [a, ∞), то по определению:
+∞ b
∫ f (x) dx = blim→∞ ∫ f (x) dx .
a a
Если существует конечный предел, то интеграл называют сходящимся, если предел бесконечный или не суще-
ствует, то - расходящимся.
9