1330
.pdfМинистерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования
«Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет»
Кафедра сопротивления материалов и теории упругости
С.Ю.Лихачева, Д.А.Кожанов
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ МЕХАНИКИ
МЕТОДОМ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
Методические указания к выполнению контрольных работ по АЗМДТТ
Нижний Новгород ННГАСУ
2013
2
УДК 539.3
Решение задач механики методом конечных элементов: метод. указ. к выполнению контр. работ по АЗМДТТ/Нижегор. гос. архитектур.- строит. ун-т; сост. С.Ю. Лихачева, Д.А. Кожанов – Н. Новгород: ННГАСУ, 2013. – 17 c.
Методические указания предназначены для студентов различных направлений и специальностей, изучающих основы метода конечных элементов. Разобраны задачи на операции с матрицами, интерполирование с использованием функций формы и численное интегрирование функций. Даны задания для самостоятельной работы.
Составители: С.Ю. Лихачева
Д.А. Кожанов
© Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет, 2013
3
Содержание
Задача 1.1. Матричный вид системы из 4-х уравнений:.............................................................................. |
4 |
|
Задача 1.2. Перемножение вектора-сроки на вектор-столбец..................................................................... |
5 |
|
Задача 1.3. Произведение матрицы оператора и матрицы-функции.......................................................... |
6 |
|
Задача 2. |
Определение температуры во внутренней точке конечного элемента ...................................... |
7 |
Задача 3. |
Интегрирование в изопараметрическом двумерном конечном элементе................................ |
12 |
Литература……………………...…….……………………………………………………………………...14
4
Задача 1.1.
Записать в матричном виде систему из 4-х уравнений:
x + 5x − 31x + 4x −8 = 38 |
||||
|
1 |
3 |
1 |
4 |
13 + x2 +15x3 − x2 +15x3 + 32x1 = 0 |
||||
|
|
−15x3 |
− 2x2 − 4x4 −8 = 3 |
|
6x4 |
||||
2x +14x = 6x − 3 |
||||
|
2 |
4 |
|
4 |
Общий вид записи уравнений в матричном виде:
|
|
|
|
|
a |
a |
a |
a |
... |
|
x |
|
|
b |
|
||
|
|
|
|
|
|
11 |
12 |
13 |
14 |
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
a21 |
a22 |
a23 |
a24... |
|
x2 |
|
b2 |
|||||
[A]{x} = b, где [A] |
= a |
a |
a |
a |
... |
, x = |
x |
|
, b = |
b |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
31 |
32 |
33 |
34 |
|
|
|
3 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
a42 |
a43 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
a41 |
a44... |
|
x4 |
|
b4 |
|||||||
|
|
|
|
|
... ... ... |
...... |
|
... |
|
|
... |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
aij - коэффициенты при |
j -ой переменной в i -ой строке. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
bi - правая часть i -ой строки. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
xi - неизвестные переменные. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Запишем в каноническом виде данную систему уравнений: |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
−31x1 + 0x2 + 5x3 + 4x4 = 46 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
+ 0x2 + 30x3 |
+ 0x4 = −13 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
32x1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0x1 − 2x2 −15x3 + 2x4 =11 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
0x + 2x + 0x +8x = −3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
3 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
В данном случае i = |
1,4 |
, |
j = |
1,4 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда [A] имеет вид: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
−31 |
0 |
5 |
4 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
32 |
0 |
30 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[A] |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
= |
0 −2 |
−15 2 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
2 |
0 |
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вектор столбец переменных xi и вектор столбец правой части имеют вид:
x1 |
|
46 |
||
|
|
|
|
|
x2 |
|
−13 |
||
{x}= |
|
, {b}= |
|
. |
x3 |
|
11 |
|
|
x |
|
|
−3 |
|
4 |
|
|
|
|
5
Задача 1.2.
Необходимо вычислить {A}{B}T и {A}T {B}, если исходные матрицы имеют вид:
x + y
|
2x |
|
|
|
|
{A}= |
−6 |
|
|
|
|
|
|
|
x −4y
|
x |
|
|
|
|
|
|
2y − x |
|||
{B}= |
|
|
|
x |
−6y |
||
|
y |
2 |
|
|
|
|
Для того чтобы умножить вектор-строку на вектор-столбец необходимо применить алгоритм матричного умножения.
Алгоритм умножения вектора-столбца на вектор-строку и обратно:
a |
|
b |
|
1 |
|
1 |
|
a2 |
|
b2 |
|
|
|
|
|
{A}= a3 |
|
{B}= b3 |
|
|
|
|
|
a4 |
b4 |
||
... |
|
... |
|
|
|
|
|
Транспонированный вид векторов {A} и {B}:
{A}T = [a1 |
a2 |
a3 |
a4...] |
{B}T = [b1 |
b2 |
b3 |
b4...] |
Тогда произведение {A}{B}T находится следующим образом:
|
a |
|
|
|
|
a b |
|
1 |
|
|
|
|
1 1 |
|
a2 |
|
|
|
|
a2b1 |
T |
|
|
|
|
|
...]= a3b1 |
{A}{B} |
= a3 |
[b1 |
b2 |
b3 |
b4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a4 |
|
|
|
|
a4b1 |
|
... |
|
|
|
|
... |
|
|
|
|
|
|
|
a1b2 |
a1b3 |
a1b4 |
... |
|
|
|
|
a2b2 |
a2b3 |
a2b4 |
... |
a3b2 |
a3b3 |
a3b4 |
... |
|
|
|
|
a4b2 |
a4b3 |
a4b4 |
... |
... |
... |
... |
|
... |
В итоге получаем матрицу размерностью n× m, где n - размерность вектора {A}, m - размерность матрицы {B}T .
Произведение {A}T {B} находится следующим образом:
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
b2 |
|
|
|
|
T |
a2 |
a3 |
a4 |
|
|
= a1b1 |
+ a2b2 |
+ a3b3 + a4b4 +... |
{A} {B}= [a1 |
...] b3 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x + y |
|
x |
|
|||
|
2x |
|
|
|
|
|
|
|
2y − x |
||||
В нашем случае {A}= |
|
|
{B}= |
|
|
. |
|
−6 |
|
x |
−6y |
||
|
|
|
|
y |
2 |
|
x −4y |
|
|
|
|||
Транспонируем заданные вектора {A} |
и {B}: |
|
|
|
6
|
|
|
{ } |
|
[ |
|
|
|
] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
T |
= |
|
x + y 2x −6 x − 4y |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
{B}T = |
x 2y − x x − 6y y2 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Найдем произведение {A}{B}T : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
x + y |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
2x |
|
x 2y − x x −6y y |
2 |
|
= |
|
||||
|
|
{A}{B} = |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
−6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x − 4y |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
(x + y) x |
(x + y)(2y − x) |
(x + y)(x − 6y) |
|
(x + y) y2 |
||||||||||
|
2x |
2 |
2x(2y − x) |
|
2x(x −6y) |
|
|
|
2xy |
2 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
= |
−6x |
−6(2y − x) |
|
−6(x −6y) |
|
|
|
−6y2 |
|||||||
(x − 4y)x (x − 4y)(2y − x) (x − 4y)(x − 6y) (x − 4y) y2 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Найдем произведение{A}T {B}: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
2y − x |
= |
|
||||
|
|
{A} {B}= |
[x + y 2x −6 x − 4y] |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x −6y |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= (x + y) x + 2x(2y − x)−6(x −6y)+ (x − 4y) y2 .
Задача 1.3.
.
Найти произведение [A][B] :
|
1 |
|
|
∂2 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
∂y |
2 |
||||||
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
∂ |
|
|
|
[A]= |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
∂x |
||||||
|
|
|
|
|
|||
|
∂2 |
0 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
||
∂x∂y |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
Для того, чтобы умножить матрицу
x2 |
x2 y |
0 |
|
|
[B]= |
x + y |
y |
2 |
|
2 |
|
|
||
[A], размерностью |
|
m× n на матрицу [B], |
размерностью n k необходимо применить алгоритм матричного умножения, описанный выше. В результате получится матрица, размерностью m k :
a11 |
a12 |
a13 |
a14... |
b11 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|||
a21 |
a22 |
a23 |
a24... |
||
b21 |
|||||
[A]= a31 |
a32 |
a33 |
a34... |
, [B]= b31 |
|
|
a42 |
a43 |
|
|
|
a41 |
a44... |
b41 |
|||
|
|
... |
|
|
|
... ... |
...... |
... |
b12 |
b13 |
b14 |
... |
b22 |
b23 |
|
|
b24... |
|||
b |
b |
b |
... . |
32 |
33 |
34 |
|
b42 |
b43 |
b44 |
... |
... |
... |
|
|
...... |
7
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
∑a1kbk1 |
∑a1kbk2 |
|
|
|
∑a1kbk3 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
k=1 |
|
|
|
k=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k=1 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
∑a2kbk1 |
∑a2kbk 2 |
|
|
|
∑a2kbk3 |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
k=1 |
|
|
|
k=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k=1 |
|
|
||||
|
[A][B]= |
n |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
∑a3kbk1 |
∑a3kbk2 |
|
|
|
∑a3kbk3 |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
k=1 |
|
|
|
k=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k=1 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
∑a4kbk1 |
∑a4kbk 2 |
|
|
|
∑a4kbk3 |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
k=1 |
|
|
|
k=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k=1 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
... |
|
|||
|
|
|
|
|
|
... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Для заданных матриц [A] |
и [B]: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
∂2 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂y |
2 |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
[A][B]= |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
∂ |
|
|
x2 |
|
x2 y |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
∂x |
x + y |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂2 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂x∂y |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
1 x2 + |
|
∂2 |
(2) |
|
|
1 x2 y + |
|
|
∂2 |
|
(x + y) |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
∂y |
2 |
|
|
|
∂y |
2 |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ |
|
|
(2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ |
|
|
(x + y) |
|
||||
= |
1 x |
2 + |
|
|
|
|
|
|
|
1 x2 y + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
∂x |
|
|
|
∂x |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂2 |
(x2 )+ 0 2 |
|
|
∂2 |
|
(x2 y)+ 0 (x + y) |
||||||||||||||||||||||
|
|
∂x∂y |
|||||||||||||||||||||||||||
∂x∂y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
y |
2 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= x2 |
|
|
x2 y +1 |
0 |
. |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
2x |
0 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
∑a1kbk4 |
... |
k=1 |
|
n |
|
∑a2kbk4 |
... |
k=1 |
|
n |
|
∑a3kbk4 |
... |
k=1 |
|
n |
|
∑a4kbk4 |
... |
k=1 |
|
... |
|
... |
0 y2 =
1 0 + ∂∂y22 (y2 )
1 0 + |
∂ |
(y2 ) |
= |
||
∂x |
|||||
|
|
|
|
||
|
|
|
|
||
∂2 |
(0)+ 0 y2 |
|
|||
|
|
||||
∂x∂y |
|||||
|
|
|
|
Задания для самостоятельной работы
1.1. Записать в матричной форме систему 4-х уравнений:
x1+5x3-32x1+4x4-8=38
2x2+14x4 =156
x2+15x3+32x1=0
6x4-15x3-2x2-4x4 -8=3
1.2. Вычислить произведение {А}{В}Т и{А}Т {В}
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
x2 |
|
|
− 2 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2x -3 |
|
7x |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
={А}, |
|
|
={В} |
|
|
|
|
|
||
- 6y |
|
2y3 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x + 4y |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
1.3. Найти произведение [A][B] |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
∂ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
∂y |
|
|
x2 |
x2 y |
0 |
|
|
|
|
|
|
1 |
∂ |
|
|
|
|
|
||||
[A]= |
[B]= |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
∂x |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
2 x + y |
y2 |
|
|
|
|||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂x∂y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача 2. |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
В системе координат x, y задан трех - узловой конечный элемент. Известно значение |
||||||||||
температуры в узлах КЭ. Необходимо определить значение температуры TK |
во внутренней |
|||||||||||
точке КЭ, если узел 1 имеет координаты (0,0) |
и T = 50 C , узел 2 - (5,0) и T = 20 C , узел 3 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
- (2,4) |
|
и T2 |
= 35 C . Внутренняя точка K имеет координаты (3,1.5). |
|
||||||||
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
K. |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
3 |
4 |
x |
|
|
Найдем значение температуры в точке K , используя обычный интерполяционный
полином с тремя неизвестными коэффициентами:
|
|
|
|
|
|
9 |
a1 + a2 x + a3 y = T |
|
|
|
|||
a1,a2 ,a3 = ? |
|
|
|
|||
Найдем коэффициенты a1,a2 ,a3 из условия, что значение температуры в узловых |
||||||
точках известно: |
|
|
|
|||
a + a |
|
0 + a 0 = 50 |
|
|
||
1 |
|
2 |
3 |
|
|
|
a1 + a2 5+ a3 0 = 20 |
|
|
||||
|
+ a2 |
2+ a3 4 = 35 |
|
|
||
a1 |
|
|
||||
Решая полученную систему линейных алгебраических уравнений, получаем значения |
||||||
a1,a2 ,a3 : |
|
|
|
|
|
|
a1 = 50 |
|
|
|
|
||
a2 = −6 |
|
|
|
|
||
a3 = −0,75 |
|
|
|
|||
Тогда T = 50 − 6 3− 0,75 1,5 = 30,8750С . |
||||||
|
|
|
K |
|
|
|
Дадим геометрическую интерпретацию полученного решения. То есть изобразим |
||||||
температурное поле T . |
|
|
|
|||
|
T |
|
|
|
|
|
|
50 |
|
|
|
|
|
|
40 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Tk |
|
|
30 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
20 |
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
. |
2 |
|
|
|
|
K |
||
|
|
|
|
|
||
|
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
Проинтерполируем функцию температуры с использованием функций формы. |
10
TK = N1KT1 + N2KT2 + N3KT3
N1 = b1 + b2 x + b3 y
N2 = c1 + c2 x + c3 y
N1 = d1 + d2 x + d3 y
Необходимо найти коэффициенты bi ,ci ,di ,i =1,3. Используем для их нахождения
одно из свойств функций формы []: «Функция формы принимает единичное значение в своем узле и нулевое во всех остальных». Тогда для N1 получим систему вида:
b + b 0+ b 0 =1 |
|||
|
1 |
2 |
3 |
b1 + b2 5+ b3 0 = 0 |
|||
b + b 2 + b 4 = 0 |
|||
|
1 |
2 |
3 |
Отсюда:
b1 = 1
b2 = −0,2 b3 = −0,15
Для коэффициентов ci :
c + c |
0+ c 0 = 0 |
|
1 |
2 |
3 |
c1 + c2 5+ c3 0 =1 |
||
|
+ c2 |
2 + c3 4 = 0 |
c1 |
c1 = 0 c2 = 0,2 c3 = −0,1
Для коэффициентов di :
d + d |
|
0+ d |
|
0 = 0 |
1 |
2 |
|
3 |
|
d1 + d |
2 5+ d3 0 = 0 |
|||
|
|
2 + d3 4 = 1 |
||
d1 + d2 |
d1 = 0
d2 = 0
d3 = 0,25