книги / Цифровая обработка сигналов в измерительной технике
..pdfА А Г О Р Л А Ч , М .Я .М И Н Ц , В .Н .Ч И Н К О В
ЦИФРОВАЯ
ОБРАБОТКА
СИГНАЛОВ
В ИЗМЕРИТЕЛЬНОЙ ТЕХНИКЕ
К И Е В
«T B X H IK A »
1985
31.221
Г69
Г69 |
Горлач А. А. и др. |
в |
измерительной |
технике |
||
Цифровая обработка сигналов |
||||||
|
/А. А. |
Горлач, |
М. Я. Минц, В. Н. |
Чинков. — К .: |
Техшка |
|
|
1985.— 1Б1 с., |
ил.— Библиогр.: с. 147—149. |
|
|||
|
65 к. |
9000 экз. |
|
|
|
|
|
Приведена обобщенная математическая модель цифровых измерительных приборов |
|||||
|
(ЦИП), отражающая |
характерные особенности |
аналого-цифровой обработки сигналов. |
|||
|
На основе этой модели получены обобщенные оценки |
помехоустойчивости |
ЦИП. Пред* |
|||
|
ложена методика оптимального синтеза основных параметров ЦИП по критериям точности |
|||||
|
и помехоустойчивости. Даны перспективные принципы построения ЦИП наг основе цифро |
|||||
|
вой обработки мгновенных значений сигналов |
|
|
|
||
|
Рассчитана на инженерно-технических работников, занимающихся разработкой, про |
|||||
|
ектированием и эксплуатацией цифровых приборов н систем, а также может быть полезна |
|||||
|
студентам. |
|
|
|
|
|
2405000000-041 |
|
|
|
81.221 |
||
М202(04)-85 |
40,85 |
|
|
|||
|
|
|
|
Рецензенты: канд. техн наук А. И. Слободянюк, д-р техн. наук Ю. М. Туз
Редакция литературы по энергетике, электронике, кибернетике и связи Зав. редакцией 3. В, Божко
© Издательство «Техника», 1985
Перспективы развития цифровой измерительной техники, опреде ленные Основными направлениями экономического и социального разви тия СССР на 1981— 1985 годы и на период до 1990 года, связаны о широким внедрением новейших достижений науки и техники, в первую очередь микропроцессоров. Применение микропроцессоров позволит под нять метрологические и эксплуатационные характеристики измери тельных приборов и систем на качественно новый уровень, наиболее полно решить вопросы универсализации и унификации. Однако исполь зуемые в современной измерительной аппаратуре алгоритмы обработки информации во многих случаях ограничивают те возможности, которые открывают микропроцессоры. Объясняется это тем, что в серийно вы- пускаемых приборах пока еще значительный удельный вес занимают аналоговые узлы: различного рода аналоговые измерительные преобра зователи, например, переменного напряжения, мощности, фазовых сдвигов и прочих физических величин в постоянныенапряжение, ток или какой-либо другой параметр.
Повышение эффективности применения микропроцессоров возможно при использовании в цифровых приборах таких методов измерения, при которых аналоговые функциональные операции сведены к минимуму или исключены вовсе. В наибольшей степени этому требованию удов летворяет метод измерения, основанный на*цифровой обработке кодов мгновенных значений сигналов по алгоритмаму определяемым измеряе мыми величинами. Однако этот метод не нашел пока практического распространения из-за отсутствия удовлетворительных разработок цифровых приборов, реализующих способы измерения по мгновенным значениям для широкой гаммы электрических величин*
Предложенные в книге обобщенные аналитическая модель и ме тоды оценки погрешностей справедливы также для большинства известных цифровых ^приборов, что значительно расширяет их прак тическое применение.
Авторы выражают благодарность рецензентам канд. техн. на ук А. И, Слободяшоку и д-ру техн. наук Ю. М, Тузу за ценные замечания по рукописи.
Отзывы и пожелания просьба направлять по адресу: 252601, Киев, 1, Крещатик, 5, издательство «Технта».
ОЦЕНКА ПОГРЕШНОСТЕЙ ЦИФРОВОЙ ОБРАБОТКИ СИГНАЛОВ
ВИЗМЕРИТЕЛЬНОЙ ТЕХНИКЕ
1.АНАЛИТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ОБРАБОТКИ СИГНАЛОВ
ВЦИФРОВЫХ ИЗМЕРИТЕЛЬНЫХ ПРИБОРАХ
Влюбом измерительном приборе происходит обработка информа ции, в результате которой входному сигналу х (0 или совокупности
входных сигналов х (<) = {х, (t), л* (0* •••* ха (/)} ставится в соответ ствие число Y — результат измерения. В многофункциональных (ком плексных) приборах таких чисел может быть несколько.
Для составления обобщенной аналитической модели измерительных приборов рассмотрим основные алгоритмы цифровой обработки сиг налов, определяемые методами измерения соответствующих ве личин.
1. Алгоритм усреднения
т
Y = -ljrjx(f)<U, |
(1) |
где Т — время усреднения (или измерения); к — коэффициент переда чи прибора.
Этот алгоритм используется при измерении средних значений (или математического ожидания) переменных но времени сигналов, а так же постоянных сигналов для повышения точности измерений. Если обозначить через Х„ среднее значение сигнала х (О, то
Y ^ k X »
2. Алгоритм корреляционной обработки сигналов
т
г . - - И * ( 0 ф (0Я , |
(2) |
о |
|
где ф (t) — базисный (опорный) сигнал. В качестве опорного сигнала часто берется гармонический сигнал ф (t) = cos (va>t + pv), где v — номер исследуемой гармоники; со — круговая частота входного сигна ла; pv — начальная фаза базисного сигнала.
Сюда относится измерение квадратурных составляющих (в этом случае pv = 0 или pv = я/2) или амплитуды и фазы гармоник, опре деление частотных характеристик, либо, в общем случае, определение коэффициентов разложения входного сигнала по заданной системе функций. Этот метод применяется также для определения амплитуды сигнала х (t) при наличии помех. При разложении сигнала х (t) в ряд
Фурье и синусоидальном базисном сигнале
ео
Ф (/) — cos (y(ùt + pv); * (*) = Е At cos (Ш + ф,)
1=о
величина
У2 = 4~Av cos (oj)v — Pv),
где Av — амплитуда; я|>у — начальная фаза у-й гармоники сигнала х (t). При Pv = 0, я/2 имеем квадратурные составляющие v-й гар
моники, а при Pv = — амплитуду v-й гармоники.
3. Алгоритм взаимно корреляционной обработки сигналов
т
(3)
о
где т — временной сдвиг, который в частном случае может быть равен нулю. Этот алгоритм применяется для измерения активной и реактив ной мощностей, оценки корреляционных функций, фазовых сдвигов и т. д. Величину У3 можно выразить через гармонические состав ляющие сигналов х1 (t) и х2 (t):
ео
r 3 = A S X 1VX2VCOS (q>v— VG>T),
v=0
где X,v и X2V— среднеквадратические значения v-й гармоники сиг налов Х\ (0 их2 (0; q)v’— фазовый сдвиг между v-ми гармониками сиг налов.
В частности, если хг (0 и х2 (/) представляют собой ток и напряже ние, то при т = 0 получаем активную мощность. Если хотя бы один из сигналов синусоидален, то
У3= kXtX2cos (ср — сот).
При сот = 0, я/2 получаем соответственно активную и реактивную мощности, если хг (0 и х2 (t) — ток и напряжение. Значение б>т, при котором величина У3 максимальна, определяет фазовый сдвиг между
сигналами. |
|
|
4. |
Если в формуле (3) положить хх (t) = х2 (/), то получим алгоритм |
|
автокорреляционной обработки |
|
|
|
т |
|
|
Yi = -jr ^x(t)x(t — x)dt. |
(4) |
|
О |
|
Этот алгоритм применяется для измерения действующих значений тока и напряжения, дисперсии (при т = 0), оценки автокорреляционных
функций. Величину YA можно выразить через гармонические со ставляющие
У I î= k X V COS VCÙT.
v=o
Более сложные алгоритмы обработки сигналов в электрических измерениях встречаются значительно реже и, как правило, могут быть выражены через приведенные основные алгоритмы. Рассмотрим, на пример, один из возможных алгоритмов измерения коэффициента гар моник:
к = V u * - u \ i U t .
Здесь действующее значение напряжения U можно получить в соот ветствии с автокорреляционным алгоритмов (4) (при %= 0), а действу ющее значение первой гармоники 1)г — в соответствии с корреляци онным алгоритмом (2). Затем по измеренным значениям - U и Uxвычис ляют коэффициент гармоник.
Как видно из соотношений (1) — (4), все основные алгоритмы можно записать в обобщенном виде:
т
У = - М о/ Й 0 . 3 |Я . |
(5) |
Функция / [х (/), а] зависит от входных сигналов^ ft) = |
[хг (t), х2(/),... |
хп (t)) и способа их o6pai6oTKH. В электрических измерениях при ходится иметь дело, как правило, с одномерными и двумерными сигна лами. Характеристиками одномерных входных сигналов являются ам плитуда, действующее и среднее значения, квадратурные и другие составляющие, а взаимными характеристиками двумерных входных сигналов— фазовые сдвиги, мощность, взаимно корреляционные функ
ции. Функция f [х (t), а] зависит также от величины а, которая пред ставляет собой набор параметров, определяющих алгоритмы обработ ки. Так, для алгоритма (2) таким набором служит совокупность вели чин V, (о, pv, а для алгоритмов (3), (4) — величина задержки ч.
Таким образом, функция f lx (t), а] полностью описывает все основ-, ные алгоритмы обработки сигналов и поэтому назовем ее алгоритми ческой, а соотношение (5) — обобщенной аналитической моделью об работки сигналов в измерениях.
Основные алгоритмы (1) — (4) можно реализовать как в аналоговой, так и в цифровой форме.
В цифровых измерительных приборах (ЦИП) некоторые или все операции (исключая операцию масштабирования или нормирования входного сигнала), предусмотренные алгоритмами (1) — (4), выполня ют в дискретной форме. Для этого исследуемые сигналы на том или ином этапе с помощью аналого-цифровых преобразователей (АЦП) преобра зуют в коды, которые затем подвергают цифровой обработке. Однако некоторые операции могут выполняться на аналоговых элементах. Таким образом, в тракте ЦИП осуществляется в общем случае анало*
го.-цифровая обработка сигналов (АЦОС), алгоритмы которой получа ются из выражений (1) — (4) и определяются принятым способом из мерения.
Цифровая обработка сигналов неизбежно приводит к возникнове нию методических погрешностей. Эти погрешности возникают, во-пер вых, за счет дискретизации, в результате чего интеграл в формуле (5) заменяется суммой отсчетов в дискретные моменты времени. Во-вторых, замена мгновенных значений сигнала его числовым кодом приводит к погрешности квантования. Кроме того, в реальных условиях на ре зультат измерения оказывают влияние также другие погрешности и
различного рода помехи. Поэтому результат измерения |
У на выходе |
|||||
цифрового |
прибора |
отличается |
* |
р |
р |
|
от точного |
значения |
7, которое- |
Y(y;0 . г—т—. ,.—t—. |
—1—. .------ , |
||
определяется формулой |
(5), и |
|
— А ^ J |
|||
может быть записан так: |
|
|
|
|
||
т—1 |
Ш ; |
а], |
|
6У |
|
|
|
Е |
|
|
|||
т *=0 |
|
(6) |
Рис. 1. Обобщенная структурная схема |
|||
|
|
|
ЦИП |
|
|
где т — число отсчетов.
Величины /[•] представляют собой значения алгоритмической
функции f [•] в точках отсчета,, искаженные помехами и погрешнос-
—>
тями (в том числе и погрешностью квантования). Величина g (t£) =
= {Si (^). Î2 (У. ..>t In (*/)} есть л-мерный вектор погрешностей (кро ме погрешности дискретизации), а также различного рода помех веточ
ках отсчета Согласно определению по ГОСТ-16263—70, ЦИП характеризуются
двумя особенностями: наличием операций аналого-цифрового преобра зования сигналов и цифрового отображения результата, измерения. Тех нически указанные операции реализуются с помощью соответственно аналого-цифрового преобразователя (АЦП) и блока регистрации (БР) с цифровым отсчетным устройством, который служит для представле ния результата измерения в цифровой форме, удобной для визуального отсчета, а при необходимости — и для ее регистрации. В составе ЦИП имеются также входные аналоговые преобразователи — входные ус тройства (ВУ): простые — масштабные (делители, усилители) и слож ные — функциональные (преобразователи различных характеристик переменного напряжения в постоянное, преобразователи мощности в постоянное напряжение и т. д.). В приборы с цифровой обработкой ин формации, как правило, входит арифметическое устройство (АУ) для выполнения вычислительных операций. Работу всех узлов прибора синхронизирует блок управления (БУ). Структурная схема ЦИП изоб ражена на рис. 1. Между АЦП и АУ, а также между АУ и БР могут устанавливаться преобразователи код—код (ПКК), но поскольку они не влияют на алгоритм АЦОС, то в структурную схему прибора они не введены.
В общем случае на вход прибора поступает два сигнала: хг (/) и *2 (0 — напряжение и ток или два напряжения. Поэтому прибор содер-
жит либо один (для одномерных сигналов), либо два (для двумерных сигналов) АЦП. Однако, если позволяет время измерения, то и для двумерных сигналов можно обойтись одним АЦП. Моменты дис кретизации входных сигналов t{ задаются БУ. Блок управления задает также режим работы ЛУ, на информационные входы которого посту пают коды мгновенных значений с выхода АЦП.
Соотношение (6) представляет собой обобщенную аналитическую модель АЦОС и позволяет с единых позиций провести анализ всех по грешностей цифровых приборов, а затем определить результирующую погрешность.
2. КЛАССИФИКАЦИЯ ПОГРЕШНОСТЕЙ
ЦИФРОВОЙ ОБРАБОТКИ СИГНАЛОВ |
|
Погрешность измерительного прибора |
ДY — это разность между |
пойзанием прибора ^Y и точным значением измеряемой величины: |
|
ДY = Ÿ — Y, |
(7) |
содержащая ряд составляющих, вызываемых различного рода причи нами. Для цифровых приборов эти составляющие можно разделить на четыре группы:
1)погрешность дискретизации АУД;
2)погрешность квантования АУКВ;
3)динамические погрешности AYt;
4)погрешности ДУ|, вносимые помехами. Сюда же можно отнести инструментальные погрешности приборов, имеющие случайный ха рактер.
Погрешность дискретизации вызывается дискретизацией сигналов во времени, что приводит к замене интеграла в соотношении (5) суммой
отсчетов функции f [х (/), а] в определенные моменты времени it. В те ории связи известна теорема Котельникова [95], согласно которой сиг нал с ограниченным спектром может быть точно восстановлен по его мгновенным значениям в дискретных точках, если частота дискретиза ции по крайней мере вдвое превышает граничную частоту сигнала.
В практике измерений, однако, чаще приходится иметь дело с сиг налами, спектр которых неограничен, хотя амплитуды высокочастотных составляющих сигнала с ростом частоты убывают. Для таких сигналов теорема Котельникова приближенно определяет «порог» восстанов ления сигнала, ничего не говоря о точности восстановления, которая определяется как раз отбрасываемыми высокочастотными составляю щими. Поэтому оценку погрешности дискретизации необходимо вы полнять иными методами.
Аналого-цифровая обработка сигнала предполагает операцию кван тования, которая состоит в преобразовании мгновенных значений сиг нала в точках отсчета в код, причем эти значения можно представить определенным конечным числом фиксированых уровней квантования. Если мгновенные значения сигнала находятся между уровнями кван тования, то они заменяются одним из этих уровней. В результате воз никает погрешность квантования, которая имеет случайный характер
и может быть отнесена к помехам. Однако ее целесообразно выделить отдельно по двум причинам: во-первых, погрешность квантования явля ется одной из исходных величин для синтеза параметров АЦП (часто ты квантующих импульсов, времени преобразования и т. д.); во-вторых, она часто имеет преобладающий вес в сравнении с другими составляю щими и определяет точность всего процесса преобразования и обработ ки сигнала.
Аналого-цифровое преобразование информационных сигналов не избежно сопровождается динамическими погрешностями, к которым можно отнести также и погрешности, вызываемые смещением точек дискретизации мгновенных значений, по эффекту своего проявления близкие к динамическим. Часто динамические погрешности делятся на две группы: погрешности первого и второго рода [96L Первые по грешности обусловлены инерционностью входных цепей преобразова теля, которая приводит к запаздыванию сигнала в точках дискретиза ции, вторые — изменением входного сигнала за время преобразования.
Смещение точек дискретизации мгновенных значений вызывается разными причинами: как методическими, так и инструментальными и может иметь как систематический, так и случайный характер.
Необходимость оценки погрешностей, вносимых различного вида помехами, присутствующими во входных сигналах, а также внутрен ними шумами, возникающими в тракте цифрового прибора, в последнее время стала весьма актуальной, в особенности в связи с внедрением
в практику прецизионных-приборов и повышением уровня помех.
—>
Таким образом, к величине g (t£) в обобщенной аналитической мо дели (6) будем относить погрешность квантования, динамические по грешности и погрешности, вносимые помехами.
В общем случае результирующая погрешность может сложно зави сеть от отдельных составляющих. Однако применительно к измеритель ным приборам задача упрощается. Любой работоспособный измери тельный прибор конструируется так, чтобы его абсолютная погреш ность AY была мала по сравнению с измеряемой величиной Y . Это значит, что и отдельные составляющие погрешности должны быть ма лыми. Если к тому же различные составляющие погрешности незави симы, то имеет место «принцип суперпозиции» погрешностей, состоя щий в том, что результирующая погрешность есть сумма отдельных со ставляющих, причем каждая составляющая может вычисляться при условии, что остальные отсутствуют, т. е. равны нулю. В соответствии с формулой (7) и с учетом выражений (5), (6) результирующая погреш ность
àY = ± J ] f [х(/,). I (td, |
(t), a] dt. |
В этом выражении |
|
fU(tc),a] = / [ x (/,.), Î W |
, a ] l t(()=0. |
т. e. идеальная и реальная алгоритмические функции равны в отсут ствие помех и погрешностей, исключая погрешность дискретизации,
которая в алгоритмической функции не учитывается. Для выделения в явном виде погрешности дискретизации запишем величину AF так:
AF = AF„ + AF',
где |
|
|
|
m—1 |
|
(8) |
|
А |
- |
4 |
2 |
М* M , fl] - - г |
J f lx (0.fl] dt |
||
|
|
|
|
|
|
о |
|
— погрешность |
дискретизации; |
|
|
||||
|
AF' = |
JL |
S 1 |
{/ [* «,), 1 &), «] - |
f \x (td, e]} |
|
|
|
|
|
m £—0 |
|
|
|
|
— величина, |
включающая |
остальные погрешности. |
|
Используя допущение о малости всех составляющих погрешности,
алгоритмическую функцию / U (tj, g (fj, ш можно разложить в ряд Тейлора [61] и сохранить в этом разложении только члены наинизшего порядка, приводящие в дальнейшем к ненулевой оценке погрешнос ти. Члены более высокого порядка будут малы по сравнению с указан-
ными, если g = 0 не попадает в окрестность особой точки алгоритми ческой функции. Это условие выполняется для всех рассмотренных в книге алгоритмических функций. В противном случае, а также при •немалых погрешностях, можно воспользоваться, например, методикой, изложенной в работе [87]. Учет членов более высокого порядка малости не имеет смысла, так как при малых погрешностях он приводит только к такому уточнению оценки погрешности, которое лежит за пределами потребностей практики.
Если к ненулевой оценке погрешности приводят члены первого порядка малости, то для оценки погрешности ДУ' получим
п |
п |
т—1 |
|
= |
<7=1 |
£=0 |
(9) |
Q=1 |
^ |
||
где q — номер составляющей |
погрешности; g/i<7 ES g? (f,)— значение |
||
отдельных составляющих погрешности в |
точках дискретизации t(; |
dît
Ъ ,)=о
— значение производных алгоритмической функции по составляющим
погрешности ^ в точках отсчета t(, вычисленных при g (t() = 0. Соотношение (9) представляет собой математическую запись «прин
ципа суперпозиции» погрешностей. Как видно из этого соотношения,
результирующая погрешность AF' есть |
сумма составляющих AYg; |
обусловленных отдельными составляющими погрешности g, (f): |
|
m—1 |
d/£ |
Ду *----— V h |
m f=0 dïtiQ