книги / Флуктуации в динамических системах под действием малых случайных возмущений
..pdfТ Е О Р И Я В Е Р О Я Т Н О С Т Е Й И М А Т Е М А Т И Ч Е С К А Я С Т А Т И С Т И К А
А. Д. ВЕНТЦЕЛЬ, М. II. ФРЕЙДЛИН
ФЛУКТУАЦИИ В ДИНАМИЧЕСКИХ
СИСТЕМАХ ПОД ДЕЙСТВИЕМ МАЛЫХ
СЛУЧАЙНЫХ
ВОЗМУЩЕНИЙ
МОСКВА «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
19 79
22. 171 В 29
УДК 519.21
Вентцель А. Д., Фрейдлин М. И. Флуктуации в динамических системах под
действием малых случайных возмущений.— М.: Наука. Главная редакция физико-математиче ской литературы, 1979, 424 стр.
Книга посвящена изучению случайных про цессов, определяемых дифференциальными урав нениями, правые части которых претерпевают случайные возмущения. Подобные задачи часто встречаются как в практических, так и в теоре тических исследованиях. При исследовании таких процессов важную роль играют асимпто тические методы, которые применимы, если возмущения в том или ином смысле малы. Имен но такие методы излагаются в книге.
Илл. 20. Библ. 119,
Александр Дмитриевич Вентцель, Марк Иосифович Фрейдлин
Ф ЛУКТУАЦ И И В ДИНАМ ИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ ПОД ДЕЙСТВИЕМ М АЛЫ Х СЛ УЧ АЙ Н Ы Х ВОЗМУЩ ЕНИЙ
(Серия: «Теория вероятностей и математическая статистика»)
|
|
М ., 1979 г., |
424 стр. с |
илл. |
|
|
|
|
Редактор М. Б. Невелъсоп |
|
|
||
Техн. редактор |
Л. В. Лихачева. |
Корректор Я . Б. Румянцева |
||||
|
|
ИБ М |
11457 |
|
|
|
Сдано в набор |
11.09.78. |
Подписано к печати 22.03.79. |
Т -05384. |
Бумага |
||
84 х 1081/**, тип. № 1. |
Обыкновенная гарнитура. Высокая печать. |
Условн. |
||||
печ. л. 22,26. |
Уч.-изд. |
л. 22,36. |
Тираж |
8000 экз. |
Заказ |
№ 276. |
|
|
Цена книги 1 р. 70 |
к. |
|
|
Издательство «Наука» Главная редакция физико-математической литературы
117071, Москва, В-71, Ленинский проспект, 15
4-я типография издательства «Наука». 630077, Новосибирск, 77, Станиславского, 25.
п 20203 — 060 |
|
Главная редакция |
32-79. 1702060000 |
© № ?$ £ ?2 ™ атческо* |
|
053(02}-79 |
|
издательства «Наука»4 1979 |
ОГЛАВЛЕНИЕ
П редисловие....................................................................................... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
Введение ........................................................................................ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
9 |
|
|
|
|
|
Г л а в а |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Случайные возмущения |
|
|
|
|
|
||||||
§ 1. |
Вероятности |
и |
случайные |
величины...................... |
|
|
27 |
|
|||||
§ 2. Случайные процессы. |
Общие |
свой ства .................. |
|
|
30 |
|
|||||||
§ 3. |
Винеровский |
процесс. |
Стохастический |
интеграл . |
. . |
|
39 |
||||||
§ 4. |
Марковские |
процессы |
и полугруппы ...................... |
|
|
47 |
|
||||||
§ 5. |
Диффузионные процессы и дифференциальные урав |
|
|||||||||||
|
нения ........................................................... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
52 |
|
|
|
|
Г л а в а |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Малые случайные возмущения |
|
|
|
|
||||||||
|
на конечном отрезке времени |
|
|
|
|
|
|||||||
§ 1. |
Нулевое приближение |
...................................................... |
|
|
|
|
|
|
66 |
|
|||
§ 2. |
Разложение по степеням малого параметра.......... |
|
|
75 |
|
||||||||
§ 3. |
Эллиптические |
и |
параболические |
дифференциальные |
|
||||||||
|
уравнения |
с |
малым |
параметром |
при |
старших |
|
||||||
|
производных |
|
........................................................................... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
86 |
|
|
|
|
Г л а в а |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Функционал действия |
|
|
|
|
|
||||||
§ 1. |
Метод Лапласа |
в функциональном |
пространстве . . . |
|
99 |
||||||||
§ 2. |
Экспоненциальные |
оц ен ки ............................... |
|
|
|
|
|
|
|
104 |
|||
§ 3. |
Функционал |
действия. |
Общие |
свой ства .................. |
|
|
111 |
|
|||||
§ 4. Функционал действия для гауссовских |
случайных |
про |
|
||||||||||
|
цессов и полей |
. . .................................. |
. . . . |
. * |
* |
|
127 |
||||||
|
|
|
|
Г л а в а |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Гауссовские возмущения динамических систем. |
|
|
|
|||||||||
|
Окрестность положения равновесия |
|
|
|
|
||||||||
§ 1. Функционал |
действия...................................................... |
|
|
|
|
|
|
|
142 |
|
|||
$ 2. |
Задача о выходе |
из области . . . . . . . . . . . |
4 |
148 |
1*
4 |
|
|
|
|
ОГЛАВЛЕНИЕ |
|
|
|
||
§ 3. |
Свойства |
квазппотенциала. Примеры................................ |
|
|
161 |
|||||
§ 4. Асимптотика среднего времени |
выхода |
и инвариантной |
|
|||||||
|
меры для окрестности положения равновесия |
. . . . |
168 |
|||||||
§ 5. |
Гауссовские |
возмущения |
общего вида . . ...................... |
179 |
||||||
|
|
|
|
Г л а в а |
5 |
|
|
|
|
|
|
Возмущения, приводящие к марковским процессам |
|
||||||||
§ 1. |
Преобразование |
Лежандра |
......................................... |
|
|
183 |
|
|||
§ 2. |
Локально |
безгранично |
делимые .........процессы |
192 |
|
|||||
§ 3. |
Частные |
случаи. Обобщения..................................... |
|
|
206 |
|
||||
§ 4. |
Следствия. Обобщение результатов ...............главы ь |
|
210 |
|||||||
|
|
|
|
Г л а в а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Марковские возмущения |
|
|
|
||||
|
|
|
на больших отрезках времени |
|
|
|||||
§ 1. |
Вспомогательные |
результаты. |
Отношение эквивалент |
|
||||||
|
ности ........................................................................................... |
|
|
|
|
|
|
|
|
216 |
§ 2. |
Цепи Маркова, связанные с |
процессом |
(Хгг, |
Р£) . . , |
226 |
|||||
§ 3. |
Леммы |
о цепях |
М аркова.......................................... |
|
|
|
236 |
|
||
§ 4. |
Задача |
об |
инвариантной ............................. |
м е р е |
|
247 |
|
|||
§ 5. |
Задача |
о |
выходе из обл а .................................сти |
|
257 |
|
||||
§ 6. |
Разбиение на циклы. Субпредельные распределения |
264 |
||||||||
§ 7. |
Задачи |
о |
собственных |
значениях......................... |
|
271 |
|
|||
|
|
|
|
Г л а в а |
7 |
|
|
|
|
Принцип усреднения. Флуктуации
вдинамических системах с усреднением
§1. Принцип усреднения в теории обыкновенных диффе
|
ренциальных уравнений................ |
|
281 |
||||
§ 2. |
Принцип |
|
усреднения, |
когда быстрое движение есть |
|
||
|
случайный |
п роц есс |
....................................................... |
|
287 |
|
|
§ 3. |
Нормальные уклонения |
от усредненной системы . . |
. |
291 |
|||
§ 4. |
Большие |
уклонения |
от |
усредненной системы . . |
. . |
304 |
|
§ 5. |
Большие |
уклонения. Продолжение........................ |
315 |
|
|||
§ 6. |
Поведение |
системы на больших интервалах времени |
324 |
||||
§ 7. |
Не очень |
|
большие |
уклонения ............................. |
330 |
|
|
§ 8. |
П ри м еры |
......................................................................... |
|
|
336 |
|
|
§ 9. |
Принцип усреднения для стохастических дифферен |
|
|||||
|
циальных |
|
уравнений............................................. |
|
|
349 |
|
|
ОГЛАВЛЕНИЕ |
5 |
|
|
|
Г л а в а |
8 |
|
|
Устойчивость при случайных возмущениях |
|
||
§ 1. |
Постановка задачи .................................................................. |
|
|
368 |
§ 2. |
Задача оптимальной |
стабилизации .................................... |
376 |
|
§ 3. |
Примеры ...................................................................................... |
|
|
384 |
|
|
Г л а в а |
9 |
|
|
Уточнения и обобщения |
|
||
§ 1. |
Локальные теоремы, |
точнаяасимптотика......................... |
389 |
|
§ 2. |
Большие уклонения |
дляслучайных м е р ...................... |
399 |
|
§ 3. |
Процессы с малой диффузией с отражением на границе |
409 |
||
Л итература.......................................................................................... |
|
|
415 |
|
Указатель............................................................................................ |
|
|
423 |
ПРЕДИСЛОВИЕ
Асимптотические задачи всегда занимали важное мес то в вероятностных исследованиях. В классической тео рии вероятностей, имеющей дело в основном с последова тельностями независимых случайных величин, теоремы типа законов больших чисел, типа центральной предель ной теоремы и теоремы о больших уклонениях составляют балыпую часть всех исследований. В последние годы, когда основные интересы переместились на изучение слу чайных процессов, асимптотические исследования продол жают играть ведущую роль. Можно сказать, что в теории случайных процессов такие исследования играют еще боль шую роль, чем в классической теории вероятностей, потому что получение простых точных формул в задачах, связанных со сколько-нибудь широкими классами слу чайных процессов, по-видимому, невозможно.
Асимптотические исследования в теории случайных процессов включают результаты и типа закона больших чисел, и типа центральной предельной теоремы, и, нако нец, в последнее десятилетие — теоремы о больших ук лонениях. Конечно, все эти вопросы приобрели в теории случайных процессов новые аспекты и новые интерпре тации.
Одна из важных схем, приводящих к изучению раз личных предельных теорем для случайных процессов,— динамические системы, подвергающиеся воздействию слу чайных возмущений. К такой схеме приводит целый ряд задач как теоретического, так и прикладного характера. Часто бывает естественно предположение о малости в том или ином смысле случайных возмущений по сравнению с детерминированными составляющими движения. Задача изучения малых случайных возмущений динамических систем ставилась еще в статье П о н т р я г и н а х А н д -
ПРЕДИСЛОВИЕ |
7 |
р о н о в а и В и т т а [1]; результаты, |
полученные в |
этой статье, относились к одномерным и частично двумер ным динамическим системам и таким возмущениям, кото рые приводят к диффузионным процессам. Можно рассмат ривать также другие виды случайных возмущений, в част ности, возникающие в связи с принципом усреднения. Здесь малость воздействия возмущении обеспечивается тем, что они быстро колеблются.
Различные асимптотические задачи, возникающие при стремлении к нулю параметра, характеризующего ма лость случайных возмущений, и составляют содержание книги. Конечно, авторы не могли рассмотреть все мысли мые схемы малых случайных возмущений динамических систем. В частности, в книге совсем не рассматриваются динамические системы, порожденные случайными вектор ными полями. Основное внимание уделяется исследова нию влияния возмущений на больших временных интер валах. На таких интервалах малые возмущения уже, вообще говоря, оказывают существенное влияние на по ведение системы. Чтобы учитывать это влияние, необхо димо уметь оценивать вероятности маловероятных со бытий, т. е. необходимы теоремы об асимптотике вероят ностей больших уклонений для случайных процессов. В книге изучается эта асимптотика и ее применение к за дачам о поведении случайного процесса на больших от резках времени, таким, как задача о предельном поведе нии инвариантной меры, о выходе случайного процесса из области, об устойчивости при случайных возмущениях. Некоторые из этих задач были поставлены уже давно, другие — сравнительно новые.
Изучаемые нами задачи можно рассматривать как за дачи асимптотического исследования интегралов в функ циональном пространстве, а основной метод, которым мы пользуемся,— как бесконечномерное обобщение извест ного метода Лапласа. Эти конструкции примыкают к сов ременным исследованиям по асимптотическим методам. В тех случаях, когда в результате воздействия возмуще ний получаются диффузионные процессы, мы приходим к задачам, тесно связанным с эллиптическими и парабо лическими дифференциальными уравнениями с малым параметром. Из наших рассмотрений вытекают некоторые новые результаты о таких уравнениях. Мы с интересом
8 |
ПРЕДИСЛОВИЕ |
относимся |
к этим связям п, как правило, приводим соот |
ветствующие формулировки в терминах дифференциаль ных уравнений.
Следует отметить, что эта книга пишется, когда тео рия больших уклонений для случайных процессов еще только создается. Здесь уже имеется ряд достижений, но многое еще впереди. Поэтому в книгу вошли некоторые вещи, не принявшие еще своей окончательной формы (причем часть материала дана обзорно), и в то же время какие-то новые исследования совершенно не нашли отра жения в книге. Авторы старались минимизировать свя занные с этим недостатки.
Книга рассчитана на читателя-математика, но может быть использована и специалистами смежных областей. Дело в том, что, хотя для доказательств используются довольно изощренные математические конструкции^ ре зультаты, как правило, допускают простую формулировку.
ВВЕДЕНИЕ
Пусть b(x) — непрерывное векторное поле в Rr. Сначала поговорим о неслучайных возмущениях динами ческой системы
xt = |
b{xt). |
(1) |
Мы можем рассматривать возмущенную |
систему |
|
Xt = |
b(Xt1 ф<), |
(2) |
где Ь(х, у) — непрерывная по паре аргументов функция* обращающаяся в h(x) при у = 0; будем говорить о малых возмущениях, если функция ф, задающая возмущающее воздействие, в том или ином смысле мала.
Здесь может идти речь о задачах такого рода: о схо димости решения X t возмущенной системы к решению xt невозмущенной при неограниченном уменьшении возму щающего действия; о приближенных выражениях различ ной точности для отклонений X t—xt, обусловленных возмущениями; о тех же вопросах для различных функ ционалов от решения, например для времени первого выхода из определенной области D, и т. и.
Для решения такого рода задач, относящихся к ко нечному отрезку времени, от функции Ь(х, у) нужно тре бовать существенно меньше, чем для таких же задач, связанных с бесконечным отрезком (или конечным, но безгранично растущим с уменьшением возмущающего
воздействия). |
Простейший |
результат, |
о т н о с я щ и й с я к |
||||
конечному отрезку: если |
решение системы (1) с началь |
||||||
ным условием х0 при |
t = |
0 единственно, |
то |
решение X t |
|||
системы (2) с начальным |
условием Х 0 сходится к xt рав |
||||||
номерно по f e [0, Г], |
когда Х0—>х0 и ||ф||0г = |
sup |
|ф* |-> |
||||
—*0. Если |
функция |
Ъ{х1 у) |
|
|
о« < т |
паре |
|
дифференцируема по |
id |
|
|
ВВЕДЕНИЕ |
|
аргументов, |
мы |
можем линеаризовать |
ее вблизи точки |
|
х = |
xt, у = |
0 |
и получить линейное приближение 8* |
|
для |
X t—xt как |
решение линейной системы |
||
|
в / |
= |
5!(*+ ., 20) r s |
(*«. |
при достаточно широких условиях норма остаточного
члена sup |Xt — xt — 6*| |
будет равна |
о(|Х0 — х0\-|- |
||||
+ |К1|от)- |
Если функция Ь(х, у) |
еще более гладкая1 можно |
||||
выписать |
разложение |
|
|
|
|
|
%t = xt + |
+ Yt + |
0(I |
— xo| + |
ЦфЦот),' |
(4) |
в котором yt будет зависеть от возмущений начальных ус ловий и правой части квадратически (функция yt будет определяться из системы линейных дифференциальных уравнений с квадратической функцией от фм 6* в правой
части), и |
т. д. |
|
|
|
|
Мы можем рассмотреть схему, зависящую от малого |
|||||
параметра |
е, |
|
|
|
|
|
Х? = |
Ь(Х?,И>,), |
|
(5) |
|
где — фиксированная |
функция. В этом случае для ре |
||||
шения Xf с начальным |
условием XI — х0 может |
быть |
|||
получено |
разложение |
по |
степеням |
е |
|
|
xt + гУ\1) + |
е2У/2) + ... |
+ гпУ\п) |
(6) |
с остаточным членом, бесконечно малым по сравнению с
гп равномерно по любому конечному отрезку |
[0, |
Т ]. |
При больших ограничениях на функцию Ъ(х, |
у) |
та |
кого же рода результаты могут быть получены для воз
мущений ф , |
малых не в смысле нормы равномерной с х о |
||
д и м о с т и , а, |
например, в той |
или иной |
ХАнорме. |
Что касается результатов, |
связанных |
с бесконечным |
отрезком времени,— для них существенны свойства ус тойчивости невозмущенной системы (1) при t -> оо.
Пусть х* — положение равновесия системы (1), т. е. Ь(х%) = 0. Пусть это положение равновесия асимптоти чески устойчиво, т. е. для любой окрестности U э я* существует меньшая окрестность У той же точки* такая,