книги / Устойчивость и колебания пластинок и оболочек с отверстиями
..pdf
|
|
CBW_ , 2 W ,, _£® , B |
|
1 |
|
||||
|
|
дхЪ |
|
дх |
дх3 |
|
|
дх* \ |
|
|
|
d2w |
■ g |
dflyt |
|
|
|
|
|
|
|
dyi |
|
ду |
|
|
|
|
|
|
к |
|
d?w |
|
dLj |
д3т |
1 |
| |
|
|
№Li |
|
|
||||||
|
дхду |
дхду |
|
дх |
дхду? |
J |
|
|
|
+ у |
Г ^ _ |
_ ^ L + |
i , |
J ^ |
] + |
? |
s r = О |
(1.93) |
|
4 ^ |
| ду |
дх^ду |
1 djc2dy2J |
|
|
|
|||
(=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Здесь через Bxi и 5 Vi обозначены изгибные жесткости подкреп лений l-то отверстия в соответствующем направлении; L* — пара метр жесткости ребер на кручение; q — .поперечная нагрузка.
Таким образом, по приведенным в настоящей главе соотноше ниям можно достаточно полно исследовать вопросы устойчивости и колебаний тонкостенных конструкций с вырезами.
Глава 2
УСТОЙЧИВОСТЬ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ПЛАСТИНОК С ВЫРЕЗАМИ ПРЯМОУГОЛЬНОЙ ФОРМЫ
2.1. О РЕШЕНИИ ЗАДАЧ НА ОСНОВЕ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ
Весьма распространенным элементом тонкостенных конструк ций, широко используемых, в авиации, судостроении, ракетной тех нике, строительстве и многих других областях машиностроения, являются пластинки прямоугольной формы, ослабленные одним либо несколькими вырезами. В зависимости от формы и размеров последних в механике выделилось несколько самостоятельных пу тей исследования. Одно из направлений, объединяющее в настоя щее время наибольшую группу публикаций, связано с изучением устойчивости пластинок с прямоугольными вырезами, края кото рых параллельны внешнему контуру. Полученные в этой серии ра бот результаты основаны главным образам на методе конечных разностей. При этом необходимо отметить, что из-за трудностей, связанных с удовлетворением граничных услови^ на внутреннем контуре (контуре выреза), метод конечных разностей почти не ис пользовался для изучения устойчивости прямоугольных пластинок
свырезами, форма которых отлична от прямоугольной. Исследо вание поведения последних осуществлялось другими методами, на пример, с использованием конечных элементов или же комплексных потенциалов Г. В. Колосова. Настоящая глава посвящена вопро сам устойчивости прямоугольных пластинок с вырезами прямо угольной формы.
Известно, что после того как сформулирована та или иная зада ча механики деформируемых сред, становится необходимым оты скать решение исходных дифференциальных уравнений при задан ных граничных условиях. С усложнением задач аналитическое ре шение не всегда оказывается возможным, в этих случаях обра щаются к какому-нибудь численному методу. С 50-х годов исполь зуется метод конечных разностей или, как его еще называют, ме тод сеток [65]. Этот метод стал особенно широко распространяться
споявлением быстродействующих вычислительных машин. Суть метода состоит в том, что при исследовании какой-либо задачи ме ханики члены дифференциального уравнения заменяются конечно разностными выражениями. Кроме того, одновременно осуществля ется замена в дифференциальном уравнении не только производ ных, а и вообще дифференциальных операций их приближенными выражениями через конечно-разностные соотношения или значения
функций в отдельных точках. Последние представляются узлами сетки, наложенной определенным образом на область задания функции.
Можно отметить, что в числе самых первых публикаций по устойчивости прямоугольных пластинок с отверстиями были рабо ты, основанные на методе конечных разностей [26]. Как правило, в них излагались результаты, полученные для прямоугольных пла стинок с одним центральным прямоугольным (квадратным) отвер стием при различных условиях опирания внешнего и внутреннего контуров. Последние во всех случаях считались конгруэнтными.
Следует подчеркнуть одну особенность метола исследования, ос нованного на конечных разностях. Она состоит в там, что диффе ренциальное уравнение изгиба, а также граничные условия при ис пользовании такого метода, согласно требованиям, удовлетворяют ся только в узлах наносимой сетки. Этого бывает достаточно, если рассматриваются простейшие деформируемые системы, напримеэ, сплошная упругая изотропная пластинка. Однако когда рассматри ваемая пластинка имеет прямоугольные вырезы, то для удовлетво рения граничным условиям на его внутреннем контуре требуется вводить гораздо большее число узлов сетки в сравнении с осталь ной частью деформируемой системы. Это приводит к появлению громоздкой системы алгебраических уравнений, а следовательно, и усложняет дальнейшее решение задачи.
Необходимо помнить, что решение на основе метода сеток всег да остается приближенным. Степень точности (приближения) за висит от густоты нанесенной сетки. И здесь возникает одна суще ственная особенность метода конечных разностей, связанная со схо димостью решения при измельчении сетки, когда требуется достичь определенной точности.
Иногда в отличие от общепринятых уравнений метода сеток, в котором в качестве неизвестных принимаются значения иссле дуемой функции в узлах сетки, принимают за неизвестные, кроме значения самой функции (например, нормального прогиба ш) еще и значение ее первых производных (dwfo'x и owldy). В этом случае точность удовлетворения граничным условиям оказывается менее зависимой от густоты сетки. При решении задачи в такой поста новке появляется возможность более полного (а не в отдельных узлах) удовлетворения граничным условиям на внутреннем и на ружном контурах [53].
Замена рассматриваемой пластинки сеточиой областью соответ ствует задаче аппроксимации реальной системы расчетной моде лью. Переход от рассматриваемой деформируемой системы к сетке приводит в теоретическом анализе к системе линейных алгебраиче ских уравнений относительно неизвестных дискретных значений изучаемой функции. Структура уравнений зависит от характери стики се т и .
Строгая постановка задачи устойчивости требует прохождения при исследовании двух этапов. На первом этапе необходимо выяс нить распределение напряжений в срединной плоскости, а на вто
ром — определить по одному из критериев устойчивости критиче скую нагрузку. Для пластинок и оболочек с отверстиями решение плоской задачи теории упругости связано со значительными мате матическими трудностями, поэтому в большинстве опубликованных работ, посвященных устойчивости подобных конструкций, докритическое напряженное состояние чаще всего аппроксимируется при ближенными формулами, а иногда считается равномерным [34]. Такой подход к исследованию позволяет провести хотя бы качест венное выявление влияния геометрических размеров, условий опирання и мест расположения отверстий на значение критических па раметров, а в некоторых случаях получить и достаточно точные их величины.
Приближенные решения задач об устойчивости прямоугольных пластинок с прямоугольными отверстиями на основе метода конеч ных разностей приведены в работах А. Баратова [7 10]. Автор этих работ считает, что распределение усилий во всех точках рас сматриваемой пластинки до потери устойчивости однородное. Эго упрощающее предположение эквивалентно наложению на пластин ку дополнительной связи [10], устраняющей в докритическом со стоянии влияние отверстия. Подобную связь можно осуществить, заполнив отверстие веществом, полностью воспринимающим напря жения плоского напряженного состояния, но не влияющим на де формации изгиба. Однако здесь необходимо обратить внимание на то обстоятельство, что наложение дополнительной (или новой) свя зи, как известно, должно повысить критические значения нагрузок, поэтому результаты, полученные при названном выше предполо жении однородности напряжений, позволяют указать те значения нагрузок, при которых пластинка с отверстием заведомо потеряет устойчивость. Здесь под нагрузками подразумеваются лишь актив ные силовые воздействия. Реакции дополнительной связи входят в решения неявно — через напряжения плоского напряженного со стояния.
Сопоставление числовых результатов, полученных на основе двух подходов (без учета истинного напряженного состояния перед потерей устойчивости пластинки [9 ... 14] — оно в этом случае пред полагается однородным — н с учетом истинного напряженного со стояния) показывает, что встречаются случаи, когда исследование задачи устойчивости можно проводить приближенным методом. Последний позволяет наряду с качественной картиной получить и количественные данные, которые можно использовать при проек тировании. При этом особо надо оговорить, что в рассматриваемых случаях речь идет пока лишь об общей потере устойчивости, поэто му применяемые в этом случае допущения не могут быть прямо перенесены на задачи локальной устойчивости, в которых главенст вующим фактором являются концентрации напряжения в ограни ченных областях деформируемой системы. В связи с этим надо помнить, что при проектировании несущих конструкций должна учитываться возможность как общей, так и местной потери устой чивости.
2.2. АНАЛИТИЧЕСКИЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ПЛАСТИНКИ
С ЦЕНТРАЛЬНЫМ ПРЯМОУГОЛЬНЫМ ВЫРЕЗОМ
Рассмотрим приближенный метод аналитического решения за дачи об упругой устойчивости прямоугольной, сжатой с четырех сторон, шарнирно опертой по наружному контуру пластин-ки с цен тральным прямоугольным неподкрепленным вырезом, свободным от опор. Предложенный метод дает решение задачи в замкнутом виде. Исследование будем проводить .в предположении, что воз мущение, вносимое вырезом в докритическое напряженное состоя ние, в первом приближении при оценке устойчивости пластинки можно не учитывать. Подобная гипотеза основывается на следую щих соображениях.
1. Мы исследуем лишь случаи, когда на участках концентрации напряжений деформации не выходят за пределы упругих. Прини мается во внимание и то, что появление пластических деформаций в небольшом объеме детали не всегда существенно нарушает несу щую способность конструкции и не приводит к местной (локаль ной) потере устойчивости. Кроме того, возникновение местных тре щин далеко не всегда приводит к разрушению конструкции. При мером тому в строительных сооружениях могут служить железо бетонные конструкции, в которых образование местных трещин не вызывает, как правило, опасений за все сооружение в целом.
2, В данном разделе рассматривается лишь общая, а не локаль ная устойчивость пластинок с отверстиями. При этом мы будем основываться на энергетическом критерии при оценке характера отклоненного положения равновесия системы. Одно из возникаю щих затруднений при использовании этого критерия связано с воз можностью концентрации энергии в некоторых малых объемах уп ругого тела. Однако в этом случае мы не должны требовать, что бы критерий устойчивости был выдержан в каждой малой области тела [22]. Его можно применять по отношению к конструкции в це лом, используя средние значения перемещений и скоростей. Реш е ние на основе оплошной модели как раз и базируется на подобные соображениях. Наличие вырезов в системе учитывается перемен ным параметром жесткости сплошной модели. Неоднородность на пряженного состояния занимает ограниченную зону около выреза» Внутренние усилия в этой зоне перераспределяются. Появляются участки, где действуют усилия малой величины, в несколько раз меньшие средних, и участки с большими усилиями. Так как такие зоны пластинки, граничащие с вырезами, перемещаются при потере устойчивости на соизмеримые между собой расстояния независимо от концентрации напряжений, то работа усилий здесь в среднем должна быть близка к работе тех же усилий, равномерно распре деленных (работа является линейной функцией усилий). Величина ошибки будет колебаться в зависимости от размеров отверстий, их числа и месторасположения.
Вдали от вырезов напряженное состояние — однородное, а вбли зи — неоднородное. Однако запас энергии, поглощенной на дефор-
зг
мацию участка вблизи выреза, должен быть близок к энергии, по глощенной тем же участком, но без выреза, при соответствующем равномерном распределении внутренних усилий. Разница будет тем меньше, чем меньше площадь выреза в сравнении с площадью всей пластинки.
Такой подход к исследованию поведения прямоугольных пла стинок с центральным прямоугольным вырезом наряду с автором данной книги попользовал В . И. Липкин. Применение 6-функций для описания жесткостей пластин и стержней ступенчатых профи лей встречается в более ранних работах О. Ф. Коваленко и Т. Либера [60], а для описания законов распределения нагрузки в рабо те В . В. Новицкого [61, 62].
Решение задач об изгибе прямоугольных пластинок с отвер стиями на основе сплошной модели приводит к цели быстрее, чем метод конечных разностей. Все операции легко поддаются про граммированию. И даж е при ручном счете для пластинок с одним отверстием получается довольно точный результат при затрате сравнительно небольшого количества труда.
Кроме высказанных выше соображений относительно правомер ности принятой модели и метода исследования, необходимо еще добавить и то, что пренебрежение неоднородностью напряженно го состояния может быть в какой-то степени обосновано принципом Сен-Венана, широко используемым в теории упругости. Несмотря на то, что этот принцип до сих пор не имеет исчерпывающего тео ретического обоснования [63], он является важным вспомогатель ным средством для решения многих за.дач линейной и нелинейной теории упругости. Полученные на его основе многочисленные тео ретические результаты апробированы опытными исследованиями многих авторов.
Наконец, возмущение, вносимое вырезами в доюритическое од нородное напряженное состояние оплошной пластинки, если перей ти к деформациям и перемещениям, можно трактовать как началь ную неправильность. Исследования устойчивости показывают, что влияние начальных неправильностей на величину критической на грузки для прямоугольных пластинок незначительно в сравнении с их влиянием на критические нагрузки для оболочек. Поэтому изу чение поведения нагруженных пластинок можно осуществлять без учета начальных неправильностей.
В данном разделе будем |
рассматривать только |
те пластинки, |
у которых стороны выреза |
(внутреннего контура) |
параллельны |
внешним сторонам, т. е. сторонам наружного контура. Считаем, что в процессе исследования ось х направлена вдоль стороны дли ною а, а ось у вдоль стороны длиною Ь.
Исследование критического состояния системы проводим в гео метрически линейной постановке с помощью энергетического мето да. Известно, что при применении этого метода критические значе ния усилий, приложенных по контуру и действующих в срединной плоскости пластинки, определяются из условия, что работа А этих, сил, затрачиваемая на изгиб пластинки, должна быть равна соот«
ветствующему приращению потенциальной энергии пластинки. По тенциальная энергия при изучении поведения жестких пластинок включает в себя только энергию изгиба, определяемую по зависи мости
U = ^ - [ ( * i + * г )2— 2 (1 — |
y})\dxdy. |
(2.1) |
F
Эта зависимость получается из выражения 01.21), если в него вве сти соотношения для моментов в виде
Л11 = ^ 0 (х14-рх2); ;W2= A ) ( X2+H *I); H = D 0{1 — (Ju)x- |
(2 .2) |
Работа сжимающих усилий NX) Ny, действующих вдоль |
краев |
х = 0 и х = а , у = 0 и у= Ь , определяется по формуле |
|
F
Для рассматриваемого случая обозначим: F = S — S * — пло щадь, в пределах которой определяется полная энергия системы; S = a b — площадь пластинки, ограниченная внешним контуром; S = a {* b 1* — площадь, занимаемая прямоугольным вырезом со сто
ронами длиною ai* вдоль оси х и by* — вдоль оси у. Учитывая ска
занное выше и подставляя в (2.1) |
выражения для параметров из |
||||||
менения кривизны |
|
|
|
|
|
|
|
<?2W . |
|
|
|
< iw |
|
(2 .4 ) |
|
*1 = |
* 2 |
= |
I p ' |
|
дхду |
' |
|
|
djfi ’ |
|
|
|
|||
получим |
|
|
|
|
|
|
|
и |
d^w \2 |
|
2 d |
. Гd’iw |
/ |
dfcw у |
dxdy. |
dyz) |
|
^ |
[~dx2 ’dip |
[дхду I |
|||
S\ K S - |
|
|
(S -S *)
(2 .5 )
Далее примем во внимание результаты экспериментов В . Г. Н а- лоева [58], который установил, что форма потери устойчивости пла стинки с центральным вырезом мало изменяется в сравнении со сплошной. Поэтому функцию, аппроксимирующую прогиб после потери устойчивости, примем, как и в случае сплошной шарнир но-опертой пластинки, в виде [22]
w = f sin ах sin фу. |
(2 .6 ) |
Здесь а — тп/а; р = л я /6 ; т и п — число полуволн, образующихся в пластинке после потери устойчивости, соответственно вдоль сто рон а и Ь.
•Следует отметить, что в энергетическом методе не требуется специально обеспечивать удовлетворение аппроксимируемыми функциями статических граничных условий. Эти условия при реше нии задачи указанным методом удовлетворяются, как известно»
автоматически. В рассматриваемом случае граничные условия на наружном контуре имеют вил
лри |
|
|
|
|
|
|
у = О, b |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
® = 0 ; M x = - D j m + ^ ) = 0 ; |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
* |
|
° |
\ 6x 2 |
' Г ду2 ) |
|
|
|
|
|
|
при |
|
|
|
|
|
|
х — 0 , а |
|
|
|
|
|
|
(2 .7 ) |
||
|
|
|
|
|
п. |
ял |
г-ч /д2гг> |
. |
\ |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
« ,= 0 ; Ж 9 = Д 0 ( _ + 1. _ ^ = 0 ; |
|
|
|
|
||||||||
граничные условия на внутреннем контуре |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
при |
|
|
|
|
|
х = х г И Х = Х 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
л л |
п |
гл |
n |
или |
53*» |
I , |
<?2w |
n |
<?3да . |
/п |
|
. |
дЗдо |
Ю; |
(2 .8 ) |
|
М х = |
0; |
А?д. = 0 |
дх1 |
-Г— = 0 ; |
-Г— -{- (2 — ц) |
|
dxdifi |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
ду2 |
5JC3 |
|
|
|
|
|
||||
при |
|
|
|
|
|
|
|
|
И У = |
Ц2 |
|
|
|
|
|
|
лл |
|
п |
л |
Г » |
|
|
(32 Ю |
I |
|
л < )3 и ; |
. , 0 |
|
|
. <ЭЗщ» |
|
=0. |
A L==0 |
/?и= 0 |
и л и -------г*ц.-------= |
0 ; -------- м 2 |
— и)-------- |
|
|||||||||||
у |
|
|
у |
|
|
|
ду2 |
1 г |
дх2 |
д у |
* ' к |
t |
|
д х Щ |
|
|
При исследовании используем энергетический метод. В связи с этим граничные условия на внутреннем контуре (2.8) и граничное условие для момента на наружном контуре можно не рассматри вать, так как они являются силовыми.
Полную энергию системы находим из следующего соотношения:
|
|
Э = и — А. |
|
(2 .9 ) |
|
С |
введением в |
(2.9) соотношений |
(2.3) и (2 .5), |
а также |
проги |
ба в |
форме (2.6) |
после выполнения |
обычных для |
метода |
Ритца |
операций получим уравнение для определения критической нагруз ки, которая может быть сведена к виду
дг |
— k |
я2Д° |
|
(2. 10) |
|
^хкр — кх |
Ь2 |
У |
|
|
|
где |
|
|
|
|
|
[ « ( 5 — 5*) — |
(26 + ^ 1 2 ^ 2 2 )+ 2 (1 — (г) apgj; |
(2 .1 1 ) |
|||
№ |
; a i = x 2 — х х; |
0\=Уч — У\у |
|
||
5я2 (а2 + XEJ2) |
|
||||
N» |
|
|
|
-j- rri22^\a y |
(2. 12) |
X= —- - ; g = (а2 -|-р2)2; Q— |
|||||
Nx |
|
|
|
|
|
т Х2 — sin 2ал:| — sin 2алг2; |
т22= sin 2р^ — sin 2 фу2, |
|
.где Хц х2, У\ и у2 — координаты вершин прямоугольного выреза.
Если прел,положить, что отверстие в пластинке отсутствует, то соотношение (2.11) преобразуется к известной формуле для оплош ных прямоугольных шарнирно опертых пластинок:
k |
Нгп/г)1 + тРр_ |
г = _а_' |
(2 . 13) |
|
|
[(т/г)г + \пЦ |
Ь |
v |
1 |
Для сравнения по выведенным зависимостям были проведены вычисления коэффициента, характеризующего ослабление, вноси мое в пластинку вырезом. Рассматривалась прямоугольная пла стинка с центральным квадратным вырезом, аналогичная рассмат риваемой в работе [39]. Один из приведенных там коэффициентов, характеризующий уменьшение критической нагрузки для сжатой
с двух сторон вдоль оси х (NV=Q) однослойной пластинки |
с раз |
|
мерами <1=1,56; ai* = 6i*= Q ,56 из-за |
отверстия получился |
рав |
ным 0,58. Из расчета по зависимостям |
(2.10) — (2.13) этот же ко |
эффициент оказался равным 0,67. Совпадение результатов удовле творительное, в пределах 15% .
Задачи устойчивости значительно усложняются, если в пластин ке несколько прямоугольных вырезов или же, как мы частично убедились выше, вырезы непрямоугольной формы, например, в форме круга, полукруга, эллипса и т. д. Нахождение их решения по методу Ритца в большинстве случаев весьма затруднительно. В этой связи важное значение имеют новые пути исследования представленных задач, которые позволяют найти решения в замк нутом виде. Рассмотрим один из них — метод сплошных моделей. Он разработан автором по результатам работы Б. Н. Бастатскогэ [11]. На примере решения задачи об устойчивости прямоугольной шарнирно опертой пластинки со свободным вырезом выявим его суть и преимущества. Прямоугольная пластинка с вырезом пред ставляется оплошной моделью-аналогом с переменными жестко стью й массой, имеющими разрывы однородности. После такой ап проксимации реальной деформируемой системы все соотношения теории пластинок записываются применительно к используемой модели. Наличие выреза в системе проявляется в дифференциаль ном уравнении равновесия тем, что оно включает в себя изгибную жесткость как переменную функцию координат.
С помощью функции Хевисайда от двух переменных жесткость пластинки, ослабленной центральным прямоугольным вырезом со сторонами, параллельными ее наружному контуру и расположен ными в пределах X i< x< X 2] у\< у<У ь записывается таким образом:
D = D { x , y )= D 0[\— Г 0( х — у — j f t)+ r 0 (je— -*2; у — уд +
- H O(JC— x t\ У — У2)— Г 0{х — Х2, У— Уч% |
(2 .1 4 ) |
где £>о=£оЛ3/[12(1— р,2)] — цилиндрическая жесткость; |
Г 0 — им |
пульсивная функция нулевого порядка.
Введение оплошной модели позволяет в принципе не рассматри вать вопрос о граничных условиях на контуре выреза. Это сущест венно упрощает процесс исследования задачи. В этом случае нет
необходимости требовать, чтобы функция, аппроксимирующая про гиб пластинки после .потери устойчивости, удовлетворяла гранич ным условиям на контуре выреза.
Для исследования устойчивости пластинки используем уравне ние равновесия в форме (1.86).
Функцию, аппроксимирующую прогиб пластинки после потери устойчивости, возьмем в .виде (2.16). Она удовлетворяет как сило вым, так и геометрическим граничным условиям на наружном кон
туре пластинки. Поэтому решение уравнения |
(1.86) можно |
искать |
||||
на основе метода Бубн ова— Галеркина. |
Подобная |
возможность |
||||
появилась благодаря использованию сплошной (модели. |
|
|
||||
Введя в |
уравнение (1.86) функцию w |
и |
умножив |
его |
на |
|
sin ах sin fiy, |
в результате интегрирования |
в пределах |
от 0 |
до |
а и |
от 0 до b получим:
|
— |
|
— |
|
+ |
|
+ |
|
Д)С$/?г12от22|, |
(2. 15) |
|||
где |
|
|
т = О 0 -!-= ^ |
а р ; |
|
|
|
|
(2.16) |
||||
|
|
|
|
m * = D 0- Ц ^ а 2р. |
|
|
|
|
(2 .17) |
||||
|
|
|
|
|
А |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
При получении уравнения (2.15) |
были использованы следующие |
|||||||||||
соотношения: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
а |
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j |
|
JCj; у - У г ) / ( х , y ) d x d y = f ( x lt |
ух)\ |
|
|
|
|
||||||
оп оО |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а |
иЬ а |
(х - Х£ |
у - Ут) f |
{х, |
у) d x d y = |
а |
|
(х, |
ух) dx\ |
|
|
|
|
J |
J |
J |
/ |
|
|
|
|||||||
0 |
0 |
|
|
|
|
JC, |
|
|
|
|
|
|
|
а |
Ь |
|
|
|
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
^ |
^ Т 2У){ |
(х — х х\ у — й ) / |
(х, |
у) d x d y = |
— U А . [ / |
(X, |
у)]\ |
d x ; |
|
||||
о |
oJ |
|
|
|
|
|
|
х , {dy |
|
’у1 |
|
|
|
а |
Ь |
|
|
|
|
|
|
Ь |
|
|
|
|
|
$ |
^ Г 2Х)( |
( х - х х; |
у - у х) f ( x , |
у) d x d y = |
- |
^ { £ - [ / |
(х, |
r/)]| |
dy\ |
(2.18) |
|||
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
U i |
|
|
X l |
|
|
а |
Ь |
|
|
|
а |
Ь |
|
|
|
|
|
|
|
J |
J^o { х — х х, y — yx) f { x , y ) d x d y = j |
Vt |
у) dxdy; |
|
|
|
|||||||
0 |
0 |
|
|
|
JT, |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
ХхУх |
|
|
|
|
|
|
||||
ac * |
bU |
|
|
|
|
V |
b |
|
|
|
|
|
|
j |
£г1х ,(л:— x x; |
y — y i ) f{ x , |
y )d x d y = |
j |
f ( x u y)dy\ |
|
|
|
|||||
0 |
0 |
|
|
|
|
Ui |
|
|
|
|
|
|
Здесь через Г^- ^ обозначены производные от импульсивных функций по соответствующей переменной.