книги / Статистический анализ геофизических полей
..pdfнули и величина £ соизмерима с размером выборки обнаружения # . При достаточном быстродействии вычислительного устройства
фильтрация с частотной характеристикой /Угл)~ JT 'CA) А м ) может быть произведена о помощью последовательности матричного АРССфильтра "в прямом времени" и матричного АР-фильтра "в обратном
времени". Чтобы пояснить |
эту |
процедуру, вспомним, |
что |
ж л ) “ |
|||||||
= Л А )В * (л ), |
|
где |
S (A )= Z |
|
в. У Аа |
и запишем |
|
|
|||
|
|
|
|
|
*•> |
|
* |
|
|
|
|
|
|
|
|
Л~'(А) = / *(Л) в -*g(A)f |
|
Ш*5 Л 5) |
|||||
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
* |
|
|
где |
|
Qt |
е * \ |
|
S ^ - 3 ' J s , . |
|
|
||||
Тогда фильтр |
|
г (А) |
может быть представлен как последовательность |
||||||||
двух фильтров: |
Ш ) - |
^ (А) г3 са ) , |
где |
|
|
||||||
|
|
|
|
г (а)- ( |
/ - 1 |
|
|
Ш .5Л 6) |
|||
$ (* )* { s - Z $ / * * ) ” ( i - Z |
|
Ш .б Л б ') |
|||||||||
Фильтр £ (А) |
|
есть |
матричный АРСС-фильтр "в прямом времени": |
||||||||
|
|
|
|
н |
|
|
|
|
/* |
|
(Ш.5Д7) |
|
|
|
£ |
■ Z |
|
|
|
|
4в ~-1, |
||
а фильтр £ и } |
осуществляет |
АР-фильтрациго накопленной реализации |
|||||||||
tefTS |
в |
обратном времени: |
|
|
|
||||||
|
|
|
- Г / |
г |
#-11-* |
te 0, /V |
(Ш .5Л8) |
||||
|
|
|
|
к*г |
А |
|
У ** |
|
|
||
В результате |
такой процедуры накапливается массив |
, |
t e f, /V, не- |
обходимый для вычисления АД статистик (Ж. 5 .8 ) . При малых порядках и у АРСС-модели подобная организация вычислений мокет_оказаться эффективнее, чем прямой расчет значений АД статистик (Щ.5 . б5 в
частотной области.
Факторизацию матричной функции Л (А) на минимально-фазовые множители в(л) , необходимую при адаптации алгоритма обнаружения разладки к действующему до момента вступления сигнала спектру по мехи, можно осуществлять следующим образом. Дискретов преобразо
вание Фурье
I 6I
при |
M »(j дает |
значения автокорреляционных матриц |
К ?, |
r e |
^ |
|||||||
АР-процеоса |
оо |
спектром |
(Ш .5Л5) |
и коэффициентами gt , A efT f, |
4 . |
|||||||
После |
этого |
значения |
g, |
k e t g |
и 3 'f |
находятся в |
результате |
|||||
решения уравнений Юла - |
Уокера (П .2Д 5) о помощью многомерной |
|||||||||||
итерационной процедуры, |
описанной в разделе Ц .2. |
|
|
|
||||||||
|
В частном |
случае |
обнаружения разладки "чистого" АР-процесса |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Р |
|
|
фильтр |
Т(а) |
имеет частотную характеристику |
|
|
|
|||||||
где |
£ = D0 |
И все трудности, |
связанные |
о каузальной |
его |
реализа |
||||||
цией, |
исчезают. При этом в |
вычислительном отношении экономнее ис |
||||||||||
пользовать |
вместо формул (Щ.5 .8 ) |
формулы |
|
|
|
где |
/> |
|
“ ' 7 2 4 Г * ; 4 —I , |
выход физически реализуемого фильтра о длиной импульсной переходной характеристики, равной />, или эквивалент ные им формулы
(1 .5 .2 1 )
Выражения |
(Ш .5.20) и (Ш .5.21) интересны в том отношении, что в |
|||
них прозрачно проявляется "механизм |
реакции" АД статистики АР-про- |
|||
цеоса на разладку этого |
процесса. Действительно, |
если нет разлад |
||
ки и £ |
- АР-процесс с |
параметрами |
4 , 1 & Q |
и g , то |
IG2
|
|
|
|
|
|
|
=г?е. |
|
|
|
(1 .5 .2 2 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где <?#г= 6; |
Sj, - |
гауссовский |
белый шум; |
|
=о, |
t |
t * r |
||||
Тогда в |
силу закона |
больших чисел |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
t |
Ti <W . |
f x - * . |
-& )r |
|
|
|||
|
|
|
|
|
(Ш .5.23) |
||||||
ж соглаоно |
(Щ .5.20) |
при больших |
А |
статистика |
л s & )/\/7Г близка |
||||||
к нулю. При разладке АР-процеоса |
|
^ , когда |
его параметр! равны |
||||||||
Tt = 4 |
ж |
Q, |
значение нормы статистики |
|
A $ct)/>fir |
увеличи |
|||||
вается. Точно также при отсутствии |
разладки |
разность |
во |
втором |
|||||||
из выражений (Ш. 5.2-1) близка к |
нулю при всех |
|
t e f f t |
в |
силу урав |
||||||
нений Юла - |
Уокера |
(поскольку |
оценка At */A |
ковариационных мат |
|||||||
риц АБ-процеооа - |
- соотоятельны) и, |
следовательно, |
значения |
||||||||
А * |
|
близки к нулю. При разладке АР-процесеа новые значе |
|||||||||
ния ковариационных матриц Я * / Л |
уже не удовлетворяют уравнениям |
||||||||||
Ш& - Уокера со старыш коэффициентами |
4 и норма статистики |
||||||||||
А*&) / № |
увеличивается. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Вычисление отатиотик обнаружения разладки АРСС-процеоса.
Асимптстичеоки оптимальные алгоритмы обнаружения разладки АРССпроцесса могут быть получены в форме байесовских АО алгоритмов
для проверки гипотезы оогласия, |
если использовать априорную ин |
|||||||||
формацию о значениях параметров |
в |
процесса |
после разладки с це |
|||||||
лью задания априорного распределения |
А( х) , |
где <Г= 9 - |
f t . |
|||||||
В частности, |
когда |
вектор |
v |
известен точно, |
т .е . известны па |
|||||
раметры f t |
l e {? , |
£>t , l e t ( J |
АЮС-процесса |
после разладки, |
||||||
то АО алгоритм обнаружения разладки имеет вид: |
|
|
||||||||
|
|
Л , |
еоли |
& (% & )) > |
|
(Щ .5.24) |
||||
|
|
О, |
если |
/$ ( % » )) < * '( , |
||||||
|
|
|
|
|||||||
где |
|
j>j ft U )) - х |
тИГ <%(*), |
4 |
) ' |
|
||||
|
|
|
^ |
- A, J o * ) ' |
|
* 6Ч > |
'•>*& )■ |
|||
Используя матричную запись |
(Щ .5.8) |
для АД статистики АРСС-процес- |
||||||||
са, можно придать статистике АО |
теста |
(f .5 .2 4 ) |
выразительную |
|||||||
форму: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/>, (ft* )) |
irJ |
|
|
J |
, |
(Щ .5.25) |
163
где |
= \ ~ |
4 = К ~ |
4 |
и предполагается, |
что |
- верх |
|
няя |
треугольная матрица, a |
- |
нижняя треугольная, матрица. |
||||
|
В противоположной |
ситуации, |
когда о векторе |
Р |
после раз |
ладки практически ничего неизвестно, целесообразно применять ал горитм обнаружения со статистикой
(%<*))- <*), < f ) r ' 1C ^)aC y^ (t)Je ) . (Щ .5.26)
Вычисление такой статистики в реальном масштабе времени облегча ется тем обстоятельством, что симметрическая положительно опре деленная матрица f (Р^) (определяемая только при адаптации и со храняющая постоянное значение в процессе обнаружения разладки ме тодом скользящего окна) допускает треугольную факторизацию (де композицию Xелецкого)
|
t/rr |
|
п . г , ) - к 1 н гф > |
i n |
.5 .2 7 ) |
|
|
|
|
|
vs |
В результате статистика обнаружения |
(Щ .5.26) представима в виде |
Л |
I r (*»Cif ' |
* <г, т |
' г г« £ ) & (t„ С*)). |
||||
Поскольку матрица £ '*(% ) - |
также |
верхняя треугольная |
процедура, |
||||
вычисление F((~ (t )) |
требует уже |
не |
s * , |
a s (s + i) // |
(где s = |
||
= я 3 (р*<{)+ м (т н ) / г |
) машинных операций. |
Заметим, что |
вычисле |
||||
ние матрицы l~ T ((F ) |
(также |
производимое |
только при адаптации) |
||||
на превосходит |
по количеству |
операций процедуру вычисления матри |
цы (б£) и представляет собой по оущеотву эффективный метод обращения положительно определенной симметрической матрицы ГЩ )
Вычисление элементов матрицы f(S^ ) для АРСС-процесса, повидимому, проще всего непосредственно производить по формулам (П .2 .3 4 ), интегралы в которых представляют собой преобразования Фурье от дробно-рациональных функций и эффективно считаются с использованием алгоритма быстрого преобразования Фурье. В случае
"чистого" АР-процесса вычисление |
F(pT) |
можно осуществлять и дру |
||||
гим методом. Согласно |
|
( 1 .2 .4 4 ) , |
матрица |
f ( e 0 ) для этого |
процес |
|
са равна |
|
|
|
|
|
|
|
Г * |
|
|
|
^к t> |
(1.5.28) |
|
|
|
|
Г * Г ’ ® 4Г*. |
||
|
|
|
|
|
||
Элементы матрицы Г а |
и |
выражаются формулами |
|
|||
Г” |
~Р~7 |
£ |
r,k,e/,sef/fQ, |
(Ш .5.29) |
||
М> (t)S) |
* (г#) |
|
tsA) |
|
|
|
164
|
|
|
^Urk) a m ) |
~ 4>vrj С1-а<зк) > |
t,/t e f,/>. |
|
|
В выражениях |
(1 .5 .2 8 ) |
и |
(ffl.5.29) матрицы |
cf , r e $/i - |
ковариа |
||
ционные матрицы АР-процеоса до разладки, |
определяемые параметра |
||||||
ми |
Лр |
i e i/> |
ж С |
этого процесса. Как указывалось в |
разделе |
||
Ц .2, |
эти матрицы могут быть найдены в результате решения системы |
||||||
из р + { |
матричного уравнения |
|
|
|
|
|
|
% 4 Ъ “ <%. ls%, |
|
|
5 |
|
4 С |
|
|
Ш.Б.30) |
|||||
Имеет ли преимущество вычисление |
элементов ПНФ-матрицн АР-процес- |
||||||||||||||||
са |
по формулам (1 .5 ,2 9 ) , |
(Щ .5.30) |
|
перед вычислением по формулам |
|||||||||||||
(П .2 .3 4 ), очевидно, зависит от конкретной |
реализации программ. |
||||||||||||||||
|
Для чистого АР-процесса вычисление статистик |
|
(Щ .5.25) |
и |
|||||||||||||
(Ш .5.26) |
в режиме окользящего |
окна можно еще более |
упроотить, ис |
||||||||||||||
пользуя |
представление (1 .5 * 2 1 ) |
для матричных компонент АД отатис- |
|||||||||||||||
тики этого процесса. Подставляя выражение |
(Ш .5.21) |
|
в теот Щ .5.25), |
||||||||||||||
легко |
привести |
статистику |
|
|
|
к виду |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
•/°г(Г» (*}) ~ 7 ? т ^ |
i r f y |
K |
(*) |
%■ |
|
|
|
(Щ .5.28) |
||||
где |
Фг , |
Ут |
и |
S очевидным образом, хотя и несколько громоздко, |
|||||||||||||
выражаются через матрицы 4. |
, 4 |
|
ж |
$ |
. Поскольку матрицы |
<рт, |
|||||||||||
Рт, |
S |
вычисляются один раз в процессе адаптации к |
|
параметрам |
|||||||||||||
процесса до и после разладки, вычисление статистики |
|
|
® |
||||||||||||||
форме |
Щ .5 .2 8 ) |
проще, чем при использовании формул |
(Ш .5.20) |
и |
|||||||||||||
(ffi.5 .25), так |
как исключается процедура |
фильтрации |
|
|
|||||||||||||
в £ |
4 Tf _k |
, В силу линейной зависимости |
|
(*)) |
от |
элемен |
|||||||||||
тов |
корреляционных матриц |
A *(t) |
формула |
(Щ .5.28) |
может |
быть ове- |
|||||||||||
дена к |
простейщему виду |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
( Ь Ш |
= |
|
(f# Cf)), |
|
|
|
(Ш .5.29) |
|||||
где |
f |
(Jfc(t)) - |
(A*( m &), |
r, a e |
{m , |
т е £ р ) - |
вектор, |
состав |
|||||||||
ленный из элементов матрац |
<*), |
r e ftp; |
°с |
- вектор, |
элемен |
||||||||||||
ты которого выражаются через параметра |
4,, |
S |
ж V АР-працео- |
||||||||||||||
оа до |
и после |
разладки. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Совераенно аналогично можно показать, |
что |
отатистика (1 .5 .2 6 ) |
||||||||||||||
ж ж ет |
быть сведена к виду |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
f r(>%W) " € ( |
|
> |
|
|
|
|
|||||
где |
№ |
- |
матрица, выражаемая через |
4 , |
|
</>, 4 |
|
|
|
|
105
IF,']
P z с . 1 2 . Обнаружение сейсмических волн на записи а|те^шока^Фриульского землетрясения (Италия,
а - вертикальная компонента сейсмограммы афтер шока; б - статистика МОФ-обнаружителя; в - статисти
ка t ^-обнаружителя
Таким образом, процедура обнаружения разладки гауссовского АР-процесоа может быть сведена к определению значений автокова-
риационных матриц R f. (t) |
процесса |
-гГ в |
скользящем временном ок- |
||||
<Р и с . |
М . Модельные исследования |
однокомпонентных алгоритмов |
|||||
обнаружения разладки |
случайного процесса: |
о шумом (отношение |
|||||
а - |
реализация |
смеси случайного |
сигнала |
||||
сигнал - |
шум 0 ,5 , момент вступления |
сигнала |
= 500); б - ста |
||||
тистика МОФ-обнаружителя; |
в - статистика |
д |
-обнаружителя |
167
р 8
б
Р и с , >13. Обнаружение сейсмических волн на за писи слабого афтершока Фриульского землетрясения (Италия, 05,06.4976):
а - вертикальная компонента сейсмограммы аф тершока; б - статистика МОФ-обнаружителя; в -
статистика Л -обнаружителя
не" и к последующему вычислению на каждом шаге обнаружения линей ной или квадратичной форда от совокупности элементов этих матриц.
Экспериментальное исследование эффективности алгоритмов об наружения сейсмических сигналов. Практическое использование ота-
Р и о. 44. Обнаружение сейсмических волн на записи зешгетряое- ► ния "Белчатов” (Польша, 4-1:00:40, 26.02.1980):
а- горизонтальная компонента сейсмограммы землетрясения;
б- статистика /^-обнаружителя; в - статистика МОФ-обнаружителя
160
I&9