книги / Статистический анализ геофизических полей
..pdfвыполняются все уоловия теоремы 1 . 3 . 2 , и оценки параметров АР-
процесса, определяемые формулами (П .2 .5 ) - (Д .2 .7 ), |
являются асимп |
||||
тотически эффективными. |
|
|
|
||
В качестве первого применения полученных результатов рас |
|||||
смотрим оценку (П .2 .5 ) для гауссовского |
АР-процесса. Асимптоти |
||||
чески эффективные оценки параметров |
Ал, |
Ае /Jp |
и £> получаются |
||
приравниванием к нулю компонент матричной записи |
(П .3 .6 ) для АД |
||||
статистики гауссовского АР-процесса: |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
(П .3 .18) |
л в(гн, ^ |
о , |
т .е . |
|
|
|
С учетом первого |
из |
соотношений (П .З Л 8) |
второе может быть пере |
||
писано в виде |
|
|
|
|
|
|
|
X а |
С<и * |
(&ЗЛ9) |
|
|
|
6" САО~$Гг |
|||
Выражения (Д .З Л 8) |
и (П .З Л 9) отличаются от выражения (П .2 Л 5 ) |
лишь формулой для выборочной автоковариационной функции. Посколь
ку очевидно, |
что \ИГ |
1 ~ С * г ) ~ |
о по Ра вероятности для всех |
|
к, I е кр , |
снова, уже другим методом, получаем, что |
введенные в |
||
разделе П.2 |
оценки Юла - |
Уокера для |
параметров Ак, Q |
АР-процес-. |
оа в гауссовском случае оказываются асимптотически эффективными. В негаусоовоком олучае последний вывод в общем случае неве
рен, и алгоритмы (П .2 .5 )—(Д .2 .7 ) |
определяют АЭ-оценки, отличаю |
|||
щиеся от |
оценок Юла - |
Уокера |
и обладающие лучшим асимптотическим |
|
качеством, чем последние. В |
этой |
ситуации v ^ -соотоятельные оцен |
||
ки Юла - |
Уокера A *, |
k e f j , |
в * |
целесообразно использовать как |
начальное |
приближение в процедурах (П .2 .6 ) и (П .2 .7 ) асимптотиче |
ски эффективного оценивания.
Рассмотрим подробнее последовательность операций при реали
зации указанных процедур. Сначала необходимо вычислить компонен
ты АД отатистики |
Аг(гк) |
(*],, ( Г ) , |
подставив в (Д .3 .3 ) вместо AktO |
|||
их оценки Юла - |
Уокера |
А*, в *, |
и элементы матрицы |
), Г в (#%), |
||
подставив в |
выражения |
(Д .3 .8 ), |
(П .ЗЛО) значения элементов матриц |
|||
в * и (7 |
( J * |
) . Последние матрицы находятся по s/T -состоятельным |
||||
оценкам |
Ак, |
<?* |
как решения оистемн матричных линейных уравнений |
|||
(II.ЗЛС>) |
относительно |
неизвестных Сг , т еО ,р . Система |
(П .З Л 6) |
копушс/тт рекуррентную процедуру решения, аналогичную описанной
91
в разделе П.2 многомерной рекуррентной продедуре Левиноона - Дарбода. Ее вычислительная сложность линейно зависит от порядка />
АР-модели вместо кубической зависимости для стандартных алгорит мов. Эта процедура приведена в работе /927. После указанных вы числений значение улучшающей поправки к оценке Юла - Уокера =
находится в результате решения системы линейных урав
нений
|
|
|
n r „ ) v - ~ j = |
|
|
|
|
|
(П .3 .20) |
|
Заметим, |
что |
матрица r ( f g ) этой |
системы симметрична и имеет |
|||||||
блочно-тегошцеву структуру. Сиотему |
(П .3.20) |
можно |
записать в ви |
|||||||
де системы линейных матричных уравнений относительно матричных |
||||||||||
поправок ^ |
- /£*: |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
г * £ |
% |
|
?;>, |
K it, |
(п.з.2 1) |
|||
где матрицы |
A*, l e f t |
определяются выражением (П .3 .5 ), |
и век |
|||||||
торного |
соотношения для поправки |
<?-&*• |
|
|
|
|
||||
|
|
т |
( f - |
? * ) -free / ( * ' , |
f f * ) U |
r |
|
|
(П .3 .22) |
|
где А 6 |
определяется |
выражением |
Щ .3 .5 ), а |
матрица |
- |
выраже |
||||
нием (Й .З Л 2 ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Эффективная рекуррентная процедура решения системы |
(П .3 .2 1 ), |
|||||||||
аналогичная описанной в разделе Ц.2 процедуре решения системы |
||||||||||
уравнений Юла - Уокера, приведена в |
работе /5Q7 |
|
|
|||||||
Алгоритм улучшения оценок Юла - |
Уокера можно итерационно |
продолжить,приближаяоь таким образом к оценке (П .2 .7 ). Практика показывает, что при небольших размерах выборки наблюдений в ряде
случаев такое продолжение позволяет |
существенно улучшить качеотво |
|||||
оценок. Это целесообразно, в частности, |
когда распределение Ae ( f ) |
|||||
существенно отличается |
от гауссовского и оценки Юла - Уокера име |
|||||
ют качество, далекое от |
оптимального. Каждая подобная итерация |
|||||
требует решения двух систем линейных уравнений - |
(П .З Л 6) |
и |
||||
(Д .3 |
.2А ), вычисления матриц At (Г^г |
(Г ), |
l e f . p , |
A ff(xj, 0 ) |
по фор |
|
муле |
(П .3 .5 ) и обращения матрицы Г в |
(П .З Л 2 ). |
|
|
||
|
Уотойчивооть АЭ-оценок для параметров негаусоовоких АР-про- |
цесоов. Асимптотическая эффективность описанных выше алгоритмов оценивания параметров многомерных негаусоовоких АР-процессов, ес тественно, достигается при условш точной априорной информацш о распределении p£ ( f ) порождающей АР-процесо независимой пооледо92
вательности ef . При практическом использовании этих алгоритмов неизбежно "рассогласование" между гипотетическим распределением
P e t f ) и реальным р£ (/ ), соответствующим наблюдаемому АР-про- цессу. Как отражается это рассогласование на точности описанных
выше алгоритмов оценивания параметров |
Рг,, Z е р р , |
д ? |
Оценки |
||||||||
(П .2 .5 )-(П .2 ,7 ) при ре |
д С/7 уже не являются аоимптотиче- |
||||||||||
ски эффективными, |
но могут ли быть хотя |
бы состоятельными |
и |
||||||||
асимптотически нормальными? Для того, |
чтобы ответить на этот во |
||||||||||
прос, исследуем, |
при каких условиях на распределение p£ C f j |
спра |
|||||||||
ведливы ограничения теоремы Г .3 .3 . Рассмотрим АД отатистику |
|||||||||||
(П .3 .5) |
негауссовского |
АР-процесса как функцию параметров |
/ Г = |
||||||||
= v eci^ , |
Z e z p ; |
S ) . |
Сделав |
замену |
переменных |
- |
Ак - 4 % , |
||||
tf = 8 - |
вд, |
запишем выражения |
Щ .3 .5 ) |
для АД |
статистики негаус |
||||||
совского АР-процесса как функции параметров |
<f: |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Г~ |
» К > |
|
|
|
|
|
|
М |
|
|
/> |
|
|
|
|
л |
к |
? |
|
|
|
|
**7 |
«* r ^ |
y ) t |
|
|
|
|
' (а'Ц% *% ** £* )У> |
*я4 |
|
|
|
—fi .
где |
1Е_ |
|
*1^ |
|
- порождающая |
независимая последователь |
|||||
ность (ШП) для действующего негауссовского АР-процесса, плот |
|||||||||||
ность распределения которой р£ (р) |
отличается |
от предполагаемой |
|||||||||
плотности />s ( f ) t |
но которая, однако, |
всегда |
имеет моменты |
||||||||
|
\ р е (Г ) €-<>• |
? Fi |
|
\ |
f f rp s C f№ ~ I . |
(П .3 .24) |
|||||
|
Если вектор-функция |
I * ^ |
р £ (у~) |
удовлетворяет условию |
|||||||
Липшица |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\ |
? |
( |
? |
) |
I/ '-JT |
|, |
I Т\<А, |
|Г|<|*| |
(Я .3 .2 5 ) |
|
на компактах в |
А т , |
то |
компоненты |
случайных матричных функций |
|||||||
|
i }» |
|
4 * {‘к ? } |
сходятся по распределению в |
простран- • |
стве € ( ® ) непрерывных функций о равномерной метрикой к компонен
там детерминированных матриц |
у ] и |
#*{<**, ^ ],Э т о |
следу |
ет из известных условий слабой |
сходимости |
мер в € (< & )/§ , |
467» а |
также из центральной предельной теоремы для случайных процессов о сильным перемешиванием /27, 4 057. Значения предельных матрич93
яых функций |
|
|
] |
|
в точке |
|
= 0, |
^ = 0 равны |
|
|
|
|||||
|
|
^ |
{ м } * |
~ |
в |
е 'Г/ { < Г ( ? ; ) Г ^ 1 } , |
l e f t - |
|
Щ .3 .26) |
|||||||
Тек как |
sf |
|
незевиоиш_от |
|
le. r 'J j, |
то для всех ре (jT Ь удов- |
||||||||||
летвортцих |
условиям (П .3 .24) |
и естественному |
ограничении |
|
||||||||||||
/ |
? |
|
, |
имеем: |
.г / |
[л о \ * ч ? ,1 е Г/ i . |
Предельная функция |
|||||||||
в точке |
ык |
= О, |
q |
= |
0 |
равна |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
* * ( < 1 0 j - |
Q~” |
(JT* £ ? ( % ) % ) ■ |
|
(П .3 .27) |
|||||||
Интегрированием по частям нетрудно проверить, |
что при |
Р е( |
)~Ре(р) |
|||||||||||||
всегда верно: £ ¥ |
(е^) |
|
|
Однако при |
|
# 0 |
это, |
во |
||||||||
обще говоря, |
не так, |
и |
|
|
J = о |
только для р£ (jT)* |
удовлет |
|||||||||
воряющих условию |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
£ Р ( ^ ) е ^ - ~ 1 , |
|
|
|
(П .3.28) |
||||
|
Далее, |
на основании центральной предельной теоремы для слу |
||||||||||||||
чайных процессов с оильным перемешиванием можно показать, что |
||||||||||||||||
при выполнении условий |
(П .3 .2 4 ), |
(П .3 .2 8 ) |
и дополнительного уо- |
|||||||||||||
ловия |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/ tr[?(^)¥(Щ ) ?f «?Г7<~0 |
|
(П .3.29) |
|||||||
Лг {<?<?} и |
А в \о,о\ асимптотически |
нормальны с нулевыми средними |
||||||||||||||
и_автоковариационныш матрицами, |
аналогичными матрицам |
(П .3 .8 )— |
||||||||||||||
(П .З Л 2 ): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t,n & (p ], r ‘ 4~,rf f ( e j ) < f i r(s J)ff |
|
||||||
|
|
|
/ \ f)= / |
{ e |
’rf ( % ) P r '(J) £Г!® ё ^ е ^ \ -cvecsT) (*есО~*)г; |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
r |
AG( f ) - |
Г Ш{ 9 ) ~ в ; |
|
|
(П .3 .30) |
|||||
Cr , |
re o, p - f |
- автоковариационная матричная функция АР-процееса. |
||||||||||||||
|
Совершенно аналогично доказывается, что в |
ситуации, |
когда |
|||||||||||||
существует матрица чаотных производных вектор-функции |
^ "(у )п о |
|||||||||||||||
параметрам |
% ; |
|
|
<Рк ( f ) , |
i, к & |
С ю J |
, |
удовлетворяющая ус |
||||||||
ловию Липшица на компактах в |
Л0 |
, и |
следующему ограничению |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
C f r l v C ( e J ) ^ 8 ^ J < - ° , |
|
Ш .3 .31) |
||||||
производные элементов АД отатистик |
(П .3 .23) по |
элементам матриц |
||||||||||||||
с£ |
и ^ |
(иодированные на Ъ /\/Т) сходятся по |
распределению в |
|||||||||||||
пространстве |
€ (® ) |
к детерминированнш фунщшш /> W |
|
' * |
и |
|||||||||||
Jo а* •Совокупность последних функций можно компактно записать, |
||||||||||||||||
используя кронекеровское |
произведение матрщ, |
в следующей фор®: |
94
|
|
|
|
|
|
|
] m l <РФС^ |
' |
г-я е ^ |
J > |
|
|
|
||||||
где |
<Р = -в~,г f |
v ? |
( s l ) S |
'; ', |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
o ) |
- |
|
|
|
О |
с , |
J ^ |
, г ч ¥ ( $ ) в ~ ,Ф % еф |
-o -rr & 4~ |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
Z |
|
|
|
|
|
|
П |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
|
|
|
] - * * * - о. |
|
(ff.3 .3 2 ) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i СП) (as) J |
|
|
|
|
|
|||||
|
Обозначим П |
класс |
всех |
распределений |
p £ C f), |
для |
которых |
||||||||||||
выполнены условия |
(П .3 .2 4 ), |
(П .3 .2 8 ), |
(П .3 .29) и (ТГ.3.31) . |
Из |
|||||||||||||||
сказанного |
выше |
следует, |
что |
при заданной вектор-функции |
<P(f) |
||||||||||||||
справедлива следущ ая |
теорема. |
|
|
|
|
|
_ |
|
|
|
|||||||||
|
Т е о р е м а |
П .З Л . Пусть вектор-функция ¥ (у " ) имеет част |
|||||||||||||||||
ные производные |
по рг , |
/ е /7т |
, которые отвечают условию Липши |
||||||||||||||||
ца на компактах в |
Ат , |
Тодда для класса f t |
плотностей р£ ( ¥ ) по |
||||||||||||||||
рождающих независимых последовательностей |
et |
оценки коэффициен |
|||||||||||||||||
тов АР-процесса |
- |
корни системы уравнений |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U H fi, |
|
Л * ( Т ^ в ) - О |
- |
|
|
||||
асимптотически нормальны о параметрами |
( (Г, - д Я (0 )),т т |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
' $ ( ¥ ) * P 'f ( 0 } / r( 0 ) ^ ( ¥ ) f |
|
|
-1(3.3.83) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r*(0) |
|
|||
|
/ 0? > |
* * ( ? ) , |
0 |
|
|
г((Г )- |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
* S(&) |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
/ f |
|
|
■6h |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Г "* |
f i t |
блочно-теплицевы эрмитовы матрицы, определяе |
|||||||||||||||||
^ v ~- |
|||||||||||||||||||
мые |
соотношениями |
(П .3 .30) и |
(П .3 .3 2 ). |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
З а м е ч а н и е |
|
к |
т е о р е м е |
|
П .З Л . В важном |
|||||||||||||
частном случае, |
когда параметры в АР-процесса известны |
и оцени |
|||||||||||||||||
ванию подлежат лишь параметры |
/£, |
г е |
|
, |
утверждение |
теоремы |
|||||||||||||
П .ЗЛ остается |
справедливым для значительно более широкого клас |
||||||||||||||||||
са Ш у |
распределений ШП |
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
- {ps ■/ А ? , |
|
£ e e r*I, m < t) ¥ rCn\<^ y v ¥ (¥ ) Ц<~> } . (2.3.34) |
|||||||||||||||||
|
Клас |
Ш у |
отличается не только более слабыми требованиями |
||||||||||||||||
к моментам распределения |
/ е |
, |
но и самое главное, тем, |
что ' |
|||||||||||||||
р£ е |
Ши, |
не долган отвечать добавочному стеснительному ограни |
|||||||||||||||||
чению (П .3 .2 8 ). |
Таким образом, |
АЭ-оценки параметров |
^ |
суще |
|||||||||||||||
ственно |
более устойчивы к априорным сведениям о распределении |
95
ШЩ |
|
по сравнению о АЭ-оценкой параметра |
0 . Последняя теряет |
||||||
свою состоятельность, если распределение р£ |
не имеет достаточ |
||||||||
ного |
количеотва моментов или не удовлетворяет ограничению (П .3.28). |
||||||||
|
В |
одномерном случае |
( да = 1 ) |
имеем |
|
|
|||
|
|
р |
А г |
& ] , |
рш |
; |
|
|
|
|
|
р |
А-//' |
г’п е |
|
А■ |
} ' |
^ v(¥)> |
(П .3.35) |
|
|
|
|
?S - J L |
■ |
7 = £<?*(£) ег-р |
// = £ 9 ( e)e *-f, |
|
|
|
|
|
|
f ‘ |
’ |
|
|
|
|
где |
cr |
- ковариационная функция АР-процесса. В результате асимп |
тотическая ковариационная матрица (АКМ) оценок АР-параметров од номерного негаусссвского АР-процесса при отличии предполагаемой
плотности р£ (р) |
ШП |
е£ |
от действующей |
р£ су) в |
имеет вид |
|||
|
|
^ |
Г * |
' 0 |
|
|
|
|
J ( 0 h |
р |
А* |
|
|
|
4 / 0 7 , |
(П .3 .36) |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
£ |
|
|
|
|
Как важное |
следствие |
из |
теоремы П .ЗЛ рассмотрим ковариаци |
|||||
онную матрицу для АЭ-оценок, |
построенных в предположении, что АР- |
|||||||
процеоо - гауссовский, в ситуации, когда |
реальная ПНП |
jj" - нега |
||||||
уссовская . Выше указывалось, |
что АЭ-оценки для гауссовского АР- |
|||||||
процеоса оовпадатат с |
оценкаш |
Юла - Уокера. Для |
нормальной плот |
|||||
ности />е с £ ) |
имеем |
|
|
|
и класс |
совпада |
ет с классом 01 |
нормированных распределений ПШ1 % , имеющих |
|||||||
Четвертый момент: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
& ~ {А г '/<?"= Q |
£ ^ € ^ 1 , |
/ 1 ^ 1 ^ * " } . |
(П .3 .37) |
||||
Из формул (П .3 .30) и (П .3 .32) при этом следует: |
|
|
||||||
0 м* /0 -' Ф С ^ , |
■ *-№G tp 7= |
Г * - Г А, |
0= Q# г> |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
' /.4~ S |
|
М )(us) ~ |
Q 7 ®(р<) Fo'a) А |
* |
|
>)' |
) a t^ S' |
|
||
т .е . |
9 1 |
<- Q~” ® Q~fJ i |
|
|
|
(fl.3 .3 8 ) |
||
^lrk)(m)a Д? °iri) |
% u)F { £(»i- £(JH |
V |
|
Scrk) Gcsu)> |
|
|||
T .e . / * - £ \ o |
,r If e J |
Q~r ® st &l |
\ - tvec $ |
’) (w e |
t r 1 7. |
|
96
Для одномерного АР-процесса формулы (jT .3.38) приобретают вид
|
|
|
/(<*)=/"*= |
|
|
1 Ct_„, |
г ,я е |
ip |
7 ; |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(П .3 .39) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Л -? |
|
|
|
~ £ e f. |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
Г |
|
' |
|
|
|
г |
> |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
' с ' |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
(П .3 .40) |
|
|
|
|
|
|
|
m |
- f |
а |
|
ScL |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г |
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким об о зо м , |
|
оценки Юла - |
Уокера |
обладают чрезвычайно вы |
|||||||||||||||
сокой устойчивостью, |
|
т .е . |
состоятельны и асимптотически нормаль |
|||||||||||||||||
ны для произвольных распределений ПНП |
Щ , |
имеющих четвертый мо |
||||||||||||||||||
мент; р£ & 0 1 . Из формул |
(Ц .3 .3 8 ), |
кроме того, вытекает, что АКМ |
||||||||||||||||||
оценок Юла - |
Уокера для параметров |
4к, |
А е К/> |
инвариантна в |
||||||||||||||||
классе й ? , в |
|
то время так для параметров масштаба |
|
0 |
зта |
матри |
||||||||||||||
ца зависит лишь от четвертого момента распределения |
|
( / ) |
е 0 2 . |
|||||||||||||||||
|
Воли предположить, |
что />е |
(ЦТ) обладает четвертыми моментами, |
|||||||||||||||||
аналогичными моментам |
стандартного |
нормального распределения |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3 , |
если |
h j= s = & ; |
|
|
|
|
|
|||||
|
£■ \е |
£ |
е |
s |
|
. 1 |
|
1 , |
если |
/ |
|
|
0 = 0) |
}=5Ф/ = 0г |
__ |
|||||
|
|
|
|
|
|
/= и |
* |
S “J> |
|
|
|
|
(П .3.41) |
|||||||
|
1 0) |
(/) К) |
(0) I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
О, |
если / ф^ ф я ф г/, |
|
|
|
|
|||||||
то |
из формулы |
(П .3 .38) |
следует, |
что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Г. |
}фг U<r>) |
|
ia) |
*s |
W(rs) |
сЩ |
|
|
|
-tr |
n-f |
|
£ е * |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
Crt)№) |
|
|
|
* ®(rs) |
®(*и) |
|
О) |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
it |
|
|
|
|
|
|
|
**s |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
#ФЭ |
|
|
|
||||
ж, |
таким образом, Лв~ / & = Г, |
|
т .е . при дополнительном ограниче |
|||||||||||||||||
нии (П .3 .41) |
оценка |
Юла - |
Уокера для |
0 |
также имеет |
инвариантную |
||||||||||||||
асимптотическую ковариацию в классе |
&Z . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
Отметим, наконец, что если матрица |
0 |
известна |
и оценивают |
||||||||||||||||
ся лишь матрицы |
|
(подобная |
задача возникает, |
например, |
т п |
|||||||||||||||
идентификации линейных дивамичеоких |
систем, |
описываемых разност |
||||||||||||||||||
ным уравнением |
(П .З Л )), |
то оценки Юла - |
Уокера для |
^ |
состоя |
тельны, асимптотически нормальны и имеют инвариантную ковариаци онную матрицу в классе всевозможных нормированных распределений
ПНП |
; |
|
|
<%ЛРе ‘ £ е = 0 > ^ ^ s 'r= l ] , |
(ff.3 .4 2 ) |
т .е . |
ограниченность четвертого момента <?, не требуется. |
|
97
|
Робастные (минимаксные при Ж -*-°° ) оценки АР-параметров не |
||||||
гауссовских временных рядов. В ряде случаев, |
при отсутствии точ |
||||||
ней априорной информации о распределении ШП |
st , можно охарак |
||||||
теризовать из каких-либо соображений класс |
{Р£ } , которому |
||||||
данное распределение принадлежит. Цусть этот класс таков, что |
|||||||
для каждого его элемента |
р£ |
существуют описанные выше АЭ-оценки |
|||||
Ак ] |
flip) |
^ |
др_ШраМетров |
(индивидуализируемые своей вектор- |
|||
функцией |
Р i f ) |
= У in pe ( f ) ) |
и каждая оценка Pff? P (fl} |
состоятель |
|||
на и асимптотически нормальна при всех распределениях |
Д е е с |
||||||
ковариационной матрицей Д |
(р ) , зависящей от |
<Р~ и, следовательно, |
|||||
от ре |
и |
р£ . Если характеризовать качество оценок асимптотиче |
|||||
ским риском |
|
|
|
|
|
rp(?)*mt Вп(РР(^СрУ^)>' А р е С ; |
Ру<Р)~\лГ>#\, (1-3. 43) |
||
где ИГ |
- истинное |
значение АР-параметров, |
w (x) » о - некоторая |
функция |
потерь, то |
для широкого класса »(кр (включающего, по-ви |
|
димому, |
большинство практически разумных функций) в силу асимпто |
тической нормальности |
Ру (р) |
риск |
^ (р ) |
будет зависеть только |
|||||
от матрицы Рр (р ) ' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
гр (р ) = / / д ( р ) ] , |
f £ J » 0 . |
(Д .3 .4 4 ) |
|||
В качестве функции |
? Г д ] от матрицы может выступать, |
например, |
|||||||
функция fTU ) ] * t r J ) |
|
- сумма асимптотических диоперсий оценок, |
|||||||
которая возникает при функции потерь |
w(X)= |* | , или $ /Д/=> |
||||||||
= tr £ c(et р ч , |
где |
Л |
- Ш |
у/ ъ Л |
, ] |
- |
корреляционная матрица |
||
оценок. |
.у |
|
|
|
|
|
|
|
|
Поскольку |
Д |
(р) |
- АЭ-оценка для |
/>€ е £ , ясно, |
что $ ■ ( / ) - |
||||
~ т'пр е р гр< Р ) |
т .е . |
функция гр (р ) |
есть |
нижняя огибающая пара |
метрического семейства функций риска ’р С Р ) • Для каждой оценки
(р)существует свой максимум риска - наименее благоприятное
распределение д |
е Ф |
, |
для которого |
€ |
(/%)=* sappeC ГР(Р) • Прин |
||||
цип минимаксного оценивания в классе |
состоит в отыскании тако |
||||||||
го распределения |
ps |
е € |
, |
для которого выполнялось бы уоловие |
|||||
|
|
sup |
rs |
ip )~ to* |
sap |
г „ {р ). |
(П .3,45) |
||
|
|
pe<t |
“ |
•р е р |
р е е |
г |
|
||
Оценка Ру (р ) |
называется минимаксной |
(или робастной) в |
классе |
||||||
оценок, асимптотически эффективных для |
распределений ps <= С |
||||||||
Рассмотрим сначала робастную сценку для параметров Лк, |
А е/Тр |
||||||||
при известном |
Q . Здесь в |
качестве |
С/ |
выступает множество, опре |
|||||
деляемое условием: для всех 4 , р£ е |
^ |
|
|
98
|
£ е |
= 0, |
£ |
s |
s r = Г, \ £ f ( s ) f rce) J<~>, |/ V j3(g) !<•=», |
|
|||||||||||||||||
P c f ) = |
Ype |
( f ) , |
|
|
|
£ |
- |
усреднение |
по м е р е ( П . 3 . 4 6 ) |
||||||||||||||
V<p ( f ) |
удовлетворяет условию Липшица при |
)#~\< с. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Для любых Р£ |
& €j |
существуют АЭ-оценки параметров |
|
|
к е £ р , |
||||||||||||||||||
состоятельные и асимптотичеоки нормальные при всех |
|
е € |
, |
т .е . |
|||||||||||||||||||
для любой функции потерь |
'к[ Р ] существует параметрическое |
семей |
|||||||||||||||||||||
ство функций асимптотического |
риска |
|
гр (£ )> |
Р, Р е |
<£ - |
Поскольку |
|||||||||||||||||
С7 e J b , |
где |
|
Jd |
задается |
(П .3 .4 2 ), |
из |
сказанного |
выше |
следует, |
||||||||||||||
что оценки Юла - |
Уокера для |
параметров |
, |
АЭ для гауссовского |
|||||||||||||||||||
распределения |
(У (/ ) = - ? ) |
|
имеют в |
€г |
инвариантную асимптоти |
||||||||||||||||||
ческую ковариационную матрицу: |
|
|
С/ ') -= <35да/, |
Р е |
Р? |
, |
и, |
сле |
|||||||||||||||
довательно, |
|
при любой функции потерь постоянный риск |
VEPsayc (P)J~ |
||||||||||||||||||||
~ const, |
р е |
€г |
. |
Отсюда, |
используя известный достаточный крите |
||||||||||||||||||
рий Вальда для минимаксной оценки {К(4, |
59/ можно утверждать, |
что |
|||||||||||||||||||||
оценка Юла - |
Уокера для параметров-^ |
робастна |
в классе |
<Р7 |
рас |
||||||||||||||||||
пределений ПНП |
|
, |
описываемом соотношениями |
(4 6 ) . Аналогичный |
|||||||||||||||||||
результат в одномерном случае был получен в работе /727. |
|
|
|||||||||||||||||||||
Рассмотрим теперь |
класс |
С3 , |
определяемый следующими усло |
||||||||||||||||||||
виями: при всех |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
4 ^ |
/ £ е |
? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(П .3.47) |
|||
£ S “ O', |
£ |
f e |
r* I , |
|
£ < F ( £ ) e r* - f f |
£ |
t r f p ( c ) P r( £ ) s e rJ < ^ |
, |
|||||||||||||||
£ trlV < f (e ) <T<T |
rJ < oa, |
4 p ( f ) |
- |
удовлетворяет условию Липшица |
|||||||||||||||||||
при \ f\ < C ’t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 , |
если |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
% |
|
% |
Ь ) eO) |
i , |
если |
/= £Ф к = 1, ;= / |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
0 - |
в |
других |
случаях. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Здесь робастными являются уже оценки Юла - |
Уокера |
|
как для |
||||||||||||||||||||
параметров формы |
|
Ак, |
|
к е |
//Г, |
так и для параметра масштаба |
Р . |
||||||||||||||||
Класс |
€г |
значительно уже |
класса |
|
€f , т .е . задача |
минимакс |
|||||||||||||||||
ного оценивания параметра масштаба Р |
АР-процесса |
решается гораз |
|||||||||||||||||||||
до менее |
аффективно, |
чем для |
параметров |
|
, определяющих форжру |
его спектра.
Устойчивость АЗ-оценок для параметров гауссовских АРСС-про- цесосв. Выше было показано, что АЭ-оценки для гауссовского АР-
процеоса |
(оценки Юла - Уокера) состоятельны |
и асимптотически нор |
|
мальны в |
клаоое @Z (П .3 .37) произвольных негаусссвских порож |
||
дающих независимых последовательностей |
£~t с |
конечным четвертым |
|
моментом, |
причем оценки параметров ^ |
имеют |
в этом классе инва |
риантные АКМ, а точность |
оценки параметра в зависит только от |
||
четвертого момента ПНП |
. Используя |
спектральные выражения |
|
(П .2 .3 ) для ДЦ статистики гауссовского |
АРСС-процесса, можно обоб |
||
щить этот результат в двух направлениях. Во-первых, расширить |
|||
класс порождающих процессов |
, для которых оценки Юла - Уокера |
устойчивы (в том смысле, что остататоя состоятельными и асимптоти чески нормальными). Во-вторых, распространить этот результат на АКМ асимптотически эффективных оценок параметров гауссовских мно гомерных АРСС-процесоов.
Рассмотрим класс <7" ПНП Т |
- мартингалов разности /10§7 с |
|||
конечными четвертыми моментами, |
т.е. обладающих свойствами |
|||
|
|
|
|
(5 .3 .4 8 ) |
где et _7 |
- ^-алгебра событий, |
порождаемая величинами Щ ) >'<? -•*>, |
||
Из |
выражения (ff.3 .4 8 ) |
оледует, что |
“ А и |
|
где |
- оимвол Кронекера, |
т .е . |
кегауооовский мартингал разности |
является белым шумом, в котором зависимость между последователь
ными значекяят ^ |
выражается {опещшлытм образом) только в мо |
|
ментах выше второго порядка. |
|
|
Базируясь на результатах, изложенных в /40, 42 , 4057, можно |
||
доказать следующую теорему. |
|
|
Т е о р е м а |
П .3 ,2 . Оценки параметров |
J?t АРСС-процес |
са, асимптотически |
эффективные в предположении, что порождающая |
|
последовательность |
- гауссовский белый шум, |
остаются состоя |
тельными и асимптотически нормальными для любой порождающей после
довательности ^ |
из класса |
|
При этом АКМ оценок АР-параметров |
|||
At инвариантна в |
классе Р |
(и выражается формулами (П .3 .3 5 ), |
||||
(П .3 .4 |
4 )), |
а АКМ СС-параметров |
J>k зависит лишь от |
четвертых мо- |
||
.ментов |
/ { |
£й н е( .^ |
еа н . |
] |
компонент вектора |
е ^ . |
Описанные в настоящем разделе свойотва устойчивости, инвари антности и робаотности АЭ-оценок параметров гауссовских АРСС-про- цессов наряду с вычислительной простотой делает метод подгонки АРСС-моделей удобным для практического применения при спектраль ном анализе многомерных временных рядов.
100