книги / Прогнозирование прочности и анизотропного состояния деформированных конструкционных материалов
..pdfПосле подстановки выражения (3.31) в (3.29) функция/<£0.<)
будет иметь вид |
|
/ ( $ . , *)шЩ г т |
+ | -г;Ц)сюШ -Ф ,)- |
' 2 ( ^ 1 |
^0 |
5иг<5 -^>]-а/тт(т^+^) |
(3-33) |
||
Для решения уравнения (3.28) |
понадобится еще значение пер |
||||
вой производной функции (3.33) по |
£ с : |
|
|||
^ / ^ . ) = |
{ |
х !!т [ с о з й « - Ф ,) ( |г ; 10 - 4 г ; (,) - я 31аг^-Ф ,Х А - |
|||
- z s V j - z / y |
f |
(j*+ ^)"'%+г Л С о ■*-з ^ г0 + 4 /1*(;'ф(;0.(з.з4 ) |
|||
Метод решения уравнения (3 .28) |
излагается в |
следующем ца- |
|||
раграфе. Реализация метода является |
первым этапом решения за |
дачи об исследовании плоской деформации путем скольжения с уп рочнением при установившемся процессе прокатки олабс анизотроп ного материала.
§ 3 .2 . Метод определения функции интенсивности сдвига при установившемся процессе прокатки
Как показано в работе [123], линейное интегральное урав нение Фредгольма вида (3.28) можно решить методом, предложен ным И .Г .Крейном [57]. Метод базируется на чю рил спектральных функций одномерных краевых задач. Доказывается, что уравнение
вида |
а |
|
|
$ H (\x -s \)< p (s )d s = f(x ) ( - а ^ х ^ а ) |
|
|
-Л |
если |
имеет единственное интегрируемое решение, в частности, |
||
//(*>*аГ ^, |
т .е . именно для налей задачи. Для уравнения |
(3 .28) |
это решение выражается формулой |
|
" |
f t |
(3 .35)
-и |
• ^ |
|
|
<р(х) шА$ K(xts ) <p(s)ds+/te>T |
(3 .41) |
||||
|
|
|
|
€t |
|
|
|
в котором положено: |
ч |
кcos (я Л,/г). ' -K(x,s)-K($)-(tf'-'C,*-)~s~\ |
|||||
f(x)*s r(l^tQt)i |
|
|
, откуда видно, что ядро уравнения |
||||
(3.41) является вырожденным, так как оно представляет |
собой |
||||||
функцию только одной переменной ( £ ) . |
|
||||||
Решение уравнения Фредгольма с |
вырожденным ядром |
типа |
|||||
(3 .41) |
имеет вид [74] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V |
t e b / t e M |
E |
Cka*(*)> |
(3 .42) |
где |
|
|
|
6 |
КяА |
|
|
|
|
|
6l((s)<fC3)dst |
|
|||
ак(х) и |
Ьк (э) |
функции, составшшщйе ядро уравнения в |
общем |
||||
случав, |
т .е . |
|
|
л |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
К |
( х , $ ) ak{x)bk {s), |
|
||
В нашем случае |
л ^ ('л )= а 1(^ )« (|5 г- ^ й) А4Л, Следовательно, |
реше |
|||||
ние (3 .42) принимает |
вид |
|
|
|
|||
|
|
9 ( $ ,fih r (t;tр)+ |
(р 4- |
(з .43) |
»
Таким образом, решение нашего интегрального уравнения Фредголь ма с вырожденным ядром сводится к определению единственного по стоянного коэффициента . В общем случае существует следую щая система алгебраических уравнений, которым необходимо удо влетворяют коэффициенты Ск :
|
/V |
|
|
|
Ск - Л ***«,£«.mfk > |
k*\y& ,;,,rbt |
(3 .44) |
где |
o^m « J a/rt(s)bk(s)d$, |
e J f(s)f>f.(s)ds. |
|
Для определения одного коэффициенте С* в нашей задаче из систе мы (3.44) потребуется лишь одно уравнение
С < -Л « ИС< « Л , sum С,—/|/< < —Хоси). |
(3 .45) |
Подставляя в (3.45)
|
|
Л = $ r Q ; ,р Ы $, |
-f> |
|
f t f - S 1)** |
di; |
|
|
|||
|
|
-A |
|
|
-Р |
|
|
|
|
||
и значение Л из уравнения (3 .4 1 ), получим с |
учетом |
(3 .3 9 ) |
|
||||||||
|
<V |
_________ $,»>•(<;,р)<*5________ |
1 |
|
|
|
|
|
|
||
|
1 - fl^ Hco3(^/fe)5i/ba- 5 * ) ^ 5 |
5l |
Ь Я ,$ Р г(г;,£)£*<; |
|
|||||||
|
|
|
|||||||||
|
|
“* |
|
|
|
- ft |
|
|
|
||
|
|
_L |
< - |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
* - * S H f;^ )d t;\ |
|
|
|
|
||||
Подставив теперь в (3.43) полученное |
значение |
Ci% значения Л |
|||||||||
из |
(3 .41) и г ( $ ,р ) по |
(3 .3 9 ), |
после |
раскрытия скобок и |
приве |
||||||
дения подобных; членов будем иметь |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
^)'(‘;.p )= з^ -, c o s (л V 2 )(p ,г- l ; г)**У[^-flДl,к г ;,р )<*<;]. |
о |
. 46) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
■* |
, |
|
|
|
|
В работе [56] цриведено значение интеграла $ |
|
|
|
|||||||
для нашего случая, когда подынтегральная |
функция имеет вид (3.39): |
||||||||||
|
$ |
r(t;$)dt;=M (xjk)~‘jC'Iz |
го"+А/5г) |
^ |
С05(яЛ/^ » |
|
(з.4 7 ) |
||||
|
~Р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
Г |
- табулированная гамма-функция или, |
иначе, эйлеров |
ин |
|||||||
теграл |
второго рода (см ., например, |
[27 , |
31, |
7 2 ]). |
|
|
|
||||
|
В результате подстановки |
(3 .4 7 ) |
в (3 .46) |
получим |
|
|
|||||
|
|
дЪ ,р) |
я ' ' со5(л А /я ) ,„ г r t ' . Q |
|
(3 .48) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
где |
= 5С-1/г CQbfak/z) ГЬ+Ь)/2] |
|
|
(3 .49) |
|||||||
|
|
|
|
Г0+А-/2) * |
|
|
|
Далее определим функцию M(w) , первая производная которой Мг(и)
входит в формулу (3 .3 5 ). На основании (3 .37) и |
(3 .4 8 ) |
имеем |
IL |
|
|
M(tc)=[x~'сйь{кк/2')/(\-ав1и,к')]^ (u,2- t ; z )~r |
d i;. |
(3 .50) |
Применением последовательно подстановок |
|
|
|
|
(3 .51) |
X - S l n t f , |
|
(3 .52) |
г>4 |
|
(3 .53) |
интеграл в выражении (3.50) преобразуется в эйлеров интеграл первого рода (бета-фучкцию В) .который с помощью формулы Эйле ра-Дирихле ,B(6,cO -T(6)r(cO/[r(6+^)l , где 6 = 1+ А , a d~ I, вы ражается через эйлеровы интегралы второго рода (гамма-функции
Г ) . С учетом формулы |
Г (1 /2 ) - ^ |
1г будем иметь |
|
|||
U> |
h-1 |
-*Л |
к я1* г[«+луг] |
|
||
$ |
cL^=u.k J zobhqcUf, |
(3.54) |
||||
Z |
Г0+А/2) * |
|||||
|
|
|
|
В последующих выкладках наряду с интегралом (3 .54) при вы числении функции интенсивности сдвига <р(£ 0, £) , а далее - ком понент тензора конечных деформаций встретятся другие интегралы этой группы, которые преобразуются к виду (3.54) с помощью ин тегрирования по частям сразу после применения подстановки (351). В результате получаются рекуррентные формулы, из которых в даль нейшем понадобятся следующие:
|
|
ЭГ/2 |
к л |
L |
o |
|
s |
( 3. 55) |
||
|
|
С соз |
|
c |
|
|||||
|
|
Т! |
|
о |
|
|
|
|
|
|
К+&я> j |
(1+А/ХНА),.|(2/1."1+А) |
к |
t |
t |
I n * |
\ / |
. |
|||
5 cos |
q,dq,- (2+A)w+A) |
(2л+/у { « • *§ * |
U -W A 4 (3 .6 6 J |
|||||||
Подставив (3.54) в (3.50) и вводя а |
по |
(3 .4 9 ), |
получим |
|||||||
выражение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
М(и)~ aiLk/[Z (\- ttd {u k )], |
|
|
|
|
|
|||
после дифференцирования которого й приведения подобных |
|
членов |
||||||||
будем иметь |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
М'(и)~ ak,u,k‘V[Z (Ь аЯ , |
. |
|
|
|
(3.57) |
|||
Приступим теперь к вычислению функции интенсивности сдви |
||||||||||
г а |
по |
формуле (3 .3 5 ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
§ 3 .3 . Определение функции |
|
|
|
|
|
|
|||
|
интенсивности сдвига по формуле (З.Э5) |
|
|
|
|
|||||
I . |
Вычисление первого члена Формулы |
(3 .3 5 ). Составим под |
||||||||
ынтегральную функшпо из |
выражений (3,48) |
и (3.33)1 |
затем |
вычис |
лим выражение в квадратных скобках в первом члене формулы (3.35). Вычисление выполним по правилу дифференцирования определенного
интеграла по параметру (см ., например, |
[27]), имея в виду, что |
согласно (3.48) ^ ( р ,^ ) “ ^ ('Р ,р )= 0 * . |
55 |
=. ^ { ^ т [(1- 2 ^ о+ - | с;'о) ^ 9 2 ( « - Ф <) - я (<;г | ^ ) 8 1 п Я(5 -Ф 1| - p 1
T |
( т 5 + 4*)" (А*+^ |
*+ + ^ о |
^ |
х яГ1 соз(яЛ /£) |
(А-1) (р>*-5*) * |
ft + aB%k |
|
|
|
0 - a f l ,p fc)e |
|
Заметив, что несколько слагаемых интегралов этого |
выражения |
||
равны нулю, поскольку в них подынтегральная функция |
нечетная |
при симметричных относительно нуля пределах интегрирования, и
применяя к остальным интегралам подстановку |
(3 .51) и |
формулы |
|||
(3 .54) и |
(3 |
.5 6 ), после вычисления |
интегралов |
и простых |
преоб |
разований |
с |
учетом (.3.49) получим |
|
|
|
« .5 8 )
Ct- Т co32(<f-4>,)- (2//5XVT*+ ф * Т * А .\
Сг = [ г /(2 + А )][т c o i 2(0 -Ф ,)+ (|/Й Х 1 Л *+ I/ K 1)"1* /
<V=1г/[(2+А.) OWt))}[тсо з2 М -ф ,)-^(|/тг+ |
|
• |
|||
Используя (3 .4 8 ), |
(3.57) и (3*58), получим |
выражение для |
|||
первого члена формулы |
(3 .3 5 ): |
|
|
|
|
2 *tpid f , |
S, |
t ) - |
|
|
|
|
|
|
|
|
« ■ * > |
2. Счисление второго члена формулы (3 .3 |
5 ), |
Сравнивая вто |
|||
рой член формулы (3.35) с |
вычисленным первым, |
можно |
увидеть, |
||
что выражение ъ квадратных |
скобках во втором члене |
определяет- |
ся, если в |
(3 .58) заменить р на и а результат разделить на |
|
производную |
(3 .5 7 ): |
|
_ J — j L i |
„ 4 x o -w * -_ * ^ f L r - t o ^ n „ а . /а |
.л !_ гУ |
<э£«. j |
U+A,)C4U.*+(A+A.)C*U.',] - 2 J ^^д^1 |
x[A^,«.A-(2 + « C iK i4*'+(4+A.)C.tt‘,',‘'] + ^ ^ - ( C „ a * - C llt4+A+C,u.',+'L).
После дифференцирования по и, и приведения подобных будем иметь
%и>
du, L М'(и) ciw
_ 9.Щ\-а.В^и.к) [_я(й+А,)СгЫ, + 4 (4+Л ) С/,tt»]_
|
Чтобы вычислить выражение для второго |
члена формулы (3.35) г |
||||||||||
умножим полученную производную |
на ^ ( ^ 0,а.) вида |
(3.48) с |
заме |
|||||||||
ной в (3.4S) р яаи |
и £ на |
£ 0 , |
составим исходное |
выражение вто |
||||||||
рого члена и вычислим полученные интегралы |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
d |
g ^ ,u )f(4 )d i;]o U - |
|
|||
|
|
|
|
|
|
,Mr(u) die |
|
|
|
|
|
|
J L & M frh /i0 ^ |
h)c^ |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
^ |
< |
M |
u [(z+/iKJ< _ г й + А ) с л 1 |
|
|||||
Интеграл |
/. |
легко |
вычисляется с |
|
|
|
|
|
i±4 |
|||
помощью подстановки (w.2-^ o ) -Ч: |
||||||||||||
|
|
СР |
АН |
J |
г * |
. |
|
_ |
а |+А |
(3.60) |
||
|
Jj.j |
|
|
* u.du. = ~ |
^ |
|
|
|
* , |
|||
a |
Jz - |
интегрированием по частям с |
последующей |
подстановкой |
||||||||
<“ |
- s i ) |
* |
= ? : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Г Р |
Г |
i |
1+4 -| А |
1/^ |
|
1 + 4 ^ |
4 |
Г * |
ttA |
|
- |
f**A. |
-о |
^ |
|
P - S S S S p d * - (a e i) |
|
|
|
н м 4 ’7'" |
(1+ЯХ5+А)4 |
|||
|
После подстановки |
вычисленных |
значений |
/, и J2 и простых |
преобразований выражение для второго члена формулы (3.35) приво дится к виду
Дифференцируя последнее выражение по $ Ли умножая на 1 /2 , после приведения подобных получим выражение для третьего члена формулы (3 .3 5 ):
|
|
J __ dL_ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
& d $ { |
|
|
|
|
|
|
|
к-1 |
|
|
агёГсозСтсА/й) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
л |
(3.63) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
§ 3 .4 . Анализ полученной функции интенсивности |
сдвига |
|||||||||
|
Подставляя найденные |
значения |
первого (3 .5 9 ), второго |
||||||||
(3,62) и третьего (3.63) |
|
членов в |
формулу (3 .3 5 ), |
получим |
|||||||
|
( |
V&ro sfr/t/a ) |
f (с» -с,Р г+<М> |
_ о ^ |
ог ^ |
у - |
|||||
|
' |
it к |
[ |
|
{-аВ#« |
|
* |
1 1 |
|||
|
|
(hh)fb*-zi; |
]}(p4 |
f)' |
|
cos СяА/я) ^ ( |
|
||||
|
|
эсА(НА) |
кг + |
||||||||
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
+а)Сл „ ( < 1 * ^ £ £ 1 й (4 , а )С,] (е г- |
^ |
, |
|
(3.64) |
||||||
где |
индексы |
коэффициентов |
Сл , |
л |
- |
0 ,1 ,2 ,3 4, совпадают |
с индек |
||||
сами входящих в них коэффициентов |
Ал по (3*32): |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
Z |
( \ |
• JLV^2 |
|
|
|
|
|
C0* T c o s (ff - 4 ^ )" ^ r\ T a ^ К?) |
А«* |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
/ 1 |
\ |
|
|
|
|
|
С*= Г s\n z(8 -$ i)' № Vf* + F / |
|
|
|
||||||
|
|
С*=яЫТсо5 2 ^~*4)+Мт*"‘’*5 |
^]» |
(3 .65) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
, < |
ху,/г |
|
|
|
|
|
C j ^ T s i a E C t f - S ^ - ^ v f 5 ' W |
А5t |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v-VS |
|
|
|
C4i - (Я+А)(4+А) [тс о в Я ^ -Ф ^ Ь ^ ( Т в + * « ) |
^»] * |
|||||||||
|
Используя условие А » Ф| |
[46, |
I 23]» |
получим согласно (3-3^ |
|||||||
что |
ДV < ; |
V - * ; |
|
|
|
|
|
6 J А г - а ^ + ф » * . |
и коэффициенты СЛ примут вид