книги / Прогнозирование прочности и анизотропного состояния деформированных конструкционных материалов
..pdfАналогичным путём вычисляется функция р |
для зоны опере |
||
жения - по формуле (2.30) с верхними знаками. |
Применяются те |
||
же подстановки (2 .33) и (2.34) и те же разложения в |
рад. |
Кон |
|
станта Cf определяется из граничного условия при |
с |
помо |
|
щью формулы (2 .9 ) . |
|
|
|
Получаем функцию, которая после объединения с |
(2.37) |
при |
|
мет вид |
|
|
|
+ 2(Л ^Т Ъ |
Н |
* |
г ) '2 .3 8 ) |
причем t = 0 и верхние знаки относятся к зоне отставания» a i = = I и нижние знаки - к зоне опережения.
Таким образом» определена в первом приближении функция да вления металла на валки при прокатке нивкой и широкой полосы. При этом интегрирование исходного дифференциального уравнения выполнено без введения закона деформационного упрочнения метал
л а . Это позволило избежать математичеоких трудностей» |
но для |
|
повышения точности расчетных формул теперь требуется |
уточнить |
|
полученную функцию первого приближения (2 |
.3 8 ). |
|
•Упростим функцию (2 .38) на основании |
численного |
сравнения |
входящих в нее выражений. Покажем, что при всех значениях А-*в
пределах зоны опережения выражение (/^г+//+ &)[i - (А<-&кЕ)/А*] |
+ |
||
+ &(/Vй + 3^/+2 )[1- (А^-дА, )/Ал] D (2 .38) мало отличается по вели |
|||
чине от МК . |
|
|
|
Приближенное вычисление интеграла (2.32) выполним |
иначе: |
||
вначале преобразуем с помощью подстановки (2 .3 3 ), затем |
проин |
||
тегрируем по частям и вычислим получаемый при этом интеграл |
с |
||
помощью разложения функции Т л О -О |
в приведенный выше |
быстро |
|
сходящийся ряд. Для зоны опережения |
используем (2.32) с |
нижним |
|
Знаком перед N : |
|
|
|
- ’ Э Д - к т Х ' - ^ Г
/иТ
Подставляя полученный результат в (2.30), будем иметь
Константу £, определим из граничного условия при Л . „ - с помощью формулы (2 .9 ):
Золи теперь подставить полученное значение СА в (2 .3 9 ) и пре небречь величиной
Л* ■ то функция р/*1: (2 .3 8 ) для зоны опережения значительно упрос
тится, и это упрощение будет эквивалентно признанию справедли вым следующего равенства, которое и требовалось подтвердить вы полненным численным анализом:
(лг*+лг+г) ^ - ^ ' ^ eJ +2(л*+9А/+г)(< -
Однако такое упрощение оказывается слишком грубым для зо ны отставания. И оно становятся грубым для обеих зон , если в по
рядке уточнения функции р /ъ ввести в нее хотя |
бы линейный за |
кон деформационного упрочнения, т . е . вместо |
(среднего) вве |
сти |
|
32 |
|
'т1 |
Ч*т< ~ ^ТО |
а X' |
(2.40) |
|
«( +«i |
|
|
Окончательное корректирование функции первого приближения (2 .38) проводилось на базе экспериментальных данных работ [91,
102, 103, |
И ?] |
с |
использованием |
аппарата математической |
стати |
||||||||
стики [33, 66] и, в частности, теории корреляции |
[68]. |
Прове |
|||||||||||
денный численный |
анализ позволил |
упростить функцию (2 .3 8 )с од |
|||||||||||
новременным повышением ее |
точности. В итоге она имеет вид [?0б]: |
||||||||||||
|
|
|
|
Ь О ч - Д М Д - |
|
- - . а |
|
|
|
||||
|
|
Р |
|
|
|
(£=0,1). (2.41) |
|||||||
|
|
|
i-ifti - д А.£УА* |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
В |
(2 .4 1 )/№ -/(Д и) , где |
JiH - |
высота полосы |
гьк |
в нейтраль |
||||||||
ном сечении очага деформации, |
вычисленная по полуэмпиричзской |
||||||||||||
формуле |
|
|
|
|
Нц—л |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Ав=- |
|
|
|
|
|
12. 12) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
«- /(лА.^ А ,)(0,М $ , / $ , ) 8 |
’ * |
|
|
|
|||||
Зная Аи , легко определить лъ из условия равенства значе |
|||||||||||||
ний функции (2.41) для зон |
опережения ( |
i |
= 1) |
и |
отставания |
||||||||
( i = 0 ) |
в точке |
Ад.“ Л.и* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9VBCJ |
|
Ч |
|
ДА,/А, |
) |
- *“М-(Аг аА,)/Ач/ |
|
|
|
||||||
После преобразований |
получаем формулу для вычисления по |
||||||||||||
казателя |
степени в функции |
(2 .4 1 ), |
записанной для |
зоны |
отста |
||||||||
вания ( |
I * 0): |
|
|
|
|
|
|
|
_ |
|
|
|
|
,и ь ± |
_±_у |
Г/ |
JL.- а А Л / / |
А—ЛА..Л |
Ч » |
ц „ |
|||||||
^ |
|
Л-ЛГ/ |
П.Л71 |
U .4 3 ) |
|||||||||
|
|
9УрГ/ |
9ур |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в которой коэффициент ль равен первому члену в фигурных |
скоо- |
||||||||||||
ках, поделенному |
на величину |
Д |
|
^.чгЬл. . |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
Лв |
|
|
|
|
|
|
Текущая высота полосы |
/ьк с |
учетом |
упругого |
сплющивания |
валка и упругого восстановления полосы вычисляется по формуле
а х- а ( « , ) 4 ^ ; ; ^ ° Ч а £ , |
(2.44) |
а
где |
A/if |
«функция, аппроксимирующая уп |
ругую линию контакта м й элла с |
валком. |
|
Ahe t |
Теперь остается получить |
формулу для вычисления поправки |
которая, по существу, относит всю упругую деформацию валг |
ка и полосы к полосе, а валок при этом условно считается абсо
лютно жестким, после чего функция/(« * )в формуле (2 .4 4 ) |
опреде |
|||
ляет распределение упругой деформации меаду |
валком |
и |
полосой. |
|
Учитывая этот физический смысл поправки |
, |
воспользуемся для |
||
ее вычисления готовой зависимостью из решения |
контактной зада |
|||
чи о вдавливании жесткого цилиндра в упругую |
|
среду |
при |
наличии |
трения [21]. Эта зависимость для нашей задачи с учетом резуль татов математико-статистической обрэботкл опытных данных имеет вид
(0,5 - 0,2 ib |
)/R |
^ |
' |
где 0=sO /n :)arctg [O -2 ,))/[2 ^ O -,J)]] |
, |
- |
коэффициент Пуассо |
на прокатываемого металла. |
|
|
|
(1-в)3:
п,т |
I |
I |
I |
I |
|
. ___ i___L___ I |
|
|
|||
О |
0,1 |
0,1 |
0,3 |
0,4 |
0,5 |
0,6 |
0,1 |
IL |
|
|
|
(л) и номограмма |
(5) |
для определения |
|
|
|
||||||
формулу |
(2 .4 6 ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Функция 9 |
табулирована |
[21, |
табл .1] |
для |
значений |
-^ = 0,25 |
|||||
и 0,30 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если теперь равенство (2.21) |
решить относительно |
Д/ь- |
и |
||||||||
подставить в неге выражение для оц |
по формуле |
(2 .4 5 ), |
то |
по |
|||||||
лучим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A k t - (Л,0- /<,,)((- 0)2( G£- C£/ I. |
|
( 2 .4.6) |
||||||||
Для-удобства'пользования формулой (2.46) автором номогра |
|||||||||||
фированы и представлены на рис.З |
значения |
6 и (1-9) в широком |
|||||||||
диапазоне р и |
, |
охватывающем все |
технологически возможные |
си |
|||||||
туации [ Н 2 ] . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
35 |
В итоге приходим к следующему алгоритму вычисления |
функ |
|||||
ций напряженного состояния |
бЛ(<**), ^ |
(«*> , 'СжуСм*) при |
про |
|||
катке низких полос: |
|
|
|
|
||
1) |
по формуле (2 .46) вычисляем величину а /ь£ ; |
|
||||
2) |
в случае прокатки с натяжением определяем величины ^ |
|||||
( i = 0; |
I) |
по формулам (2 .7 ) |
и (2 .9 ); |
в случав прокатки без пе |
||
реднего |
и |
заднего натяжений |
б/ « 0 и |
согласно |
(2 .7 ) и (2 .9)^= !; |
|
3) |
определяем координату сечения |
входа в |
очаг по формуле |
ЯR 1
4)по уравнению (2 .31) вычисляем параметр М ;
5) по формуле (2 .4 2 ) определяем высоту полосы в нейтраль ном сечении;
6) вычисляем величину показателей степени в функции (2.41) для зоны опережения 4 N/Qijp (величина, обратная показателю под
радикалом в формуле (2 .4 2 )) и для |
зоны отставания |
по |
(2 .4 3 ); |
7) определяем угловые параметры очага о*.,, ос |
и а+ос^ по фор* |
||
мулам (2 .21) и (2 .2 3 ); |
|
|
|
8) задаваясь последовательно |
различными А (« ж), |
вычисляем |
по формуле (2.22) ряд значений осх , охватывающий весь очаг де формации;
9) для полученного ряда Л(огх ) и <хх вычисляем значения Ах
по формуле (2 .4 4 ); 10) для всех точек ряда с*Л вычисляем значения предела те-;
кучести на сдвиг по (2,40) (при этом надо иметь в виду,что получаемые из опыта значения предела текучести на растяжение б
связаны |
с *z известным законом * c « 6 /V $ ); |
|
|
|
И ) |
используя значения показателей степени для |
равенства, |
||
(2 .4 1 ), |
вычисленные в п .6 , |
и значения |
по п .2 , |
определяем |
значения |
бу («*)« £ (< **) по |
(2 .41) раздельно для зоны отстава |
ния и зоны опережения в точках, для которых вычислены сех , kx и
*ГЛ в пя.8-10; |
|
|
|
12) |
определяем (также вычислением ряда точек) |
|
остальные |
две функции, описывающие напряженное состояние, |
|
|
|
13) |
строим эпюры напряжений 6x (ot*)f бу(<*Л ), ^ у |
(«**); |
|
14) |
проверяем правильность расчета: пересечение |
ветвей эш> |
|
ры p fa x ) MR зон отставания и опережения произойдет |
в |
точке |
= otH, |
и при |
подстановке |
этого значения <*« в формулу (2.44) |
с |
||||||||||
учетом формулы |
(2.22) для <уЛ должны получить АЖ»Л.М по |
(2.42). |
||||||||||||
Графическое сопоставление результатов вычисления /э(«ж) по |
||||||||||||||
предложенным формулам с |
расчетными результатами |
и |
эксперимен |
|||||||||||
тальной кривой из книги В.П.Полухина [91, рис.б] |
|
представлено |
||||||||||||
на рис.4. Расчет выпол- |
а |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
нен для случая прокатки |
Р»МПа |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
алюминия А1М |
при |
|
R - |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
- 102,5 мм; |
Л.' = 1,94 ш ;- |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
( А0- h j /k 0 = 0 ,4 ; |
натя |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
жение |
отсутствует. В рас |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
чете по предложенным фор |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
мулам при |
[ь = 0,1 |
Л/if = |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
* 0,027 мм; |
при |
(А |
=0,2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
A |
0, 03 |
мм; |
при |
)* = |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
= 0,4 |
AА* = 0,05 |
мм. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Под эпюрами |
/э (« Л ) |
вы |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
черчена 1фивая |
измене |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
ния коэффициента |
|
кон |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
тактного |
трения |
вдоль |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
очага, |
обеспечивающая |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
совпадение |
нашей |
|
рас |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
четной |
эпюры с |
экспери |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
ментальной |
кривой В.П. |
|
0,02 |
0,04 |
0,06 |
0,08 |
0,10 |
|
||||||
Полухина. Кривая |
f |
по |
|
|
|
|
|
а»рад |
|
|||||
лучена обратным |
|
расче |
Рис,4. Эпюры нормальных |
напря- |
||||||||||
том |
по |
предложенным |
жений-------- (л). . и закон изменения-------- коэффи- |
|||||||||||
формулам, кривая 2 - гра |
циента трения Ко), при котором про |
|||||||||||||
долженные, формулы воспроизводят кри- |
||||||||||||||
фик |
аппроксимирующей |
вую Э |
(А А ^ 0,03 мм, |
<*н = |
0,031; |
|||||||||
функции |
|
|
|
|
|
сплошные линии - |
рассчитанные го со |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
ставленному |
алгоритму; |
штриховые |
- |
||||
|
|
|
|
|
|
|
по данным работы |
[91]; |
Э - экспери |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
ментальная |
[91]. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(? |
АН |
16 АН- |
Л |
J |
СХ-ИХ |
|
|
|
||
|
|
|
|
V60 |
|
9 СОХ, |
|
|
>- |
|
|
(2.47) |
где Дц.» |
ГПЛГЬ I |
% =sbM(Vj§-“*/<**» 3 при
Если прокатка выполняется в условиях, когда Д ^ незначи тельно, эпюра р(а Л), вычисленная по предложенным формулам, близ
ка к экспериментальной кривой, и включения в |
алгоритм |
формулы |
||||||||||
(2 .47) не требуется. Это хорошо иллюстрирует |
р и с .5, |
который за |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
имствован из |
книги |
[ ш ] с |
||||
|
|
|
|
|
|
добавлением кривой |
р(ых), |
|||||
|
|
|
|
|
|
вычисленной |
по приведен |
|||||
|
|
|
|
|
|
ному алгоритму для |
случая |
|||||
|
|
|
|
|
|
прокатки |
алюминия без |
на |
||||
|
|
|
|
|
|
тяжения, |
при |
‘Сто = 140МПа; |
||||
|
|
|
|
|
|
*ст4 |
= 310 МПа; R -3 9 ,2 5 ш; |
|||||
|
|
|
|
|
|
fbb = 1 ,6 |
мм; |
А1 = 1 ,32 мм; |
||||
|
|
|
|
|
|
Jt = 0 ,3 ; |
|
~ 0 ,0 1 м м . |
||||
|
|
|
|
|
|
Наличие |
чисто упругого кра |
|||||
|
|
|
|
|
|
евого участка |
|
на |
экспери |
|||
|
|
|
|
|
|
ментальной кривой рис .5 при |
||||||
|
|
|
|
|
|
« Л > 5 ° , |
когда /?(«х )<2тж, |
|||||
|
|
|
|
|
|
не учитывается |
ни |
предло |
||||
Рис.З. Эпюры нормалышх |
на |
женными формулами, ни фор |
||||||||||
пряжений |
( / , |
4 - |
из |
[ Ш ] ) . |
мулами |
из предшествующих |
||||||
/ - |
экспериментальна»! го дан |
решений. |
|
|
|
|
|
|||||
ным К.В .Мак-Грегора |
и |
Р.Б.Палма; |
|
|
|
|
наше |
|||||
3 - расчетная по формулам |
Т.фон |
|
Таким образом, |
|||||||||
Кармана; |
4 - |
расчетная |
по форму |
решение |
плоской |
контакт |
||||||
лам Д.Р.Бланда и Х.Форда ( J |
и *♦ - |
|||||||||||
не учитывается деформационное уп |
ной |
задачи теории |
прокат |
|||||||||
рочнение). Эпюра 2 рассчитана по |
ки |
обеспечивает |
|
хорошую |
||||||||
формулам, полученным |
в |
настоящей |
|
|||||||||
работе. |
|
|
|
|
|
сходимость результатов рас |
||||||
|
|
|
|
|
|
чета с экспериментальными |
||||||
я точными расчетными результатами других |
авторов, |
а |
также |
об |
ладает возможностями для дальнейшего усовершенствования и уточ нения (введение функций типа (2 ,4 7 ), учет наличия зон затруд
ненной деформации и д р .) . Решение удовлетворяет |
основной цели |
данной работы и вытекающим из нее требованиям, |
сформулирован |
ным в начале главы. |
|
Г л а в а 3
ПЛАСТИЧЕСКАЯ ДЕФОШАВДЯ МАТЕРИАЛА, СЛАБО АНИЗОТРОПНОГО В ИСХОДНОМ СОСТОЯНИИ
Итак, на основании решения плоской контактной задачи тео
рии прокатки задано напряженное состояние деформируемого метал |
||
ла в виде |
функций координат <5* ф , б / ( р |
, ^ ij(j) в плоокостиде- |
формации. |
Плоская деформация происходит |
вследствие скольжения |
прослоек металла относительно друг друга в направлениях, |
пер |
|
пендикулярных оси Ок координатного базиса |
Oijk. |
|
Деформируемый (прокатываемый) металл |
будем считать |
поли |
м еталлическим телом, для которого упругие деформации опреде ляются законом Гука. Вычитая их из наблюдаемых деформаций, по лучим неупругие деформации; девиаторную часть последних назы вают пластической деформацией [62].
§3 .1 . Уравнение квазистатичеокого равновесия
иусловие пластичности
анизотропно упрочняющегося материала
Пластическую деформацию будем интерпретировать как посте-
.пенно развивающийся процесс множественного скольжения. При уста новившемся процессе прокатки направление оси времени можно со вместить с направлением любой из двух осей, i или j , различие будет только в масштабе шкалы отсчета.. Таким образом, заданное изменяющееся от точки к точке напряженное состояние можем трак товать как изменяющиеся во времени функции
^ ( 0 . <5/(0, 4 ^ (4 ),
Будем исследовать плоскую деформацию с упрочнением при ус тановившемся процессе прокатки в рамках модели линейной анизо тропно упрочняющейся плоскопластической среды [123].
Приращение сопротивления сдвигу в произвольном направле нии. пь в результате происходящего по закону парности касатель ных напряжений одновременного сдвига прослоек материала в двух
перпедцикулярннх друг к другу направления* л |
a f |
(р и с,6 ,л - в ) |
|
запишем в |
виде |
|
|
|
d S ^ m F M d f ^ , |
|
1 3 .« |
где »с(со) - |
функция анизотропного упрочнения в |
направлении т, |
|
под углом |
со к направлению л (ри с.6 ,г ) , 0 ^ с о ^ я /£ |
id ^ nl-oyu- |
парная деформация сдвига рассматриваемого элемента в направле ниях /г и I .
а г
При изотропном и слабо анизотропном исходном состоянии про
катываемого материала |
, и тогда согласно рис.6: |
|
|
*Г»«“ 1^Г*+ЙГf - |
<*Г„., |
(3.2) |
|
причем |
rfr„ ,—g-«p(e,<)rf9, |
(3.3) |
|
где <p(Q,£)- Функция интенсивности |
сдвига по малому вееру |
на~ |
40