- •пластичность
- •§ 5. Задачи со смешанными краевыми условиями. Третья основная задача в двух измерениях
- •§ 8. Температурные напряжения. Упругие волны, вызванные тепловым ударом
- •§ 9. Трехмерные контактные задачи
- •§ 11. Диффракция. Распространение возмущений
- •§ 12. Сейсмические задачи и задачи о колебаниях
- •§ 13. Заключительные замечания
- •§ 2. Условие текучести и закон течения
- •§ 3. Постановка задачи
- •§ 10. Введение
- •(dfldQ) Q; di* = f* di* = 0,
- •§12. Конечные принципы
- •§ 14. Жесткий идеально-пластический материал
- •§ 15. Упругий идеально-пластический материал
- •§ 17. Динамическое нагружение
- •§ 18. Приложение принципа минимума потенциальной энергии
- •§ 20. Плоская деформация и плоское напряженное состояние
- •§21. Балки, стержни и брусья
- ••§ 23. Общие замечания
симметричном изгибе круглой |
пластинки |
упругие кривизны |
|
и моменты связаны зависимостями *) |
|
|
|
^ r = 3 ^ 5 y ( V + vXl), |
|
(•'-,+ -г)- |
(1-5) |
Разрешая эти уравнения относительно кривизны и поль |
|||
зуясь равенствами (1.2), получим |
|
|
|
fiQ i- 'Q * ) , |
^ = r o ( - v Q , + Q2). |
(1.6) |
|
Следовательно, в этом случае |
|
|
|
В данном примере матрица коэффициентов BtJ |
симмет |
||
рична. Кроме того, поскольку |
O ^ v ^ y , |
ее квадратичная |
форма определенно положительна. Можно показать, что эти два свойства имеют место всегда; это обстоятельство будет использовано в гл. 4.
Основное допущение теории пластичности состоит в том, что полную скорость деформаций всегда можно разложить на упругую и пластическую части. Таким образом, если
обозначить |
через |
pt скорость пластической деформации, то |
|||
из |
(1.4) следует, |
что |
|
|
|
|
|
|
4i = |
BijQj-\-Pi> |
(1 -8 ) |
где |
точки |
обозначают |
дифференцирование |
по времени. |
В теории лластичности нас будет интересовать только влия ние пластических деформаций р, В этом случае результаты будут иметь непосредственное значение только для жестко
пластического материала (фиг. |
1,<? и |
1,е). Однако с по |
мощью равенства (1.8) эти результаты |
можно обобщить и |
|
на случай упруго-пластических |
материалов. |
§ 2. Условие текучести и закон течения
Во введении мы показали, что для определения упругой области при одномерной системе напряжений необходимо в любой момент задать два значения мгновенных пределов текучести. Это объяснялось тем, что мы имели выбор между двумя направлениями нагружения: растяжением и сжатием. Когда точка, изображающая напряженное состояние, харак
*) См., например, Т и м о ш е н к о С. П ., П ластинки и оболочки, ГТТИ, М ., 1948.
теризуется двумя или более независимыми обобщенными со ставляющими напряжений, существует бесконечное число возможных направлений нагружений, соответствующих лю бой линейной комбинации этих составляющих напряжений. Следовательно, должно существовать бесконечное число мгновенных пределов текучести.
Так как мы не можем определить упругую область ни каким конечным числом значений, необходимо воспользо ваться функциональным представлением. Поэтому мы бу дем предполагать, что существует некоторая функция /, за висящая от составляющих напряжений и предшествующей истории нагружения и такая, что если f меньше некоторого наперед заданного числа, то материал будет упругим. Для частного случая идеально-пластического материала эта функ ция текучести по определению будет зависеть только от на пряжений, а не от истории нагружения. Таким образом, оп ределяя f путем должной нормализации, мы можем записать условие для упругого поведения в виде
/«?». Q „ |
Q „ x 1- |
Далее, из определения идеальной пластичности следует также, что в этом случае f не может быть больше единицы.
Чтобы рассмотреть остающийся случай /=1, нам нужно обобщить представление о роли, которую играет скорость из менения напряжений при простом растяжении. Так как за всю историю нагружения f не меняется, то очевидно, что пластическое течение может иметь место только в том слу чае, если значение f остается равным единице. Иными сло вами, для того чтобы имело место пластическое течение, нужно, чтобы функция / не убывала. Полные условия для напряжений при пластическом и упругом поведении можно записать так:
пластическое поведение: |
/ = |
1 |
и |
/ = |
0, |
(2.1а) |
упругое поведение: |
/ < |
1 |
и |
/ < |
0. |
(2.16) |
Эти условия удобно изобразить в пространстве напряже ний, координатами которого служат переменные Qt . Тогда уравнение f = 1 будет изображаться поверхностью, а нера венство f < 1 определит область с той стороны поверхности, которая обращена к началу координат. Как видно из фиг. 2, соотношения (2.1) устанавливают, что если точка, изобра жающая напряжения, переместится от А к В или от С к D, то поведение будет упругим; если же точка, изображающая
напряжения, перемещается от Е к F или остается в G, то по ведение будет пластическим.
В то время как при простом растяжении условие для ско ростей деформаций может быть заменено условием для ско ростей изменения напряжений, для многомерных задач оно играет гораздо более важную роль. Пусть тело находится в состоянии равновесия под действием произвольной системы массовых сил f и поверхностных усилий Т. Далее, пусть бла годаря некоторому внешнему воздействию к телу приклады вается, а затем с него снимается дополнительная нагрузка.
Ф и г . 2. У п ругое и п л асти ч еск ое п ов еден и е и деальн о -п ласти ч еск ого м атериала.
Тогда работа, производимая внешним воздействием при на гружении, будет положительной, а работа, производимая внешним воздействием за полный цикл нагружения и раз грузки, будет неотрицательной. Это требование было впер вые сформулировано Друккером [2.1, 2.2] и по существу пред ставляет собой утверждение о необратимости процесса пла стической деформации. Иными словами, энергия, затрачен ная на пластическое деформирование, не может быть восста новлена.
Рассмотрим следствия этого постулата, пользуясь геоме
трической |
терминологией (фиг. 2). Допустим, что в момент |
t = 0 точка |
Q*, изображающая напряжения (и расположен |
ная внутри поверхности текучести), представляет состояние равновесия, отвечающее нагрузкам f и Т (фиг. 3). Предполо жим, что благодаря внешнему воздействию точка Q* сперва попадает в момент t в точку Q, расположенную на повепх-
ности текучести, а затем, двигаясь вдоль поверхности теку чести, попадает в момент Н-5^ в точку Q+SQ. При устране нии внешнего воздействия точка в момент t* возвращается
в положение Q *. Обозначив составляющие Q * через Q*, а соответствующие деформации через <?* и т. д., мы можем за
писать полную |
работу, |
про |
|
|
|||||
изведенную за цикл, в виде |
|
|
|||||||
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
Ш г = |
/ |
Qlql dx-\- |
|
|
|
|
|||
|
t+bt |
О |
|
|
t* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
+ |
/ |
Qi4i f a 4- |
J Q ib d r. |
|
|
||||
|
t |
|
|
t+ht |
|
(2.2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Далее, |
в |
общем |
случае |
|
|
||||
мы можем представить пол |
|
|
|||||||
ные |
скорости |
деформаций |
|
|
|||||
в |
виде |
суммы |
упругой и |
|
|
||||
пластической |
частей1): |
|
Фиг. |
3. Выпуклый характер поверх |
|||||
|
|
|
ch = |
^rJrPi- |
(2.3) |
||||
|
|
|
ности |
текучести и ортогональность |
|||||
ку |
В таком случае, |
посколь |
к ней вектора скорости деформаций. |
||||||
пластическое деформи |
|
|
рование может возникнуть только от t до t + 81, выражение
(2.2) |
примет вид |
|
|
|
||
|
|
/ |
t+zt |
t* |
||
|
bWr = |
J |
J* |
Ql (el-\-pi)dx-\- |
j |
Qiel d'z = |
|
|
0 |
t |
|
t +ot |
|
|
|
|
t +ot |
|
|
|
|
= |
$ |
Qfii dt-\- J |
Qtpt d-z. |
|
(2.4) |
|
|
|
t |
|
|
|
Здесь |
символ |
(j) означает |
интегрирование |
по |
всему замкну |
тому пути с возвращением в точку Q*. Однако так как по определению этот контурный интеграл определяет упругую работу, произведенную за рассматриваемый замкнутый цикл,
*) |
Х од |
доказательства не связан с линейной теорией упругости, по |
этом у |
мы |
пользуем ся равенством (2 .3 ), а не более ограничивающ им ра |
венством |
(1 .8). |
6 Зак. 1254.
то он должен равняться нулю, и (2.4) приводится к виду
t+ it |
|
bWT =f Q ttfP iW d r . |
(2.5) |
t
Часть работы ЪЧРт производится исходной равновесной системой сил Q*. Выражение для этой работы 8№0 полу
чается из (2.4) путем замены переменной Qi на постоянную Q* Путем рассуждений, аналогичных тем, которые приводят
к (2.5), можно показать, что
t+ot
о й е о * . |
(2.6) |
t
Вычитая (2.6) из (2.5), мы получим ту часть работы, ко торая производится за счет приложения внешнего воздей ствия. Разделим эту величину bWe на Ы и найдем предел от ношения при 8/, стремящемся к нулю. В результате получим
l i m ^ = [Qt.(0 - Q ;]A - |
(2-7) |
Таким образом, постулат о том, что работа, производи мая за цикл внешним воздействием, неотрицательна, экви валентен утверждению, что
(<2, - О З Л > 0. |
(2.8) |
Условие (2.8) налагает сильное ограничение на допусти мую форму поверхности текучести /= 1. С геометрической точки зрения условие (2.8) означает, что вектор с началом
в Q* и концом в Q должен составлять с вектором pt угол, не превышающий 90°, и это должно быть справедливо для любой точки Q*, расположенной внутри или на поверхности текучести. Следовательно, если через Q провести плоскость,
ортогональную pti то все допустимые точки Q* должны ле жать или на этой плоскости, или по одну сторону от нее. Но точно таким образом дается определение выпуклой поверх ности, так что мы доказали следующий результат: поверх ность /=1 должна быть выпуклой.
Далее, положим, что выпуклая поверхность текучести задана, и рассмотрим ограничения, накладываемые на век
тор Pi скорости пластических деформаций. Обращая приве денное выше доказательство, мы убедимся, что угол между
вектором pi и любым вектором Q* — Q* не должен быть ту-