книги / Проблемы теории пластичности и ползучести
..pdfД о к а з а т е л ь с т в о . Задача (33) непосредственно сле дует из определения s, теорем I, II и замечания, согласно ко торому требование k ^ 0 несущественно (поскольку ограни чения могут быть, очевидно, удовлетворены при k = 0). Аль тернативная, имеющая преимущества в вычислительном отношении формулировка (33а) основывается на теореме III. Формулировки (34) и (34а) получаются путем дуализации (33) и (33а) соответственно при интерпретации переменных двойственных задач как пластических множителей (это тре бует введения р). Таким образом, теорема доказана.
V Даже если (16) не выполняется, оптимальное значение /е° задач линейного программирования, включенных в IV, оп ределяет верхнюю границу для s.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Любое k в пределах k° < k < s оз начало бы приспособляемость, согласно определению s, и от сутствие приспособляемости, согласно теореме II. Отсюда
s ^ k ° |
(что и требовалось доказать). |
VI. |
Если А — симметрическая положительно определенная |
матрица, приспособляемость произойдет при произвольных на грузках Ft, Dt.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Если (16) выполняется, теорема IV может быть применена. При det А Ф 0 ограничения задачи (34) являются несовместными при любом М. Но к ограниче ниям двойственной формулировки (33) это не относится, по этому, когда А — положительно определенная матрица, ква дратичная задача (31) допускает для любого М решение, которое одновременно является решением задачи (32) и, сле довательно, удовлетворяет ограничениям последней. Единст венная альтернатива состоит в том, что множитель k не огра ничен сверху во всей области, определяемой (33) [7], т. е. s = оо (что и требовалось доказать).
Замечания. Хотя переменные к* и к относятся к одним и тем же механическим величинам, их'роль, смысл и оптималь ные значения различны. Теория двойственности линейного программирования дает следующее «комбинаторное» соотно шение для решений задач (33) и (34):
t ( M s - A V - K ) = 0. |
(3F ) |
Ввиду недостаточного объема статьи соотношения (35) и относящиеся к нему вопросы не могут быть здесь обсуждены (некоторые пояснения можно найти в [11] для более узкого изложения); это относится также к сопоставлению решений,
опирающихся на теорему IV, с аналогичными решениями при континуальном подходе.
Если Н и —Z симметричны и положительно полуопреде-
лены (это всегда выполняется для —Z при G = 0), то Ак = 0 требует одновременного выполнения:
|
|
H i = |
о, |
(36) |
|
|
ZNk = 0, |
(37) |
|
Фактически |
кАк = |
0 означает |
одновременно кНк = |
0 и |
pZp = 0, откуда известное свойство полуопределенных |
ква |
|||
дратичных |
форм [7] |
приводит к |
(36), (37). Уравнение |
(36) |
с (6), (7) и уравнение (37) с (14а) означают соответственно,
что пластические деформации р, определяемые к, должны со ответствовать неизменяющимся поверхностям текучести и не должны приводить к возникновению напряжений (оба требо вания неприменимы в процессе пластического деформирова ния, они выполняются только в конце). Если G = 0, уравне ние (37) устанавливает, что деформации р совместны, т. е. определяет тип «механизма»; фактически оно становится экви валентным Nk = Си, как легко увидеть из (14). При G = 0 и также Н = 0 первичную и двойственную линейные задачи в IV можно без труда свести к статической и соответственно ки нематической матричным формулировкам, данным в [11] для задачи анализа приспособляемости в классической поста новке.
КИНЕМАТИЧЕСКИЕ ТЕОРЕМЫ ПРИСПОСОБЛЯЕМОСТИ
Процесс пластического течения it ^ 0 за некоторый интер вал времени т, характеризуемый свойствами
^ idt = k , так что Ак = 0, к ^ 0, |
(38) |
х
будет называться «допустимым пластическим циклом».
VII. Конструкция не приспособится, если
$ Ftiipdt + |
J D $ dt > K i |
(39) |
X |
X |
|
для каких-либо путей нагружения Ft, Dt внутри установлен ных границ их изменения и для некоторого допустимого пла
стического цикла и соответствующих ему а?,
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Используя |
соотношение |
виртуаль |
||
ных работ (15), получим |
|
|
|
|
|
Qt (Pt + |
еТ) + uetGup = |
Ftiip, |
(40) |
||
+ |
|
+ |
= |
0. |
(41) |
Поскольку Qfe? = e?Qf> из Уравнений |
(40), (41) следует |
||||
F t f + |
DtQp = Qetpr |
(42) |
|||
Согласно определению (29) |
для М, с учетом h ^ |
0 имеем |
|||
Qetpt = Q tNe i t ^ M l t> |
(43) |
||||
откуда, интегрируя в интервале т, получим |
|
||||
$ Ftiip dt + |
J D ffi dt < |
Ж . |
(44) |
||
X |
|
X |
|
|
|
Вследствие (44) неравенство (39) дает |
|
|
|||
|
К Ъ < Ш . |
|
|
(45) |
Вектор к, удовлетворяющий одновременно (38) и (45), отве чает ограничениям задачи (34) (при соответствующем, всегда возможном выборе р) и делает ее целевую функцию меньшей единицы. Отсюда минимальное значение k° задачи (34) и ко эффициент запаса s ^ k° также должны быть меньше еди ницы (что и требовалось доказать).
VIII. При выполнении условия (16) приспособляемость имеет место, если все значения Fti Dt, находящиеся внутри установленных пределов, и все допустимые пластические цик лы удовлетворяют неравенству
$ Ftiip dt + $ DtQp dt < Кк. |
(46) |
XX
До к а з а т е л ь с т в о . В классе всех комбинаций не свя занных между собой нагрузок и траекторий пластического те чения возможно выделить те, которые отвечают следующему
условию: в то время как некоторая компонента Xt больше нуля, остальные компоненты равны нулю и соответствующая
составляющая NQf достигает своего максимума. При таком процессе, с учетом определения (29) для Af, нестрогое нера венство (43), а следовательно, (44) выполняются как равен ства; отсюда из (46) следует
Это неравенство приводит к значению ^ 1 целевой функции задачи (34). Поскольку аналогичное заключение можно по
лучить для любого Х} удовлетворяющего (38) и, следователь но, ограничениям задачи (34), соответствующее минимальное значение k° должно быть больше или равно единице. Таким образом, если (16) выполняется, s ^ 1 согласно IV (что и тре бовалось доказать).
Замечания. Работа, произведенная в течение пластического цикла, определяемого X на основании определяющих законов
(5), (6), |
(10) получает выражение |
|
|
|
\ Q tpt dt = X i + 4%Hi. |
(48) |
|
|
X |
|
|
Поэтому правые части (39) и (46) |
представляют полную дис |
||
сипацию |
только при условии, что упрочнение отсутствует |
||
(Н = 0). |
Упрочнение учитывается |
(посредством |
матрицы А) |
лишь в определении (38).
Вследствие аналогии и симметрии по отношению к крите рию, выведенному из теорем I и II, можно легко преобразо вать теоремы VII, VIII в достаточное и необходимое «кине матическое» условие для неприспособляемости, основанное на (46) и удовлетворяющее ограничению (16). Отметим, однако, различие в уровнях общности теорем VII и VIII по сравне нию с (16) в зависимости от наличия упрочнения и (или) геометрических эффектов.
Частные случаи. Если G = 0 и Н = 0 (но еще при нали чии переменных дислокаций Dt), теоремы VII и VIII сводятся
к рассмотренным |
в |
[И], |
а при континуальном подходе — в |
|
[12] *). При G = |
0, |
й = |
0 и |
= 0 они совпадают с теоре |
мами Койтера [10]. Если, кроме того, F и D постоянны, вторые |
||||
члены в левых частях (39) и |
(46) исчезают, и мы получаем |
кинематическую теорему предельного анализа.
ВЕРХНИЕ ОЦЕНКИ ДЛЯ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ, НАПРЯЖЕНИЙ И ПЛАСТИЧЕСКИХ ДЕФОРМАЦИЙ
Коэффициент запаса s, который был определен выше, ча сто дает неадекватную, а иногда лишенную смысла информа
*) Автор, по-видимому, незнаком с советскими работами в данной области. Дислокационные члены (в частности, тепловые деформации) были
включены в формулировку кинематической теоремы |
о приспособляемости |
||||
В. И. Розенблюмом (Журнал пр.икл. механ. |
и техи. |
физ., |
1965, вып. 5) |
||
и другим путем Д. А. Гохфельдом (Труды VI Всес. |
копф. |
по теории |
обо |
||
лочек и пластинок |
(Баку, 1966). — М.: Наука, |
1966) |
ранее, |
чем была |
опу |
бликована работа |
[12]. — Прим. перев. |
|
|
|
|
цию. Фактически, даже если приспособляемость должна про изойти (s > 1), развитие пластических деформаций может привести к одному из следующих последствий: а) чрезмерные перемещения сделают конструкцию неработоспособной или
(и) теорию ненадежной; б) напряжения превысят прочност ные характеристики хрупких элементов, которые может содер жать конструкция; в) будет исчерпана способность материала к деформированию; г) деформации превысят значения, при ко торых принятая идеализация поведения материала является обоснованной.
Методы, позволяющие контролировать эти ситуации, при обретают особое значение, когда учитываются упрочнение и геометрические эффекты: действительно, s = оо может быть в этом случае естественным и иногда очевидным результатом (см. теорему VI); но это скорее подчеркивает неадекватность приспособляемости критерию безопасности, чем лишает саму теорию практического значения. Представляется, что способы получения верхних оценок, рассматриваемые ниже, способны удовлетворить соответствующим требованиям и окажутся естественным, часто необходимым продолжением анализа, при котором определяется s.
Пусть Vs есть значение, принимаемое после приспособляе
мости скалярной величиной х, линейно зависящей от fa |
|
Va = aks. |
(49) |
Если х есть А-я компонента и? или Q?, то вектор а есть Л-я
строка матрицы S~lCEN (равенство (13а)) или матрицы ZN (равенство (14а)) соответственно. Если а образуется верх ними строками, модифицированными путем замены всех от рицательных элементов нулями, то, поскольку fa ^ 0, равен ство (49) дает верхнюю границу Vm по отношению к макси
мальному значению, достигнутому величиной tint или Qht в ин тервале 0 ^ ^ оо. Однако в большинстве практических слу
чаев для имеющих значение составляющих ир, Qh (например, прогиб посредине пролета) можно легко предвидеть, что вели чина Vs в условиях приспособляемости будет представлять максимум; в этих случаях проверка возможностей (а) и (б) может быть выполнена просто путем добавления к Vs легко вычисляемых максимумов соответствующих упругих «слагае
мых» max иму т а xQht без обращения к Vm.
/*
Если х есть составляющая fa, например fau то, очевидно, Vm= V s = fais- Величина, принимаемая fas при приспособ ляемости, может быть использована для проверки (в) и (г). Строгие критерии для (б), (в) и (г) включали бы нелинейную
функцию от к8. Однако, поскольку такие критерии представ ляются одновременно излишними для оценок, требуемых в большинстве случаев, и перекрываются более удобными обоб щениями, мы будем рассматривать ниже только общий метод получения верхних границ значений Vs на основе (49). По от ношению к этой задаче следующее утверждение является цен тральным.
IX. При выполнении |
(16), |
если s > |
1, |
предельной |
верх |
|
ней оценкой для |
Vs является оптимальное значение U(k*) за |
|||||
дачи выпуклого программирования |
|
|
|
|||
|
U (V) = |
max al. |
|
|
(50) |
|
при ограничениях |
|
|
|
|
|
|
М - А Х ^ К , |
|
|
|
(51) |
||
Х > 0 , |
|
|
|
|
(52) |
|
K |
k ^ s ( s - \ r ll/2l'A V , |
|
|
(53) |
||
2 |
L4X. |
х ( л г |
5 - 1 к ) |
< |
0, |
(54) |
где X* — некоторый вектор, такой, что |
|
|
|
|||
|
М - A r < /C s - ‘. |
|
|
(55) |
До к а з а т е л ь с т в о . Покажем вначале, что ограничения
(51)—(55) определяют в пространстве X область А ( к * ) у к ко торой принадлежит вектор ks действительных пластических множителей в условиях приспособляемости. Согласно (30) и (33), а может быть заменена 5 в неравенстве (24), которое тогда совпадает с (55). Кроме того, (27), вытекающее из (24),
выполняется при а = s, и при помощи (21) и некоторых пре образований дает ограничение (54). Отсюда, с учетом (21) и
(23), L0 ^ Loo ^ |
0, неравенство |
(27) |
при а = s сохраняет |
свое значение, если Loo ограничено, и |
тогда, вследствие (21), |
||
оно дает (53). Неравенства (51), |
(52) |
следуют из определяю |
|
щих законов (6), |
(7), (9) вследствие определений (29) для М |
и (16) для А. Область Л(Х*) является непустой, поскольку, если s > 1, по крайней мере возможный вектор к = ks ей при надлежит; ограниченной, поскольку уже (52) и (53) четко определяют ограниченную область; выпуклой, поскольку ле вая часть (54) представляет выпуклую функцию вследствие того, что (16) и все другие ограничения линейны. Так как це левая функция (50) линейна, предполагаемые ограниченность и выпуклость обоснованы (что и требовалось доказать)
Пусть Л' есть область, содержащая определенную выше ■область Л. Следующие способы определения верхних границ
U для Vs непосредственно вытекают из теоремы IX:
(i) U' |
= шах аХ |
при V, удовлетворяющем ограниче |
нию (55), |
и ^еЛ '(^* ). |
|
(и) Дуализация задачи (i), сформулированной для обла |
||
сти А'; в двойственной |
(минимизационной) задаче любое зна |
чение Ud целевой функции, допустимое для возможного век тора, есть верхняя граница для Vs (поскольку Ud^ U f).
(iii) Urm=m\n max ah при ограничении (55) и при 1 еА '(Г ). ь* л
Возможны различные комбинации предложенных проце дур, они отличаются между собой трудоемкостью вычислений и качеством получаемых результатов1). Получение наиболее строгой верхней границы, следующей из (iii) для Л' = А, обычно затруднительно. Метод, описанный ниже, может быть во многих случаях полезен.
Если нелинейное ограничение |
(54) |
следует из теоремы |
|||
IX, «смягченная» задача |
(i) |
представляет линейную |
задачу |
||
(50) — (53). Двойственная |
к |
ней задача |
формулируется сле |
||
дующим образом: |
|
|
|
|
|
min уХ ( К - М ) + Is (s - |
l)"1V2ГЛ Г |
(56)- |
|||
при ограничениях |
|
|
|
|
|
К1 — уAh > а, |
к > 0 , |
£ > 0, |
(57К |
где £ — новая переменная, у — произвольная положительная постоянная подходящей размерности для того, чтобы а и уАк.
стали однородными. В соответствии с (и) можно установить |
||
в общем следующее: |
|
|
X При выполнении (16) линейная форма (56) |
при любом |
|
АЛ удовлетворяющем (55), и произвольном у > |
0 |
дает (огра |
ниченную) верхнюю оценку для Vs при любых к, |
£, согласую |
щихся с линейными неравенствами (57).
Отыскание посредством (iii) наилучшей верхней границы в этой упрощенной постановке сводится к минимизации пра вой части (63) с АЛ ограниченным (55), т. е. к выпуклой ква дратичной задаче, аналогичной (32).
Соответствующая первичная задача, аналогичная (31), полностью эквивалентна поставленным целям и в вычисли тельном отношении более удобна.
J) Следует заметить, что если верхняя граница получена меньшей, чем допустимое критическое значение соответствующей величины, результатг может рассматриваться как положительный.
Частные случаи. При G = 0 и Н = 0 неравенства (53), (54) сводятся к ограничениям Койтера для полной пластиче ской работы [10]; формулировки (i), (iii) при Л7 = Л, исполь зуемые для ограничения компонент вектора Л*, совпадают с установленными Витиелло [13], который получил также об надеживающие числовые результаты. Представляется, что при s —> оо все изложенные выше выводы остаются неизмен ными.
ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
То, что сделано в этой работе, предназначено скорее в ка честве вклада в развитие теории приспособляемости, чем для совершенствования методов, доступных уже сейчас для реше ния частных задач. В заключение представляется уместным критическое рассмотрение достигнутых результатов.
а) Существенное значение изменений геометрии является очевидным во многих практических ситуациях, оно было вы яснено и изучалось ранее в [14]. Однако эти эффекты, насколь ко известно автору, игнорировались до сих пор в фундамен тальных теоремах о приспособляемости. Ограниченность под хода, с помощью которого они учитываются в представленной теории (как эффекты «второго порядка»), определяется ли нейностью уравнений совместности (1) и равновесия (2), в которых как матрица совместности С, так и матрица жест кости G предполагаются постоянными. Фактически геометри ческие эффекты учитываются только благодаря наличию «гео
метрического члена» G(Q)ut в уравнении равновесия (1). Это достаточно верно в общем для инкрементальных процессов, начинающихся с какой-то конфигурации при нагружении, к ко торой относятся С и G. Балки, подверженные постоянным осе вым и переменным поперечным нагрузкам, несомненно, допу скают указанный подход (в диапазоне прогибов, для которых использование геометрии недеформированного состояния было бы законным при отсутствии осевых сил).
Аналогичное различие между постоянными напряжениями
Q, для которых значение геометрического члена в уравнениях равновесия считается существенным, и переменными напряже ниями Qt, для которых оно полагается несущественным, мо жет быть принято для тонкостенных конструкций различного типа; иногда может быть допущено приближенное вычисление
Q (например, для высоких рам, подверженных ветровым и большим весовым нагрузкам). Очевидно, что такая дифферен циация является произвольной, и ее точность во многих слу чаях неясна. Поэтому при наличии значительных геометриче ских эффектов данная теория «второго порядка» должна ис
пользоваться с осторожностью, и присущие ей ограничения следует иметь в виду.
б) Кусочно-линейная аппроксимация поверхностей текуче сти является общепринятым приемом в прикладной пластич ности. Описание действительного поведения материала при деформационном упрочнении посредством переносно-взаимо- действующих плоскостей текучести еще не получило сравни тельной оценки на основании вычислительного опыта, но оно представляется наиболее естественным развитием ранее ис пользовавшихся аппроксимаций, в равной степени гибким и практически удобным.
в) Использование векторно-матричной аналитической фор мы записи обеспечивает компактность и простоту при предва рительном изучении и естественным образом устанавливает четкие связи между теорией и эффективным аппаратом мате матического программирования, предназначенным для ее при ложений. Рассмотренные дискретные модели конструкций включают, кроме некоторых элементарных конструкций стерж невого типа, сплошную среду с дискретизацией конечными элементами с постоянной деформацией. Данный тип дискре тизации, очевидно, не всегда удобен в вычислительном отно шении (это, конечно, относится к пластинкам и оболочкам), но особенно хорошо сочетает в себе общность и простоту; бо лее того, его сходимость при описании континуума имеет ин туитивное и вычислительное [3, 4], а также недавно получен ное теоретическое [15] обоснование.
Использование более современных конечноэлементных мо делей, в частности подходящих для пластин и оболочек, здесь не обсуждается; эта задача заслуживает дальнейшего изу чения. Модели с «сосредоточенными податливостями», уже успешно используемые в упругопластическом анализе пласти нок [16], представляются особенно перспективными для непо средственного приложения полученных в данной работе ре зультатов.
г) В расширенной теории, в отличие от классической, ос новное значение имеют два элемента: распределение пласти ческих множителей (X) и оператор (Z), преобразующий пла стические деформации в соответствующие напряжения. По следний намного проще реализуется для дискретизированной конструкции, чем при тензорном описании среды, где он при нимает форму, которая обсуждалась в [17].
Размерность первого вектора X может быть уменьшена при численном решении прикладных задач (в частности, при вы числении верхних границ [13]) путем пренебрежения теми ре жимами течения, которые предположительно (априори) нереализуются в процессе нагружения конструкции.
ОБОЗНАЧЕНИЯ
Матрицы и векторы-столбцы изображаются полужирным шрифтом; 0 — матрица или вектор, в которых все элементы равны нулю; тильда ~ означает транспонирование; точка — производную по времени; s — коэффициент запаса; е — при надлежность к некоторой области. Под нагрузками понимают ся внешние силы и дислокации (например, тепловые деформа ции).
Индекс t внизу означает зависимость от текущего времени, индексами е и р сверху отмечены величины, являющиеся ре зультатом упругого деформирования при приложении нагру зок или вследствие наложенных пластических деформаций со ответственно.
F, и суть я-мерные векторы от всех компонент внешних сил и перемещений соответственно, приложенных в свободных уз лах.
q, е, р, D, Q суть m-мерные векторы от всех компонент соответственно: общей, упругой, пластической обобщенных деформаций: дислокаций; обобщенных напряжений. Они рас членены на подвекторы, каждый из которых относится к соот ветствующему конечному элементу, согласно установленной последовательности.
К Ф* К суть (/-мерные векторы пластических множителей, пластических потенциалов (предполагаемых линейными) и по ложительных постоянных соответственно для всех (у) режи мов течения в конструкции, с подразделением по элементам в том же порядке.
G — геометрическая матрица упругой жесткости конструк
ции размера п у п- |
размера |
|
£, = |
diag £ / — диагональная блочная матрица |
|
т У т, |
i-й блок Е‘ которой является естественной |
матрицей |
упругой жесткости конечного элемента i (индекс i пробегает в установленном порядке номера всех элементов).
# = |
diagWz— диагональная блочная |
матрица |
размера |
шХ у , |
где № — матрица, содержащая в |
качестве |
столбцов |
внешние нормальные векторы к плоскостям текучести в про странстве напряжений i-го конечного элемента.
Н = diag W — диагональная блочная матрица размера У У, У где Я' — матрица коэффициентов упрочнения, которые управляют перемещениями плоскостей текучести i-го элемента в соответствии с происходящим пластическим течением.
Z — матрица размера т у т , преобразующая векторы дислокаций в соответствующие векторы напряжений.
Определение других обозначений дано там, где они исполь зуются впервые.