книги / Проблемы теории пластичности и ползучести

поля действительных перемещений, для которых нужно найти оценку, второе соответствует уровню нагружения в заданном интервале времени. Результаты применимы при обычных до­ пущениях об идеальной пластичности и малости деформаций.

При тех же допущениях в недавней работе Понтера [7] предлагается совершенно другой принцип, согласно которому оценка полного перемещения в точке представляется в виде суммы упругого перемещения и дополнительного перемещения, определяемого по остаточному напряженному состоянию. По­ следнее, как и упругие перемещения, связано с программой на­ гружения, которая включает как фиктивные условия нагруже­ ния, так и действительный уровень нагружения. Таким обра­ зом, результаты Понтера совершенно отличны, и их трудно сопоставить с полученными в данной работе. Однако можно заметить, что с практической точки зрения оба принципа дают, по-видимому, сходные ответы в отношении приближенных оценок.

Может также представить интерес проведение численного сопоставления результатов данной работы с теми, которые мо­ гут быть получены при использовании альтернативных форму­ лировок, предложенных Витиелло [5] и Майером [6] в рамках дискретных моделей кусочно-линейных упругопластических конструкций. Аналогично работе [6], было бы интересно рас­ пространить полученные результаты на упрочняющиеся мате­ риалы и геометрические эффекты, которые могут иметь суще­ ственное значение в данной области.

Б Л А Г О Д А Р Н О С Т И

Данная работа была выполнена при финансовой поддерж­ ке CNR.

4. Maier G. A matrix structural theory of piecewise linear elasto-plasticity

5. Vitiello Е. Upper bounds to plastic strains in shakedown of structures subjected to cuclic loads — Meccanica, 7 (3) (1972), 205.

6 . Maier G. A shakedown matrix theory allowing for workhardening and

7. Ponter A. R. S. An upper bound on the small displacements of elastic,

МАТРИЧНАЯ ТЕОРИЯ ПРИСПОСОБЛЯЕМОСТИ, УЧИТЫВАЮЩАЯ УПРОЧНЕНИЕ И ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЭФФЕКТЫ ВТОРОГО ПОРЯДКА')

Дж. Майер

На основе конечиоэлементной модели в предположении кусочно-ли­ нейных поверхностей текучести и упрочнения дается матричное описание упругопластической системы. Рассматривается ее квазистатическое поведе­ ние при воздействии повторно-переменных нагрузок и дислокаций. Изуче­

но их влияние может быть выражено с помощью билинейных членов, со­ держащих исходные напряжения и дополнительные смещения. Установ­ ленная система положений предназначается в качестве основы для при­ кладной теории, характеризующейся высокой степенью общности. Она включает дальнейшее развитие статической (Мелап) и кинематической (Коцтер) теорем о приспособляемости, а также методы для ограничения сверху величин перемещений, напряжений и пластических деформаций в условиях приспособляемости.

ВВЕДЕНИЕ

Наблюдаемое оживление интереса к поведению упругопла­ стических конструкций при повторно-переменном нагружении объясняется, по-видимому, главным образом лучшей осведом­ ленностью относительно существенно небезопасной неточности предельного анализа во многих соответствующих условиях (см., например, [1]), с одной стороны, и расширением возмож­ ностей численного решения задач при использовании матрич­ ных методов и ЭВМ — с другой. В данной статье дискретные модели конструкций используются прежде всего для получе­ ния удобных компактных формулировок, не приводящих к по­ тере общности. Дискретизация сочетается с соответствующим определением пластических свойств элемента, описание кото­ рых в форме переносно-взаимодействующих плоскостей теку­ чести представляется достаточно гибким для приближения с необходимой точностью к большинству предложенных до на­ стоящего времени законов упрочнения [2].

На этой основе в предложенной теории удается учесть эво­ люцию поверхностей текучести и в ограниченной степени влия­ ние деформаций на условия равновесия. Вышеупомянутая кусочно-линейная аппроксимация первых и использование ли­ неаризованных уравнений равновесия (эффекты «второго по­ рядка») для учета влияния последних представляются гипо­ тезами, которые, несмотря на свою ограниченность, не лишают достигнутые результаты прикладного значения. Естественно, что теоретический коэффициент запаса s (по разрушению вследствие неограниченного пластического течения) во многих случаях может оказываться бесконечным вследствие упрочне­ ния или стабилизирующих геометрических эффектов. Следова­ тельно, реалистическая оценка безопасности должна основы­ ваться (как это часто делается при конечных значениях s и в классической постановке) на определении в условиях при­ способляемости тех значений (или хотя бы порядка величин), которые принимают локальные характеристики — прежде все­ го наиболее существенные перемещения и пластические де­ формации в определяющих областях объекта. Однако эти зна­ чения зависят от истории нагружения, которая, как правило, неизвестна, за исключением лишь интервалов изменения на­ грузок. Поэтому обращение к оценкам «сверху» представляет­ ся важным и часто неизбежным. В данной работе приведены некоторые процедуры получения верхних оценок, но их прак­ тическая ценность и относительные достоинства должны еще быть определены из опыта вычислений. Эта задача, как и дальнейшее развитие теории, подлежит рассмотрению в буду­ щем. Связь с предшествовавшими трудами отмечается в тек­ сте чаще всего тогда, когда из полученных новых результатов определяются частные случаи.

ДИСКРЕТНЫЕ МОДЕЛИ И ОСНОВНЫЕ СООТНОШЕНИЯ

Дискретизация, принятая здесь для конструкций и сплош­ ной среды, характеризуется непрерывными кусочно-линейны­ ми полями перемещений, определяемыми я-мерным вектором перемещений «свободных узлов», в которых, согласно предпо­ ложению, приложены все внешние силы. Другие узлы зафик­ сированы при помощи связей. В качестве основных примеров предполагаются конечноэлементные модели с однородным по­ лем деформаций в каждом элементе, предназначенные для решения трех- и двумерных задач (элементы в виде тетраэдра или треугольника соответственно), а также фермы и модели

с«сосредоточенными податливостями», используемые для рам [3, 4]. Рассмотрим_состояние 2 при внешних воздействиях F, D

снапряжениями Q и деформациями q — е (упругими, соглас-

но удобному, но несущественному допущению). Значения ut, qt, Qt при некотором дальнейшем нагружении воздействиями

Ft, Dt в окрестности состояния 2 (т. е. с учетом геометриче­ ских эффектов только второго порядка) определяются, со­ гласно предположению, линеаризованными уравнениями сов­ местности и равновесия

Матрица С зависит только от геометрии тела в состоянии 2; геометрическая матрица жесткости G (симметрическая) за­

висит, кроме того, линейно от Q, как это указано в (2), но не зависит от Qt и tit.

Упругопластические соотношения между обобщенными специфическими («естественными»1)) напряжениями Qt и де­ формациями qt при условии кусочно-линейной аппроксимации поверхностей текучести и упрочнения [2] записываются одно­ временно для всех элементов в следующем виде (см. обозна­ чения):

*) «Естественные» обобщенные деформации q и напряжения Q [4] являются специфическими величинами, не связанными с движениями тела как жесткого целого и уравновешенными соответственно. Чтобы проиллю­ стрировать их смысл, рассмотрим i-й тетраэдрический конечный элемент трехмерной дискретной модели. Пусть V1— его объем, о 1 и е‘ — векторы

шести независимых «действительных» компонент напряжений и деформа­

ций (постоянная в У‘, г 1 определена так, что &ъ1У1 представляет работу внутренних сил, совершенную в элементе).

Компоненты вектора ql могут рассматриваться как удлинения ребер

где Т1— неособенная матрица, легко определяемая в соответствии с коор­ динатами вершин. Данные соотношения определяют, каким образом свой­ ства материала в совмещенных пространствах о1 и е* трансформируются в свойства конечного элемента в совмещенных пространствах Q1 и ql этого элемента и обратно.

Дислокации Dt в соотношении (3) включают тепловые и дру­ гие наложенные деформации, с которыми могут быть также объединены при использовании простого приема возможные накладываемые краевые смещения. В (4) матрица Е предпо­ лагается симметрической, положительно определенной; (5) от­ ражает свойство нормальности для пластических деформаций;

в (6) вектор К включает напряжения Q в состоянии 2: К =

= —NQ + К > 0, где К — начальные пластические постоян­ ные. Матрица Н определяет закон упрочнения, т. е. перенос и взаимодействие плоскостей текучести каждого элемента при пластическом течении (например, Н = 0 соответствует отсут­

ствию упрочнения, т. е. идеальной пластичности; H =hNN при Л > 0 — закону кинематического упрочнения Прагера [2]). Штрих в (8) означает, что в неравенстве подразумеваются только возможные («потенциально активные») режимы тече­ ния в момент времени t, т. е. те, пластические потенциалы ко­ торых в (7) равны нулю. Уравнения (10) и (И) выполняются также покомпонентно, т. е. независимо для каждого режима течения.

В рамках рассмотренных выше допущений и матричного описания процесса деформирования данными о нагрузках яв­ ляются границы, внутри которых каждая из составляющих векторов Ft, Dt изменяется (медленно) во времени в соответ­ ствии с неизвестным законом. Приспособляемость означает, что предел

f-*оо

ограничен.

ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ

а. Чисто упругие перемещения и соответствующие им на­ пряжения могут быть выражены при помощи уравнений (1) —

(3) следующим образом:

Qt =ECS~'Ft + ZDt, где Z = ECS~lCE — E. (14)

Предполагается, что определитель det S Ф 0, т. е. равновесие

не является безразличным в начальном состоянии 2. Если Dt заменить на р/, вторые члены правых частей уравнений (13),

б. При помощи (1) и (2) легко показать, что уравнение

можно записать для произвольного набора совместных (отме­ ченных звездочкой) величин и для (не отмеченных звездоч­ кой) величин, принадлежащих действительному статическому процессу нагружения, без необходимости установления при­ чинной связи между ними. При G = 0 уравнение (15) стано­ вится обычным уравнением виртуальных работ.

в. Поскольку следующее аналитическое условие играет ключевую роль в дальнейшем изложении:

остановимся на его механическом смысле.

Симметрия А определяет симметрию Я, и это исключает некоторые законы упрочнения [2]. Пусть штрих относится только к тем плоскостям текучести, которые в определенный момент времени являются потенциально активными, т. е. со­ держат точку, отображающую текущие значения компонент напряжений. Тогда при любом Я для произвольных скоростей

Первое равенство основывается на теореме IV, данной в [5], третье — на соотношении (13), второе — на двух уравне­ ниях типа (15):

Поскольку А' является главным_минором Л, равенства (17)

показывают, что, если состояние 2 является устойчивым (S — положительно определено), условие (16) гарантирует общую

устойчивость (Ри > 0 при любом F), какое бы сочетание ре­ жимов течения ни стало активным. Однако в общем (16) не является ни необходимым, ни достаточным условием для ус­ тойчивости.

СТАТИЧЕСКИЕ ТЕОРЕМЫ ПРИСПОСОБЛЯЕМОСТИ

I. При выполнении условия (16) приспособляемость имеет место, если существует вектор V, такой, что

Д о к а з а т е л ь с т в о . Для (не отмеченных звездочкой) значений, относящихся к действительному изменяющемуся со­

Рассмотрим функцию Lt (подобную функции Ляпунова из ди­ намики) и ее производную по времени Lt:

В (22) используется симметрия А и выражения (14а). При помощи (19), (20), (9) и (10) получим

к которому X/ стремится, обязательно ограничено (что и тре­ бовалось доказать).

II. Приспособляемость невозможна, если не существует к*, такое, что

Д о к а з а т е л ь с т в о . Поскольку ks определяет действи­ тельные пластические деформации, неравенство (28) должно удовлетворяться в соответствии с (6), (7) при k* = ks для всех значений (, следующих за приспособляемостью (в неог­ раниченном временном интервале, в котором нагрузки прини­ мают любые значения в заданных пределах); следовательно, оно будет выполняться также при t ^ 0 (что и требовалось доказать).

III. При выполнении (16), если существует какой-либо вектор Х,\ согласующийся с (28), должно существовать также значение к* ^ 0, удовлетворяющее (28).

Д о к а з а т е л ь с т в о . Рассмотрим максимальную проек­ цию вектора «упругих» напряжений i-го элемента QV на век­

Рассмотрим задачи выпуклого квадратичного программиро­ вания:

Задача (32) получена из (31) путем формальной дуализации, исходя из условия (16) [6, 7]. Если некоторое значение к* удо­ влетворяет (28), ограничения (32) определяют непустую об­ ласть. Поэтому, поскольку ее целевая функция является ква­ дратичной и ограниченной снизу, задача (32) имеет решение, откуда следует также разрешимость первичной задачи (31) [7]. Любое значение V ^ 0, являющееся решением (31), так­ же удовлетворяет дуальному условию (32) [7] и, следователь­ но, условиям (30) и (28) (что и требовалось доказать).

Замечания. В отличие от I, положение II не связано с ограничением (16). Применяя теорему III и соответствующее обоснование [8], при котором в (19) вместо К используется

приращение 6К > 0, очевидно, возможно объединить тео­ ремы I и II и установить в терминах механики следующее до­ статочное и необходимое условие приспособляемости, которое обобщает классический критерий.

При условии (16) приспособляемость имеет место тогда и только тогда, когда существует распределение пластических деформаций, такое, что, если бы оно возникло при t = 0 (с соответствующими изменениями напряжений, конфигурации объекта и поверхностей текучести), в течение всей истории нагружения не происходило бы дополнительного пластиче­ ского течения.

Частные случаи. При G = 0 (геометрические эффекты от­ сутствуют) приведенная формулировка совпадает с ранее дан­ ной автором в [2]. При G — 0 и Н = 0 ограничение (16) вы­ полняется всегда; вместо X* в качестве «определяющих пере­ менных» могут использоваться собственные (или суммарные) напряжения; теорема III становится несущественной; теоремы I и II сводятся к предложенному Прагером развитию (учет

дислокаций) теоремы Мелана — Блейха [9, 10]. Если Q$ = Qe постоянно и, кроме того (что существенно), G = 0 и Н = 0, кинематические параметры (включая D) и упругие характе­ ристики становятся несущественными, и теоремы I, II сво­ дятся к статической теореме предельного анализа.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТА ЗАПАСА

Пусть ft ^ 0 является общим множителем для нагрузок Ft, Dt. «Коэффициент запаса» есть некоторое значение s, та­

IV. При выполнении (16) s есть оптимальное значение ка­ ждой из следующих задач линейного программирования:

где р — произвольная положительная постоянная, имеющая размерность такую же, как произведение (обобщенных) на­ пряжений и деформаций.