книги / Механика сплошных сред (теоретические основы обработки давлением композитных материалов с задачами и решениями, примерами и упражнениями)
..pdfФедеральное агенство по образованию РФ Московский государственный институт стали и сплавов (технологический университет)
Б. В. КУЧЕРЯЕВ
МЕХАНИКА СПЛОШНЫХ СРЕД
(теоретические основы обработки давлением композитных металлов с задачами и решениями, примерами и упражнениями)
Издание второе, дополненное
Допущено Министерством образования и науки Россий ской Федерации в качестве учебника для студентов выс ших учебных заведений, обучающихся по направлению «Металлургия» и специальности «Обработка металлов давлением»
МОСКВА hМИСИСh
2006
1
Издано при финансовой поддержке Федерального Агентства по печати и массовым коммуникациям в рамках Федеральной целевой программы «Культура России»
Рецензенты: кафедра «Материаловедение, качество и сервис металлургических и машиностроительных технологий» Магнитогорской горно-металлургической академии им. Г. И. Носова; проф., докт. техн. наук Н. Д. Лукашкин
УДК 621.771.001 (075.8) ББК 22.25
К88
К88 Кучеряев Б. В. Механика сплошных сред (теоретические основы обработки давлением композитных металлов с задачами и решениями, примерами и упражнениями): Учебник для вузов. – М.: hМИСИСh, 2006. – 604 с.
ISBN 5987623915393
Изложены основы теории пластичности композитных металлов (КМ) и ее приложение для моделирования процессов обработки давлением КМ. На современном научном уровне показаны возможности расчетных и экспериментальных методов механики деформируемого твердого тела, эффективность их сочетания для решения инженерных задач о движении КМ.
Учебник снабжен упражнениями, задачами с решениями, методическими указаниями и контрольными вопросами, облегчающими самостоятельную работу читателя. В нем размещены типовые примеры домашних заданий и контрольных работ.
Учебник предназначен для студентов металлургических, машиностроительных и политехнических вузов, обучающихся по специальности «Обработка металлов давлением». Он может быть полезен специалистам смежных областей науки и техники, а также преподавателям, аспирантам, инженерно-техническим и научным работникам металлургических заводов, на- учно-исследовательских и проектно-конструкторских институтов. Ил. 117. Табл. 15. Библиогр. список: 32 назв.
УДК 621.771.001 (075.8) ББК 22.25
ISBN 5987623915393 |
© Кучеряев Б. В., 2006 |
|
© МИСиС, 2006 |
2
Содержание |
|
ПРЕДИСЛОВИЕ .................................................................................................................................. |
7 |
СПИСОК ПРИНЯТЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ И СОКРАЩЕНИЙ ........................................................................ |
10 |
1. МЕХАНИКА СПЛОШНЫХ КОМПОЗИТНЫХ СРЕД ........................................... |
16 |
1.1. ФОРМАЛИЗАЦИЯ ПОНЯТИЙ ......................................................................... |
16 |
1.1.1. Идеализация форм существования материи ..................................................................... |
16 |
1.1.2. Топология сплошных сред ............................................................................................... |
17 |
1.1.3. Классификация композитных сред ................................................................................... |
19 |
1.1.4. Понятие о математической постановке и решении краевых задач ...................................... |
21 |
Контрольные вопросы ............................................................................................................................ |
23 |
1.2. КИНЕМАТИКА ........................................................................................... |
24 |
1.2.1. Основные понятия и определения .................................................................................... |
24 |
Задачи к пп. 1.2.1 .................................................................................................................... |
29 |
1.2.2. Описание движения в лагранжевых координатах ............................................................... |
31 |
Задачи к пп. 1.2.2 .................................................................................................................... |
36 |
1.2.3. Описание движения в эйлеровых координатах .................................................................. |
41 |
Задачи к пп. 1.2.3 .................................................................................................................... |
47 |
1.2.4. Теория малых деформаций .............................................................................................. |
52 |
Задачи к пп. 1.2.4 .................................................................................................................... |
57 |
1.2.5. Условие совместности деформаций ................................................................................. |
62 |
1.2.6. Поле скоростей .............................................................................................................. |
63 |
Задачи к пп. 1.2.6 .................................................................................................................... |
75 |
1.2.7. Тензор скоростей деформаций ........................................................................................ |
85 |
Задачи к пп. 1.2.7 .................................................................................................................... |
92 |
1.2.8. Кинематические граничные условия ............................................................................... |
103 |
Задачи к пп. 1.2.8 .................................................................................................................. |
105 |
1.2.9. Кинематика сплошных композитных сред ....................................................................... |
108 |
1.2.10. Двухмерное стационарное течение двухслойной среды ................................................. |
109 |
1.2.11. Двухмерное стационарное течение многослойной среды ............................................... |
118 |
1.2.12. Объемное стационарное течение слоистых композитов ................................................. |
120 |
1.2.13. Кинематика сплошных сред с включениями .................................................................. |
124 |
Контрольные вопросы .......................................................................................................................... |
127 |
Типовые варианты домашнего задания (ДЗ) № 2 по разделу МСС «Кинематика» ...................................... |
128 |
Типовые варианты контрольной работы № 2 по разделу МСС «Кинематика» ............................................ |
133 |
1.3. СТАТИКА ............................................................................................... |
147 |
1.3.1. Механическое силовое воздействие .............................................................................. |
147 |
1.3.2. Формула О. Коши ......................................................................................................... |
149 |
3
1.3.3. Тензор напряжений ....................................................................................................... |
152 |
Задачи к пп. 1.3.3 .................................................................................................................. |
155 |
1.3.4. Напряжения на характерных площадках в главных координатах тензора напряжений ......... |
163 |
Задачи к пп. 1.3.4 .................................................................................................................. |
168 |
1.3.5. Статические граничные условия .................................................................................... |
171 |
Задачи к пп. 1.3.5 .................................................................................................................. |
172 |
1.3.6. Статика сплошных композитных сред ............................................................................. |
174 |
Контрольные вопросы .......................................................................................................................... |
175 |
Типовые варианты домашнего задания (ДЗ) № 3 по разделу МСС «Статика» ............................................ |
176 |
1.4. ДИНАМИКА ............................................................................................ |
181 |
1.4.1. Уравнение неразрывности ............................................................................................. |
181 |
Задачи к пп. 1.4.1 .................................................................................................................. |
183 |
1.4.2. Уравнение движения ..................................................................................................... |
185 |
Задачи к пп. 1.4.2 .................................................................................................................. |
188 |
1.4.3. Симметрия тензора напряжений .................................................................................... |
191 |
1.4.4. Баланс мощности (работы) ............................................................................................ |
193 |
Задачи к пп. 1.4.4 .................................................................................................................. |
199 |
1.4.5. Уравнение теплопроводности ........................................................................................ |
201 |
Контрольные вопросы ........................................................................................................................... |
205 |
1.5. РЕОЛОГИЯ КОМПОЗИТНЫХ СРЕД ................................................................ |
207 |
1.5.1. Свойства идеальных кристаллов и реальных металлов ..................................................... |
207 |
1.5.2. Определяющие уравнения ............................................................................................. |
218 |
1.5.3. Математическая постановка краевых задач .................................................................... |
221 |
Задачи к пп. 1.5.3 ................................................................................................................... |
229 |
1.5.4. Кинематическая постановка задач ................................................................................... |
239 |
1.5.5. Статическая постановка задач ........................................................................................ |
243 |
1.5.6. Диаграммы механических испытаний металлов ............................................................... |
245 |
Задачи к пп. 1.5.6 ................................................................................................................... |
258 |
1.5.7. Модели пластичных сред ............................................................................................... |
263 |
1.5.8. Пластическая деформация анизотропных сред ................................................................ |
265 |
1.5.9. Оценка эффективных свойств сплошных композитных сред .............................................. |
273 |
Контрольные вопросы ........................................................................................................................... |
286 |
Типовые варианты контрольной работы № 3 по разделам МСС «Статика» и «Динамика» ............................ |
287 |
2. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ МЕХАНИКИ СПЛОШНЫХ СРЕД ........................... |
308 |
2.1. ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ МЕХАНИКИ СПЛОШНЫХ СРЕД .............................. |
308 |
2.1.1. Принцип Ж. Лагранжа .................................................................................................... |
308 |
2.1.2. Принцип А. Кастилиано ................................................................................................. |
314 |
2.1.3. Принцип минимума мощности внутренних сил ................................................................ |
319 |
2.1.4. Изопериметрическая постановка вариационных задач ..................................................... |
321 |
Контрольные вопросы ........................................................................................................................... |
324 |
2.2. ДВИЖЕНИЕ ИДЕАЛЬНЫХ ЖЕСТКОПЛАСТИЧНЫХ СРЕД ...................................... |
326 |
2.2.1. Метод тонких сечений .................................................................................................... |
326 |
2.2.2. Метод линий скольжения ............................................................................................... |
329 |
2.2.3. Метод разрывных полей скоростей ................................................................................ |
341 |
Контрольные вопросы ........................................................................................................................... |
348 |
4
2.3. МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ НЕПРЕРЫВНЫХ КВ%ПОЛЕЙ СКОРОСТЕЙ ......................... |
349 |
2.3.1. Склейка разрывных полей скоростей .............................................................................. |
349 |
2.3.2. Интеграл К. Шварца–Э. Кристоффеля ............................................................................ |
351 |
2.3.3. Суперпозиция гармонических течений ............................................................................. |
354 |
Контрольные вопросы .......................................................................................................................... |
361 |
3. МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ ОМД МЕТОДАМИ МСС ............................... |
363 |
3.1. Применение разрывных КВ%полей скоростей ................................................. |
363 |
3.1.1. Принципы построения полей скоростей .......................................................................... |
363 |
3.1.2. Оценка технологических параметров процесса прокатки .................................................. |
368 |
3.1.3. Оценка технологических параметров процессов прессования и волочения |
|
круглых прутков ...................................................................................................................... |
379 |
3.1.4. Оценка технологических параметров при РКУП ............................................................... |
391 |
3.2. Применение непрерывных КВ%полей скоростей .............................................. |
394 |
3.2.1. Применение методов ТФКП ............................................................................................ |
394 |
3.2.2. Моделирование процесса РКУП ...................................................................................... |
409 |
3.2.3. Моделирование процесса листовой прокатки .................................................................. |
415 |
3.2.4. Моделирование процессов сортовой прокатки ................................................................. |
425 |
3.3. Пластическая деформация композитов ......................................................... |
432 |
3.3.1. Сжатие бинарного пакета ............................................................................................... |
432 |
3.3.2. Прокатка многослойных заготовок .................................................................................. |
433 |
ПРИЛОЖЕНИЕ (МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МЕХАНИКИ СПЛОШНЫХ СРЕД) ....... |
442 |
П1. ЭЛЕМЕНТЫ МАТРИЧНОГО И ТЕНЗОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЙ .......................... |
442 |
П1.1. Тензоры в декартовых координатах ........................................................... |
442 |
П1.2. Задачи по матричному исчислению ........................................................... |
449 |
П1.2.1. Сложение, вычитание и умножение матриц ................................................................... |
449 |
П1.2.2. Транспонирование, симметрирование и альтернирование .............................................. |
452 |
П1.2.3. Диагонализация матрицы ............................................................................................. |
454 |
П1.3. Действия над тензорами различного ранга .................................................. |
455 |
П1.4. Инварианты тензоров ............................................................................. |
461 |
П1.5. Задачи по тензорному исчислению ............................................................ |
464 |
П1.5.1. Ортонормированный векторный базис .......................................................................... |
464 |
П1.5.2. Действия над тензорами .............................................................................................. |
468 |
П1.6. Физические и геометрические аналоги тензоров .......................................... |
482 |
П1.7. Методы анализа тензорных полей ............................................................. |
484 |
П1.8. Задачи по анализу тензорных полей .......................................................... |
489 |
П1.8.1. Дифференциальные операции над тензорными полями ................................................. |
489 |
П1.8.2. Дифференцирование тензорных полей по времени ........................................................ |
497 |
Типовые варианты домашнего задания (ДЗ) № 1 по разделу МСС «Тензорное исчисление и анализ |
|
тензорных полей» ................................................................................................................................. |
498 |
5
П1.9. Основные интегральные зависимости ........................................................ |
512 |
Контрольные вопросы .......................................................................................................................... |
515 |
Типовые варианты контрольной работы № 1 по разделу МСС «Тензорное исчисление и |
|
анализ тензорных полей» ..................................................................................................................... |
516 |
П2. ОСНОВЫ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ ............................................. |
532 |
П2.1. Элементы функционального анализа ......................................................... |
532 |
П2.2. Некоторые сведения из вариационного исчисления ....................................... |
538 |
П2.3. Примеры реализации вариационных задач .................................................. |
540 |
П2.4. Проекционные методы ............................................................................ |
555 |
Контрольные вопросы ........................................................................................................................... |
558 |
П3. МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ КООРДИНАТНЫХ ФУНКЦИЙ ................................. |
559 |
П3.1. Глобальная аппроксимация с учетом граничных условий ................................. |
559 |
П3.1.1. Метод М. М. ФилоненкоMБородича ............................................................................... |
559 |
П3.1.2. Метод В. Л. Рвачева .................................................................................................... |
560 |
П3.1.3. Метод конформных отображений ................................................................................ |
561 |
П3.1.4. Метод интеграла К. Шварца–Э. Кристоффеля ............................................................... |
568 |
П3.1.5. Метод суперпозиции гармонических течений ................................................................ |
572 |
П3.2. Склейка локальных аппроксимаций ............................................................ |
576 |
Контрольные вопросы ........................................................................................................................... |
584 |
Рекомендательный библиографический список ...................................................................................... |
586 |
Предметный указатель .......................................................................................................................... |
588 |
Именной указатель ............................................................................................................................... |
599 |
6
Моим учителям:
по жизни
дорогому папе КУЧЕРЯЕВУ ВИКТОРУ НИКОЛАЕВИЧУ;
в науке
КЛЯЩИЦКОЙ ЕВГЕНИИ АЛЕКСАНДРОВНЕ, СЕГАЛУ БЕНИЦИОНУ ИЗРАИЛЕВИЧУ, ГУНУ ГЕННАДИЮ ЯКОВЛЕВИЧУ
посвящается
ПРЕДИСЛОВИЕ
Учебник предназначен для студентов технических вузов, специализирующихся в области обработки композитных металлов давлением. Потребность различных отраслей народного хозяйства в композитных металлах постоянно увеличивается, и этим объясняется необходимость подготовки инженерных кадров, получающих в процессе обучения специальные знания, необходимые для проектирования технологии производства изделий в цехах по обработке таких металлов давлением.
В широком смысле под термином «композитный материал» можно понимать любой материал со значимой в рассматриваемых условиях неоднородностью свойств. В учебнике этот термин представлен в более узком смысле, означающем материал, получаемый в общем случае совместной пластической деформацией разнородных металлов. Специфика свойств композитных металлов, особенности совместной пластической деформации разнородных металлов требуют сделать акцент на определенных подразделах 1-й главы «Механика сплошных композитных сред», связанных со спецификой описания движения неоднородных тел. Естественно, что однородные тела можно рассматривать как частные варианты неоднородных тел с малозначимой в определенных условиях неоднородностью свойств последних. Поэтому при упрощении, а в ряде случаев и при сокращении некоторых специальных подразделов, относящихся к особенностям описания движения композитных металлов, учебник может быть использован студентами, специализирующимися в области обработки однородных металлов давлением.
При изложении материала учебника автор придерживался концепции о дуальности окружающего нас мира: информация как форма существования материи, так же как и материя, никогда не возникает и никогда не исчезает, а лишь преобразовывается из одного вида в другой. Вечное существование материального мира можно рассматривать как результат постоянного обмена информацией
7
ПРЕДИСЛОВИЕ
одних его частей с другими внутри этого мира в самом широком смысле этого слова (механическом, тепловом, химическом, электромагнитном и др.).
Описание движения композитных металлов рассмотрено с позиции механики деформируемого твердого тела (МДТТ) с использованием гипотезы сплошной среды, что позволяет в структурном построении учебника в основном сохранить порядок представления его содержания, присущий традиционному изложению курсов «Механика сплошных сред» (МСС), «Механика деформируемого твердого тела», «Теория пластичности» (ТП).
Учебник состоит из трех разделов. В первом излагается механика сплошных композитных сред, во втором приведены основные методы МСС для решения задач теории пластичности, которые использованы в третьем разделе, посвященном моделированию процессов обработки металлов давлением (ОМД). В учебник не включены разделы, связанные с вопросами разрушения, вязкости и ползучести деформируемых металлов. В достаточном для специалистов в области ОМД объеме этот материал изложен в книгах Г. Я. Гуна «Теоретические основы обработки металлов давлением», В. Л. Колмогорова «Механика обработки металлов давлением», Г. Э. Аркулиса и В. Г. Дорогобида «Теория пластичности», Н. Н. Малинина «Прикладная теория пластичности и ползучести», А. А. Богатова, О. И. Мижирицкого и С. В. Смирнова «Ресурс пластичности при обработке давлением», которые наряду с настоящим учебником должны быть включены в список основной литературы учебных программ. С начальными сведениями по технологии ОМД, в том числе по обработке давлением композитных металлов можно ознакомиться в учебнике В. К. Бабича, Н. Д. Лукашкина, А. С. Морозова и др. «Основы металлургического производства».
Используемый математический аппарат преимущественно в информативном виде приведен в Приложении, ссылка на которое в тексте учебника позволила отказаться от многократного описания большого количества стандартных процедур и избавить его объем от рутинных нагромождений. Все теоретические подразделы основного текста учебника и разделы Приложения заканчиваются контрольными вопросами, часть из которых составлена с учетом творческого подхода к изложенному материалу при подготовке ответов.
Помещенные в учебнике упражнения можно рассматривать как объект для самостоятельной работы, а также как задачи для работы с аудиторией на практических занятиях. Основной теоретический материал иллюстрирован примерами решения задач. Конец текстов, а также идущих подряд упражнений или примеров обозначен значком . Кроме того, в конце многих теоретических подразделов рассмотрен комплекс задач с решениями по теме подраздела, например задачи по кинематике как в основном тексте, так и в Приложении. Комплекс задач заканчивается типовыми примерами домашних заданий (ДЗ) и контрольных работ (КР).
8
ПРЕДИСЛОВИЕ
В тексте использована трехпозиционная индексация пунктов. Например, 2.1.4 означает четвертый пункт первого подраздела второго раздела. Таблицы и рисунки имеют сквозную нумерацию по всему тексту учебника. Формулы и упражнения нумеруются в естественном порядке внутри каждого подраздела. Например, запись 1.2.27 означает формулу 27 из второго подраздела первого раздела. Точно так же запись Упражнение 1.3.5 означает упражнение 5 из третьего подраздела первого раздела. Если в основном тексте перед номером формулы или упражнения поставлена буква «П», например П1.31, то это означает, что формулу или упражнение следует смотреть в Приложении. Иногда в комплексе «Задачи …» приводятся поясняющие формулы, которые нумеруются с соответствующим индексом «З». Например, символ З1.2.4 означает формулу 4 из комплекса «Задачи …» второго подраздела первого раздела.
Автор выражает глубокую благодарность кафедре «Пластическая деформация специальных сплавов» Московского государственного института стали и сплавов (технологического университета), во главе с заведующим кафедрой профессором А.В. Зиновьевым, за поддержку идеи написания и повторного издания учебника, а также коллективному рецензенту – кафедре «Материаловедение, качество и сервис металлургических и машиностроительных технологий» Магнитогорской горно-металлургической академии им. Г. И. Носова, во главе с заведующим кафедрой профессором Г. С. Гуном, и рецензенту профессору Н. Д. Лукашкину.
Автор признателен доценту В. В. Кучеряеву за огромную помощь при проведении экспериментальных работ методами муаровых полос и координатной сетки для получения соответствующего иллюстративного материала.
Автор с благодарностью примет от читателя любые замечания и предложения по улучшению содержания учебника, которые можно отправить по адресу: 119049, Россия, Москва, Ленинский проспект, 4, МИСИС-Издательство.
9
СПИСОК ПРИНЯТЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ И СОКРАЩЕНИЙ
M – материальный объект, сплошное тело, сплошная среда; Mα – сплошная α-среда;
m – материальная частица;
mα – материальная частица α-среды;
R – пространство, заполненное множеством сред;
N – пространственная область, занимаемая телом M; Nα – пространственная область, занимаемая α-средой; N – размерность пространства N;
– свободное (пустое) пространство (множество); n – пространственная точка;
S, s – поверхность тела M и ее точка; Sαβ – поверхность раздела тел Mα и Mβ; Ω – объем тела M;
Ωα– объем α-среды;
P – совокупность свойств;
Pα – совокупность свойств α-среды; t – время;
Ma = ((aik)) – матрица с компонентами aik;
n |
– тензор ранга n с компонентами ai...k (скалярная величи- |
Тa = ai...k |
|
n |
n |
0 |
1 |
на a = Тa – тензор нулевого ранга, векторная величина a = Та с компонента-
2
ми ai – тензор первого ранга, тензор второго ранга Та с компонентами aik обо-
3
значается Ta, тензор Та с компонентами aikj – третьего ранга и т. д.);
|| b || или b – длина (модуль, норма) вектора b ;
n – единичная ( n =1 ) внешняя (по отношению к телу M) нормаль к поверхности S;
Тат – транспонированный тензор с компонентами aki тензора Ta с компонентами aik;
δik – символ Л. Кронекера;
Mδ = (( δik)) – единичная матрица с компонентами δik; Tδ = δik – единичный тензор с компонентами δik;
10