книги / Математическая теория колебаний упругих и вязкоупругих пластин и стержней
..pdfА '( * , z ) =
■ К ' XX |
d e 1 |
w < V «b «'*.« * f. / v |
5.) |
|
+ 6t |
|
|
|
X X |
|
|
|
|
|
(I.17) |
- работу изменения формы.
Для вывода нелинейной зависимости б»- л/ £^. необходимо выпол нение следующих условий [lo]i
-удельная работа деформации А должна быть однозначной функ цией компонент тензора деформации D ;
-материал тела должен быть однородным и изотропным;
-как и в законе Гука, шаровой тензор напряжения Т0 должен за
висеть лишь |
от шарового |
тензора деформации D 0 9 а девиатор тензора |
|||||||||
напряжений |
Т - от девиатора тензора деформации д г ; |
|
|
|
|||||||
|
- для |
бесконечно |
малых деформаций устанавливаемый закон дол |
||||||||
жен по форме совпадать с законом 1Ука (I.13)• |
|
|
|
||||||||
|
Исходя из того, что указанные условия должны выполняться, |
для |
|||||||||
удельной |
работы А получаем выражение |
[ Ю ] |
|
|
|
||||||
|
|
|
Л - А |
. ( е . ) + А ' ( 9 ‘ , Л,'), |
|
(I.IS) |
|||||
где |
J j |
- третий |
инвариант девиатора |
тензора деформаций. |
|
|
|||||
|
Как |
показано |
в работе |
[10], величина А от инварианта |
J * |
не |
|||||
должна зависеть, и тогда нелинейный |
закон зависимости ef.. ^ |
£.. |
|||||||||
имеет вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
в- = з к е в ж , |
се.) ; |
Г - 2 6 / (v*)D \ |
|
( Ы 9 ) |
||||
Здесь зео 9 |
£ - функции соответственно удлинения |
и сдвига, |
кото |
||||||||
рые |
через |
составляющие удельной |
работы деформации |
выражаются |
фор |
||||||
мулами |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
* о ( е 0) |
1 |
dA„ |
|
4 <1А' |
( 1. 20) |
|||
|
|
|
|
d e / ’ |
d K* |
||||||
|
|
|
|
9к е . |
|
|
Из закона (X.19) для отдельных компонент тензора напряжений получим зависимости
*jj |
- |
з к е „ Х0 С О |
+ 2G (6 jj - О |
/ ( К |
) ; |
|
|
, |
|
|
(I.2I) |
6ij |
= |
в е.у / ( К ) ; |
i t j i 4 |
= х , у , г |
• |
В дальнейшем функции удлинения и сдвига удобнее выражать как
и тогда (I.2I) принимает вид
Ъ г зкеь l î + £ (е’ >]+ 2ff(£jj- |
£ |
* |
) |
; |
|
|
||
* |
r |
® т |
; l *J- |
|
|
|
(I-23) |
|
г в е ч [ 1+f , ( t à ] |
|
|
|
|
||||
В силу того, что закон (1.23) должен |
быть |
одинаковым |
как |
при |
||||
нагружении» так и при разгрузке, то функция |
f o (80) |
должна быть чет |
||||||
ной по ео , a |
зависеть лишь |
от |
|
. В частности, |
разлагая |
|||
вти функции в степенной ряд, имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г(п+ 1) |
/ ,» Л ' |
|
г(л+т) |
(1.24) |
|||
|
* " е- |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Обобщим нелинейный закон (I.2I) на случай |
вязкоупругого |
тела |
||||||
[31]. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Линейная теория вязкоупругости основана на эффекте памяти,т.е. линейной интегральной зависимости напряжений от деформаций. Тогда для линейного вязкоупругого тела
e0°3 K R 0 ( е в) |
; |
T = 2 G R (D '), |
|
(1.25) |
|||
где RL и R - линейные |
интегральные |
операторы типа |
вольтеровских: |
||||
|
|
|
t |
|
|
|
|
* . ( о - и * ) - i ç 0 ( t - 4 ) u v < * ç i |
(1.26) |
||||||
|
|
0 t |
|
|
|||
R ( 0 = |
% ( t ) ~ |
\ |
F20(t - S )t ,(tj)< * S |
|
|
||
lj0 ( t ) - ядра этих |
операторов.0 |
|
|
|
А |
||
Как и при выводе |
(I.2I), |
для удельной работы деформации |
|||||
можно получить Представление |
|
|
|
|
|
||
|
А * А 0 + А * |
|
(1.27) |
||||
Для обобщения закона (I.2I) на случай вязкоупругого тела сфор- |
|||||||
цудируем ряд условийi |
|
|
|
|
|
|
|
• удельная работа деформации А |
должна быть однозначной |
функ |
цией истории деформирования от его начала до текущего момента вре мени t ;
- материал вязкоупругого тела должен быть однороден и изотро
пен*
- девиатор тенаора напряжений Т должен зависеть лишь от ис-
горни изменения девиатора D', а среднее напряжение б* - лишь от ис тории изменения средней деформации ео ;
-для бесконечно малых деформаций нелинейный закон зависимости
^& lj в пределе должен переходить в закон (1.2б).
Исходя из указанных условий для удельной работы деформации А получаем представление
|
|
|
* ( * , ? , * ) - £ ( J , ) + $ |
( 9 Ï ) , |
|
|
d - 20> |
|||
где |
и |
Щ - нелинейные функционалы. |
|
|
|
|
|
|||
|
Имея представление (1.28)» обобщенный закон (I.I9) |
|
|
для вязко- |
||||||
упругого |
тела |
выражаем зависимостями |
|
|
|
|
|
|||
|
|
^ • З К » . [г , (£„)€.]; |
T - 2 G R k ( t f ) D ‘] . |
|
|
О - » ) |
||||
Здесь |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
* |
[г. «•>*]• 5F |
|
*[''<*■> D']‘3G |
|
|
|
|||
|
Исходя из постулата изотропии, предполагаем, что нелинейные |
|||||||||
функционалы Г0, Г имеют производные по Фреше |
[9] любого |
|
порядка в |
|||||||
нуле, |
и |
при атом должны выполняться условия |
Г0 ( о ) ш Г(0)ж1. Следова |
|||||||
тельно, |
операторы или функционалы Q, Г |
можно |
разложить |
|
в ряды |
|||||
|
|
|
г |
|
2 ч _ |
|
|
|
|
|
ç<e.)* 1+ |
г (tf) |
п~1 |
( К |
) |
(1.30) |
|||||
|
|
|
|
|
|
Г |
|
|
|
п*1
t t
Кп(6в)т ctn ££*°(t)- j*... J Ffn(t~tf
|
|
t |
t |
|
J |
|
(I.3I) |
en ( v ? ) * л [ ? ! ” ( t} |
- J ■■•• î Ft» |
(* - |
» ••• - *■■ t» >4 |
||||
*V>1 ( W ... K 2 ( U |
|
|
|
|
|
||
Fjn - n -мерные |
ядра интегральных |
операторов |
Кп |
и |
вп |
||
Для компонент напряжений закон (1.29) можно записать в виде |
|||||||
в,-, “ 3KRo [г» |
е>] + 26R |
|
|
- О ] ; |
|||
бц = |
<?/? |
е,; ] ; |
|
«.У- |
у. |
2 |
13
Выражения (Г.32) являются нелинейными зависимостями между для изотропного вязкоупругого тела при малых деформациях.
§ 3. Линейный закон термоупругости
Рассмотрим связную теорию термоупругости с учетом конечности скорости распространения температуры. В этом случае количество теп
ла AQf сообщаемое телу объемом А гг |
за время A t , зависит от скоро |
|||||
сти его распространения в точке A |
|
и в общем случае от изме |
||||
нения скорости объемной деформации' |
& |
d iv с Г ) 9 |
||||
|
д а - f ü v ü t [ ( ■ > ^ * ■ ^ , 7 j r ) * |
|||||
|
|
|
I t |
|
|
(1.33) |
|
|
|
|
|
|
|
где |
параметры |
термоупругой среды. |
|
|||
|
Температура Г удовлетворяет уравнению |
|||||
|
г т |
1 |
д Т |
1 |
д *Т |
|
|
|
' с * |
â t |
о * |
â t 3 |
|
« р |
d t 2 |
d i v U + р, |
«T |
<з |
Здесь
- ^ r d iv U . |
(1.34) |
dt |
|
СР~ С1г
' ?3 оСА ;
к - коэффициент теплопроводности; С- скорость |
распространения тем |
|||
пературы. |
|
|
|
<oq и |
Линейная |
зависимость между деформациями |
напряжениями |
||
температурой |
Т в соответствии |
с законом Дюамеля - Неймана имеет вид |
||
|
=-<*■К (Г~Тв) d.j + К cUv ÏÏS.J + |
|
||
|
+ |
, |
(1.35) |
|
где U - вектор перемещения; |
- символ Кронекера. |
|
||
Таким образом, уравнение |
(1.34) принадлежит к уравнению |
гипер |
болического типа и описывает процесс распространения тепла с конеч ной скоростью С*.
Если параметры |
положить равными нулю, то получим несвяз |
ную теорию термоупругости. |
|
В произвольной криволинейной ортогональной системе координат (оС, движение упругой или вязкоупругой среды при малых дефор мациях описывается уравнениями в напряжениях
7 7 |
Лз 4 |
d |
( hi h3 6u fi) + |
d |
K |
~ |
. ) + др |
( Л |
|||||
â u |
|
dfi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
âhi |
* 1 |
|
I |
H h |
|
d * u « |
h* doi |
~ 1 t i h* |
+d« t h* |
â / " |
P |
Ô t* |
|
ды. |
(\ |
6<*P )* др (Л* |
}+ д) |
^ *//)" |
|
|
. |
. â h . |
_ , |
ondh , |
, on»dht |
ап г |
оd ‘ Lufi |
t |
~*ii hi ~dp~~ |
|
+ |
d^ 4~âJ~ *&Я Ьз~д«~p T t i |
> |
|||
|
|
|
|
° |
|
I(1.36) |
|
-Г |
{ K h e* j ) + £ |
( h, *** //)+ y |
|
ât>, |
|||
|
■*/ |
|
- |
, |
9 b . |
. |
âh3 |
d h 3 |
“ |
h' |
âtf |
+ |
Л2 ~dt + |
|
где h Jf |
hg9 |
h3 - коэффициенты Ламе.имеющие |
вид |
<?*<//
~dW ’
Лу
Вуравнениях (1.36) объемные силы не учитываются. В частности»
Вцилиндрической системе координат уравнения (1.36) принимают вид
д&гг |
* |
д6ге |
|
6rr~6oe |
& иг |
|
|
7 г ~ + “ Т ё ~ + 1 Г ~ + |
г |
|
d t * * |
||||
à * r e |
± |
0 вм + |
à 6oz |
2 6го ^ |
à и $ |
^ |
(1.37) |
д г |
+ г âe |
дг |
г |
* d t z 9 |
|
||
à e rz |
|
0 *а г |
|
6 r z |
р д a z . |
|
|
дг |
г |
до |
dz |
г |
* d t% |
|
|
Уравнения движения (1.36) и (1.37) в перемещениях в случае не линейной зависимости весьма сложны. Оцнако для линейной зависимости вц™ 8ц они значительно упрощаются введением потенция-
лов продольной и поперечных волн по формуле |
|
|
|
|||
(7= ÿ r a d |
Ф + r o tY " |
|
(1.30) |
|||
При этом векторный потенциал поперечных волн |
Y |
должен удовлетво |
||||
рять дополнительному условию |
[7, 8] |
|
|
|
||
|
dizx |
Y = О. |
|
(1.39) |
||
Условие (1.39) |
в произвольной ортогональной |
системе координат |
||||
является достаточно |
сложным. В цилиндрических координатах (г, О, z ) |
|||||
оно удовлетворяется автоматически, если векторный |
потенциал Y |
по |
||||
ложить равным |
|
|
|
|
|
|
Y = ¥ i e z |
+ r o t ( Y 2 ?z ) . |
|
(1.40) |
|||
В потенциалах Ф и Y |
уравнения (1.36) |
в линейном случае |
прини |
|||
мают вид |
|
|
|
|
|
|
7 ? - : |
|
Я - |
а м ) |
где а и b - скорости распространения продольной |
и поперечной волн, |
||
а операторы ^ и М равны |
|
|
|
Л/г=/?в + - 1 / ? |
M ^ R |
|
(1.42) |
В динамике твердого тела напряженно-деформированное состояние
однозначно определяется |
заданием граничных и начальных условий. На |
||
чальные условия в общем |
случае |
имеют вид |
|
« \ f o - ïï<: |
7Г L . - 5 |
(1-43> |
По типу граничных условий различают три основные задачи. Первая краевая задача возникает в том случае, когда на границе
S твердого тела задаются напряжения. Бели через Х п , YnfZn обо
значить |
проекции |
этих |
усилий, отнесенные |
к единице |
площади поверх |
||||
ности, |
то |
граничные условия |
|
|
|
|
|
||
*х х |
СОЗ (п,ж)+ |
cos(n, у) + 6XZ |
COS (tr,z). Х „ ; |
||||||
|
|
cos ( п>*)+ |
cos |
+ 6yz |
co s |
( n ,z ) = |
Yn ; (1.44) |
||
&xz |
COS (n, ac)+ 6y2 COS (П, ÿ) -f 62z COS |
(n, z) * |
. |
||||||
Здесь n - нормаль |
к поверхности S |
тела. |
|
|
|
|
|||
В случае второй краевой задачи на поверхности S |
задаются сме |
||||||||
щения, |
т.е. |
|
|
|
|
|
|
|
«/г- |
|
uSl= f2 (5t' s0; |
^ f 3(sr>s2), |
(i.45) |
|||
где n, s, , S2 |
- ортогональная система координат на поверхности. |
||||||
Третья краевая |
задача |
возникает в случае, |
когда на |
одной час |
|||
ти поверхности |
S задаются условия (1,44), |
а на |
остальной |
- условия |
|||
(1.45). |
|
|
|
|
|
|
|
Кроме основных |
краевых |
задач встречаются задачи, когда сплош |
ное тело состоит из сред с различными характеристиками. При этом на
границе раздела сред Г |
можно задавать различные условия |
контакта! |
||||||||||
- в случае абсолютно жесткого контакта по границе раздела |
Г |
|||||||||||
нормальное и касательные напряжения, |
а также |
перемещения |
непрерыв |
|||||||||
ны, т.е. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
* (1) |
- |
пп > |
nsf |
nsf |
nst |
. |
в (2) |
|
|
|
||
|
|
|
*Sg |
|
(1.46) |
|||||||
|
|
|
4" |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
и (г) |
|
u {1)= |
и (*> |
|
|
|
||||
|
|
п |
|
Ч |
|
|
Ч |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
если по |
границе |
Г |
отсутствует |
трение, |
то |
|
|
|
||||
,(0 |
^ (*) |
|
ns, а О; |
>-,3=1,2; |
и и1 и 1г)- |
(1.47) |
||||||
éпп |
Пп |
|
||||||||||
|
п |
п > |
|
|
||||||||
- при наличии трения |
по контакту Г |
условия контакта весьма сло |
||||||||||
жны и до настоящего времени нет единого мнения об их виде. Бели |
же |
|||||||||||
одна из сред - абсолютно |
твердое тело, |
то условием контакта может |
||||||||||
быть закон трения по Кулону. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Сформулированные |
граничные условия, |
|
как |
правило,возникают |
при |
решении тех или иных динамических задач и будут использованы в после дующих главах книги.
§5. Математический подход к выводу уравнений колебания упругих и вязкоупругих пластин. Общие замечания
Исследование волновых процессов в ограниченных деформируемых телах сводится к сложнейшим математическим задачам.
Даже для деформируемых сред, описываемых простейшими моделями, такими, как упругая и вязкоупругая среды, многие нестационарные за дачи не исследованы полностью и отсутствуют эффективные методы,поз воляющие решать эти задачи в точной постановке. Поэтому большинство прикладных задач в различных областях техники решаются с использо ванием упрощенных моделей (пластинки, стержни и оболочки), сводящих пространственные задачи динамики к двумерным или одномерным.
Зак.689
Для исследования нестационарных колебаний пластин, стержней и оболочек прибегают к такой математической модели описания их пове дения, в которой изучаются движения точек срединной плоскости (плас тинки), срединной поверхности (оболочки), срединной линии (стержни).
Математической теории построения упрощенных моделей колебания пластин, стержней и оболочек посвящено значительное число работ,опу бликованных в нашей стране и за рубежом £l,3,6,22,23,29,44 - 55 ].
Однако большинство из них связано с изучением |
колебания пластин |
и |
стержней в упругой линейной постановке. |
|
|
Как правило, теории колебаний стержней и |
пластин основаны |
на |
гипотезах плоских сечений и гипотезе Кирхгофа. На основе этих гипо тез выведены соответствующие приближенные уравнения колебания,полу чившие название классических.
Резкое увеличение количества прикладных задач, способствующих изучению динамического поведения стержней, пластин и оболочек при воздействии различных нестационарных внешних усилий, показало недо
статочность классических уравнений для описания наблюдаемых |
явле |
|
ний, что в свою очередь |
привело к большому числу уточненных |
теорий |
и уточненных уравнений |
колебания. Эти уточненные уравнения |
выводи |
лись также на основе новых гипотез. Наиболее полный обзор по разным
уточненным моделям колебания |
стержней, пластин |
и оболочек дан |
в |
работах [6, 7, 21], а также в более поздних публикациях [22, 26]. |
|
||
Следует отметить весьма |
ограниченное число |
работ, посвященных |
выводу приближенных уравнений колебания стержней и пластин с учетом реальных механических и реологических свойств материала,нелинейнос ти зависимости напряжений от деформаций, начальных смещений и на пряжений температуры, влиянию окружающей среды, анизотропии и т.д.
Однако к исследованию колебания стержней, пластин и оболочек можно подходить на основе точной постановки задач, рассматривал эти тела как трехмерные при воздействии внешних усилий, приводящих к то му или иному виду колебаний.
Такой математический подход,получивший название метода началь ных функций, был осуществлен В.3.Власовым [4] для определения на пряженно-деформированного состояния упругих изотропных однородных пластин в линейной постановке при стационарных внешних усилиях. Ма тематические подходы к изучению колебания пластин рассматривались также в работах [б, 22 , 36 , 45].
Однако математический подход с точки зрения точных т^ехмсрных задач для деформируемых сред не нашел применения в исследовании ко лебания стержней, пластин и ободочек о учетом разнообразных механи ческих, реологических и других озойств материала.
В настоящей |
книге предпринята попытка изложения математической |
|
теории колебаний |
упругой или вязкоупругой пластинки для |
изучения |
ее динамического поведения при нестационарных внешних воздействия*. На основе такого подхода выведены точные уравнения продольных и по
перечных колебаний |
вязкоупругих пластин |
с учетом и без учета началь |
||||
ных |
смещений и напряжений, с учетом частного вида анизотропии,тем |
|||||
пературы (связная |
теория |
термоупругости), |
приближенные уравнения с |
|||
учетом окружающей |
среды |
и физической нелинейности материала. Полу |
||||
чены выражения для всех смещений и напряжений по |
толщине |
пластинки |
||||
и сформулированы основные краевые задачи, |
приводящие к |
продольным |
||||
или |
поперечным колебаниям пластинки. На |
основе |
точных |
уравнений |
проанализированы некоторые вытекающие из них приближенные уравнения и выведены для них приближенные краевые задачи.
Естественно, что ограниченный объем книги не позволил авторам изложить материал в необходимом объеме даже для изотропных упругих пластин и стержней в линейной постановке.
§ 6. Некоторые математические методы решения волновых задач
При исследовании волновых полей в линейных деформируемых сре дах или при решении задач колебания пластин и стержней в зависимос ти от постановки задачи используют те или иные математические ме тоды, из которых наиболее часто применяемые кратко излагаются ниже.
Интегральные преобразования Фурье и Лапласа» Различают следую щие виды преобразований Фурье:
- косинус-преобразование О0
^ ( с о ) = § f |
(ос) c o s (а) х ) dot |
; |
(1.48) |
о |
|
|
|
- синус-преобразование |
|
|
|
о© |
|
|
|
F2 ( U))= f f |
( х ) ein (c o x )c fx |
; |
(1.49) |
о
- экспоненциальное или комплексное преобразование
|
©о |
|
|
F (eo )= |
$ j ( x ) e o c p ( - i c û x ) d œ |
(1.50) |
|
|
-OO |
|
|
Формулы (1.48) - (1.60) справедливы, если несобственный интег |
|||
рал от функции |
\ f(x)j |
существует, т.е. |
|
оо |
|
оо |
|
J \ f( x ) к * |
< о о или| If ( x ) \ |
^ ° ° |
О |
~оо |
Указанные преобразования Фурье |
применяются для координат, ко |
торые изменяются от - оо до + о о |
, и функций, являющихся четны |
ми, нечетными или произвольными по этим координатам соответственно.
Модуль |
\F((0)\ |
называют |
амплитудной характеристикой или |
ам |
||||
плитудным спектром функции J ( x ) , a |
a r ç |
F ((О) - фазовым спектром. |
||||||
Если через у ( t ) |
обозначить функцию-оригинал |
действительного |
||||||
переменного |
t при 04 1 <о©, |
интегрируемую на любом интервале (09А)9 |
||||||
то выражение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F ( p ) =J f |
( t ) e x p ( ~ p t ) c / t |
|
(I.5I) |
|||
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
называют интегралом Лапласа, |
а функцию |
F(p)~ преобразованием |
или |
|||||
трансформацией Лапласа функции f ( t ) . |
Здесь величина |
p=aL + Lj$ |
|
|||||
комплексное число, причем ос > О . |
|
|
|
|
||||
Данное преобразование наиболее часто используют в случае,когда |
||||||||
переменная t |
является |
временем и задаются начальные условия для функ |
||||||
ip M j(t) |
при |
t * О . |
|
|
|
|
|
|
Преобразование Лапласа (I.5I) обладает следующими свойствами! |
||||||||
|
y |
<n)( t ) e x p ( - p t ) d p = p hF ( p ) ~ |
|
|
||||
|
О |
|
|
|
|
|
|
|
|
- р П |
|
|
( О) ; |
(1.52) |
|||
5 { |
|
|
e x p ( - p t ) d t * F ( p ) Q ( p ) , |
(1.53) |
||||
о |
о |
|
|
|
|
|
|
|
где
4 ( р ) ’ 1 ? ( * ) е * Р ( - p t ) d t ;
°вС+ioo
— Г |
F ( p ) e x p ( p t ) c t p ; |
(1.54) |
|
z x i |
J , |
|
|
|
cc-ioo |
|
|
f ( 0 ) s |
lim |
I p F ( p ) J ; |
(1.55) |
|
p -+*о |
|
|
off/со |
|
|
|
J [ F(P) e ap] e ptd p = f ( t - a ) H ( t - a ) ; |
(i.se) |
вC-ïoo