книги / Математическая теория колебаний упругих и вязкоупругих пластин и стержней
..pdfгде уже применяется экспоненциальное преобразование фурье по t
и преобразованные смещения |
ид, wg |
является комплексными функциями |
|
от координаты |
z. |
|
|
Подставляя (3.54), (3.55) в уравнения (3.53), для ид,их поду |
|||
чаем систему |
обыкновенных уравнений |
0 |
|
|
(О)dzu0 |
(o)du„ |
-(А({° У + р р г)и0]+ |
|
[А55 dzZ -Z lkA |
||
|
|
15 d z |
|
|
|
|
(3.56) |
Полагая
u0=Aerz; u/0=-Berz
и подставляя (3.5в) в уравнения (3.56), (3.57), для г гебраическое уравнение четвертой степени
+(А,% *А ,’)р р гу+ [(А ,1?к,+ррг)(А „кг+рр‘)-А", ‘к, ],О^.Ъ<!)
в котором степени г могут принимать |
значения от единицы |
до четы |
|||
рех, причем при нечетных степенях г |
коэффициенты |
чисто |
мнимые. |
||
Общие решения уравнений (3.56), |
(3.57) |
уже не |
выраааютоя про |
||
сто через гиперболические оикусы и косинусы, |
а косят более |
сложный |
|||
характер. В то же время корни уравнения (3.59), а |
вернее, |
их алгеб |
раические комбинации зависят от коэффициентов этого уравнения по известным в алгебре соотношениями, а данные комбинации могут быть обращены по k f p .
5 5. Общая постановка задачи для термовязкоупругой пластинки [40]
Влияние температурных напряжений существенно во многих приклад ных задачах по расчету колебаний пластин с учетом вязкости и зависи мости температуры от напряженно-деформированного состояния пластин ки, т.е* при рассмотрении связной теории термовязкоупругости*
Рассмотрим общую постановку задачи для изотропной упругой плас тинки с учетом вязкости и температуры. Уравнения движения пластин ки как трехмерного T O A J с учетом вязких свойств материала и темпе ратуры в потенциалах Ф и Y имеют вид
|
— |
д2Ф |
+ « 0 К ( П ' , |
С3.60) |
||
Н ( А Ф ) = / > - М Г |
||||||
М (Л ¥ )= /> |
д 2 У |
— |
|
|||
- j g r |
; с/Стг Y - 0 , |
(3.61) |
||||
где |
|
О |
|
л2 |
д 2 |
дг |
|
|
; |
||||
N = L+2M ; K=L + f M |
|
|
|
|||
* зависимости ^^удовлетворяют соотношениям |
|
|
||||
6 jj = L ( 6 ) + 2М |
|
°<о F ( Т ) |
! |
(3.62) |
||
В соответствии о теорией |
термовяэкоупругости |
(свАэная теория), |
||||
налаженной в гл. I , |
длд температуры |
Т имеем уравнение |
||||
/ дт |
/ |
д*т |
|
|
|
|
à T - - i r w ~ - с Г |
|
|
|
^ |
||
t o |
~9i |
+ |
|
' |
|
|
to >tf~ коэффициенты свяаности. Колебания пластинки вызываются внеш
ними уоилиями
^22 ~ £ ( X >ÿ >Z ) • Sÿ 2 * F p ( & t |
* Z ) |
(3.64) |
= F œ z (x f ï > z ) > Z = ± h
к одним иэ трех условий для температурного режима на поверхностях пластинки
|
T - |
FoC<ct ^ t t ) |
} Z = ± |
h |
, |
(3.65) |
или |
|
|
|
|
|
|
|
- § г |
= |
z = ± |
h |
, |
(3.66) |
или бохее |
общим условием |
|
|
|
|
|
ho |
âz |
= ± [ j - F z |
|
|
± h , |
(3.67) |
где h0 - константа материала. Начальные условия кулевые,т.е. U=V=
= УГ= Т=. О \ди/дЫ d-0/dt = дъг/дЬ = d T / d i = 0 ; if = 0
Для построения общего решения уравнений (3.60) и (3.63) подста вим Т иэ первого уравнения во второе:
N(ü‘ï) |
|
|
N(-fc-)+-érNl-gl) - |
||||
- |
-J- °<о AtVM ] (А Ф) |
у |
|
|
|||
+ F W |
( с * Ж |
+ ~cf |
- * о Р1сХ Ф ) = |
0 |
G * 68) |
||
П о л а г м 9 как и ранее # |
|
|
|
||||
* • / S |
S |
Z |
} < * f |
4s Z % |
} rf« f * " р < |
м |
> |
о |
|
|
о |
|
I |
|
|
для Фо ** |
(3.68) |
подучаем обыкновенное дифференциальное |
уравнение |
||||
|
N0 ~~ё[рг |
с(г* * Що Ф> "О > |
|
(3.69) |
ДО
Neo = { ( * * * |
f ) |
[_N0(k*+ %*) +(jope+ -%ï No+ ~ îf No |
~ |
||||
~ ~з~**o Po 1^0M 0)J+ j > p |
* ( - <X0 P0 AT0 ) J |
|
|||||
Здесь N0 ,P0 , К0 ,M0- преобразованные по Лапласу |
операторы |
||||||
N, P, K,M . |
|
|
|
|
|
|
|
Общее решение уравнения (3.69) |
|
|
|
||||
Ф0 -А( ch(<xfz)+A£ sh(<*fz)+I)f ch(<x£z')+Z)2 $h(c<£ z ) , |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
(3.70) |
где <xf l ot>£ - корни уравнения |
|
|
|
|
|||
|
Ао <*Р- N10 <xe + N£0= О |
, |
(3 ,7 I) |
||||
при атоы |
|
|
|
|
|
|
|
г |
г |
N g |
txf+ сх.% |
N,о |
|
|
|
< * / « / “ |
No |
No |
|
|
|||
|
|
|
|
||||
т.е. комбинации */о</ и * / * < * / |
обратимы по Фурье и Лапласу»и толь |
||||||
ко через них будут выражаться встречающиеся |
нике соотнесения,а для |
||||||
Тф подучим |
|
|
|
|
|
|
|
Т0 = 0)( [A,ch(<xfZ)+A2sh(<x,z)]+<Ц[j)(ch(<x£z)+D£ sh(<x£ z)~\ ,
(3.72)
где
3(oCj -<X 2)N0 )fXZ-ppzN~o+(к*+f)
<ÜJm ’Х-оСЗЦ+гМо')
Аналогично, полагая
* |
J |
о |
*"* |
S r „ * * P (p i) dp , |
о |
I |
% «JTinkle}dk I-M*Ÿÿ )dï /Y*°е*Р(РЬ)dP > |
||
0 |
0 |
t |
|
c o s k æ |
|
l Y » e * p ( p i ) d p |
|
|
|
' l i n k * Y k |
|
|||
для |
yÇ0 не |
(3.61) |
имеем общие решения |
|
|
% |
- Bfg oh (jb z )+ B ,t sh ( jb z ) ) Jb*=f> p*M o + ( k*+ ? * ) |
) |
|||
%0 - &22 |
( / * * ) |
+ B21 s fl ( f i Z ) |
> |
<3*73) |
%0 - B 32 s h ( j s z ) + B 31 c h ( f i z ) ,
при этом в сиду d iv У= 0 постоянные интегрирования B^j связаны за-
вяоимостьв
Щ / + (£ В у + fiB 3 f = 0 f / * f ,2 |
(3.74) |
|
Преобразованные по Фурье и Лапяасу перемещения |
||
и 0-кФ0 |
~Ч%0 >УЬШ |
fa° + к У90; |
n |
, - - ^ * î Y , 0 - k Y K |
(3.75) |
Аналогично для преобразованных напряжений выводим |
||
* S J ■ Ц [ ф |
|
к ^ * р < 1 Г м 2 - |
-< *b(3Lo + 2М о)То } |
|
-o^ ^ 3 L 0 + ZMQ^TO ;
- к |
^ " * * ( 3 L ° * |
2М ° * Т° 1 |
(3.76) |
б £ *= М 0 1 . Щ Ф о + к |
- ^ ~ î - ~ i ~ + ( k z- ( l z) У30 ] |
; |
|
d ‘ Y„ |
|
ï z |
|
|
г т t1 Г л/ d % i |
ъ / |
t t-),/ |
<&z = Mo L 2 k - d F + k î |
vio |
k Ъ о |
|
d Y M |
|
* 4 |
_ |
U ü |
d x Yto |
a |
dV§o-i |
c(Z2 |
î ^ |
æ r -1 |
Вид колебания |
пластинки зависит |
от функций внешних усилий и функ |
|||||||
ции тетературного |
режима на поверхностях z= ± h . Поэтому |
рассмотрим |
|||||||
частные |
веды |
колебания. |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
$ 6. Уравнения продольного колебания |
|
|
||||
|
|
|
|
термовяэкоупругой пластинки |
|
|
|
||
Продольные |
иди |
симметричные колебания возникают в случае, |
если |
||||||
внешние усилия и тепловой режим удовлетворяют условиям |
|
|
|||||||
'г ” £ |
" f z |
9 ^cz ” * к г тА сг i Fyz |
% z ~ f y z * % ~F0 =■~ f о * |
||||||
при этом в общих решениях необходимо положить/ 1 ^ = 2 ^ = ^ |
|
|
|||||||
Выражения для |
и0 ,% ,ъг0 ,Т0 |
разложим в степенные |
реды по |
коорди |
|||||
нате Z |
со |
|
|
|
|
|
2П |
|
|
uo |
|
|
|
<*fn)-(k B Zf+ %B3f) jb £n ] (j- ÿ T |
* |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
r&n |
|
|
% m^ Q^ |
|
+^1 ° 4 n)+ (/b B ii+ k B 31')jb£n ] |
|
} |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
2nt1 |
(3.77) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Ч - Z |
C A r f m2+ I ) A mZ+ ( ïB t r k B 21'>jb*nHl С2n+1)l |
' |
|||||||
|
ns O |
|
|
|
|
|
|
|
|
T„.Z(*>,«?,% » |
«fn4*>)(Êr |
|
|
|
|||||
|
n=0 |
|
|
|
|
K 4 |
|
|
|
и введем главные |
части преобразованных перемещений |
и тетера туры: |
|||||||
UQ-k(Af+])f)-(kBZf у- (fB3j)\ |
(Aft-Df) + (jbBff |
y* к В 31 ) |
W0 =<*fAf + o<j!l)f + (%BffкВзг) / ъ } QQ=CO1A1 +coz Df
Иэ уравнений (3.78) и (3.74) выводим
Щ0(«*-«*)(кЦ,+<1У0 - W 0rt Д~’ ;
2 f = /b ( jb e- k * - < it ')lQ o(«*-1'*- Я2) +
+м,0«*2-<х2)(ЬЦ>+<1Уо - Wort До i
В„={îOoCfi2-^- |
+M,oк<! (J0(«f |
+ |
+МЮ V0 |
%*)«t+ktjbrt (o<f -«§) + |
|
+ Ц о № |
( / * ‘ Ь *‘ < 1 * ) ^ - Ч ) } д 0'т } |
(3.79)' |
Bt ( s {к4 о(А *-к *-< 1 *)(< *? -< *р -М ю 1/0 Сяг/**-« .*(р *-к 1)1 * |
||
*(<xf-«f)-k<zVo(e<.*-/b*)(«f -«() - |
|
|
- Mtek W0(уьг- k*- <z*)(«** - **) д-J f |
|
|
B3 i~ -M 10jb(<xf-<*f')(<*.*-k*-<i*X <lU ’o - b V o ) |
, |
мюя 3N0l«o(3L0+ 2M0r t ’’ i
Черва гжавныв части (£,V0 , W 0tQ0 записываем
gЛ7
* /7*0 1 |
m10 |
|
|
* К Ь « '- * |
' |
) |
т<»+ «■'o'0') J * |
' гСу»/л- ( |
^ ж ^ |
<»](*«- Ч)> p É ? » |
<3.81
■ ( * 4 * ? № * ( С - ^ - « M Q ^ l '
* 4 & 4 S 3 - ( ^ f ) f i t " - ^ ^ g p j y |
, |
r° ' « r J k z . 5 i £ { 0 . W - / e ^ - (*''«') C |
’, * |
* * * ( *** f ) Q P + * * iï° > ] Щ 0 ckU 0 +4 V0 - W e) X
Здооь
t<0) %'
.... ' « г , т Г ~ « - 1 4 в ®
C*0
Обращая выражения (3.80) no k ,Ç ,p , подучаем
~f^- ал’ 1Гт _ л л _ ■»<л) л <?<? |
ЯР |
|
|
|
|
d*v |
9 W J г гп |
* ~ |
( Tn + i ï )Qn')] “ - Ц л)- (T n + W Q n)\дзсду. |
•f9 х '}(2п)/} |
|||
* = L ( A /< )+ A )'{-M ',lTn -âQ n - ^ ' ] |
- |
|
|||
п=о |
1 |
1 |
|
|
|
* |
■ £ » < ? * w iTn |
|
V - |
|
|
|
|
|
|||
-Г-д(П) |
|
ч ] / _ ^ |
f |
. |
|
LA* - ( ' n + Af |
Ч п'-^ дхду |
д у > |
ап )\ ’ |
|
♦ [ * r v ^ - ^ - * s r « . . ]< - * £ - ♦ - ^ > +
* W ° « w ^ -<#> ы * ) I
т= 1(л<%л)''{[л £ Ч ^ Qn+r^àQn+ 4°тп] Q -
п-О L
- M& V Q n ~A'\QnH~Tn ï+ A z)Qn X - ^ - |
* Щ : + ^ } ( § T ô 7 |
|||||||
где 6?„,^ через |
и |
выражаются так же, |
как |
и в $ £ |
настоящей |
|||
главы в соответствии о табл. I и 2, a |
U ,V ,W ,Q |
- главные части |
||||||
перемещений и, гг, ьх |
й |
тешературы Т,при этом U, V можно |
выразить |
|||||
через плоские потенциалы: |
|
|
|
|
|
|||
1Г= |
9у |
д У |
,/ |
д у |
д у |
|
|
(3.82) |
дсо |
в * |
> к = |
~Щ----- ш |
|
|
|||
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Операторы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ls>N"( |
d t 2 -) - û f i A |
д* |
|
9* |
|
||
ДГ = |
- д х * |
* ч * |
|
|
|
1^)_ г h .rtf à2 |
. -,п |
, |
||
|
|
л* |
- Суэ/и |
( - ^ г ) |
J |
; |
|
|
|
|
|
|
(3.83) |
11 |
'J |
ât?+ ct |
dt +с* d*z |
з * ° н к м N ) ; |
||
|
- A { - A U J >n -’ |
. j _ |
J _ |
|
||
|
|
|
|
c i |
d t |
|
Дая определения Указанных главных частей |
Пневы граничные |
условия |
(3.64) и одно иа условий (З.бб) - (3.67). Из (3.64) и, например. |
||
(3.66), для величин UO tV0t W0 , 0 о |
получаем систему |
алгебраи |
ческих уравнений |
|
|
„?0Ь ^ |
k/**fr** 1*)-о**+ь*+ ?)( т£0)+ « е а п0)( )1 |
+ |
+ ( ^ |
+ % V o)l2 « ij b Zn- ( fi* + k z+ f) ( T < ? ) + * г Q(n0)) l |
- |
- Wo l2(k‘+ |
; |
-к 1 а г+ f)(jb * + k * + f * ) J b 2n+ 2 (k *+ $*)(*<f«/ Q W _