книги / Тестовый контроль по математике
..pdf7. |
Если |
A = |
1 |
3 |
и Е – единичная матрица второго |
||||||||
|
|
−2 |
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
порядка, то А2 + 3А + 5Е равно… |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
1) 9 |
3 ; |
2) |
−3 |
−9 |
|
; |
3) |
3 |
9 ; |
4) 9 |
3 . |
||
|
−6 |
3 |
|
6 |
3 |
|
−6 |
−3 |
6 |
3 |
|||
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
3 |
|
|
|
|
|
8. |
Ранг матрицы A = |
4 |
|
5 |
8 |
|
равен… |
|
|
||||
|
|
|
|
−2 |
−4 |
−6 |
|
|
|
|
|
1) |
3; |
2) 1; |
3) 0; |
4) 2. |
|
|
|
|
|
|||||
9. Матрица, обратнаяк матрице A = |
1 |
2 , имеет вид… |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−2 |
4 |
|
|
|
|
|
1 1 |
2 |
|
1 |
1 |
4 |
1 |
4 |
−2 |
1 |
4 |
||
1) |
|
|
|
; 2) − |
|
|
; 3) |
|
|
; 4) |
|
. |
||
|
|
8 |
|
|||||||||||
|
|
8 −2 |
4 |
|
2 |
−2 |
8 |
2 |
1 |
2 |
2 |
|||
10. Дан |
вектор |
AB = {1; 7; 2}. |
Начало |
вектора – |
в |
точке |
||||||||
А (2; 5; –3). Координаты конца вектора равны… |
|
|
||||||||||||
1) |
{3;12; −1}; |
2) {2;10; −1}; |
|
|
|
|
||||||||
3) |
{−3; −12;1}; |
4) {−1;12; 3}. |
|
|
|
|
||||||||
11. Направляющие косинусы вектора |
a = 20i + 30 j − 60k |
|||||||||||||
равны… |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1) |
21/70, –3/70, 6/70; |
|
2) 2/3, 1/3, 2/3; |
|
|
|
||||||||
3) |
2/7, 3/7, –6/7; |
|
|
|
4) –3/4, 1/4, 1/2. |
|
|
12. Даны точки А (1; 3; 2) и В (5; 8; –1). Разложение векто-
ра AB по ортонормированному базису в декартовой системе координат имеет вид…
1) |
AB = −4i + 2 j + 3k ; |
2) AB = 4i + 5 j − 3k ; |
3) |
AB = 4i + 2 j − 3k ; |
4) AB = 4i − 5 j + 3k . |
41
13. Длина вектора a = 20i − 30 j + 60k равна…
1) 110 ; 2) 10; 3) –10; 4) 70.
14. Даны точки А (0; 0; 1), В (3; 2; 1), С (4; 6; 5) и D (1; 6; 3).
Проекции вектора a = AB + CD на оси координат равны…
1) |
{1; 3;1} ; |
2) {0; 2; − 2} ; |
3) {−2; 0;1} ; |
|
|
4) {2; − 2; 0} . |
|||||||||||||
15. Скалярное |
произведение |
векторов |
|
a = 3i + 4 j + 7k |
|||||||||||||||
и b = 2i − 5 j + 2k |
равно… |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
1) |
0; |
|
|
2) 1; |
|
|
3) –1; |
|
|
|
4) 2. |
|
|
|
|
|
|||
16. Векторы |
a = mi + 3 j + 4k |
и b = 4i + mj − 7k |
перпен- |
||||||||||||||||
дикулярны при m, равном… |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
1) |
–1; |
|
2) 3; |
|
|
3) 4; |
|
|
|
4) 0. |
|
|
|
|
|
||||
17. Векторное |
произведение |
|
векторов |
|
a = {2; 3; 5} и |
||||||||||||||
b = {1; 2; 1} равно… |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
1) |
–3; |
2) {7; −3;−1} ; |
3) {−7;3;1} ; |
4) 3. |
|
||||||||||||||
18. Векторы a = mi + 2 j + 3k |
и b = 2i − nj + 2k |
коллине- |
|||||||||||||||||
арны, если m и n соответственно равны… |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
1) |
3, |
4 |
; |
2) 3, − |
4 |
; |
3) 2, − |
1 |
; |
4) 3, |
2 |
. |
|
||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
3 |
|
|
|
3 |
|
|
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x + y = 4, |
|
|
|
|
|
|
||||
19. Решением системы |
x + 3y = 7 |
является… |
|
||||||||||||||||
1) |
(2, 1); |
|
2) (–2, 1); |
3) (1, –2); |
4) (1, 2). |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
2x − y = 4, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
20. Система |
−4x + ky = −8 |
имеет множество решений при k, |
|||||||||||||||||
равном… |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1) |
2; |
|
|
2) –2; |
3) 4; |
|
4) 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
42 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x + y = 4,
21. Система не имеет решений при k, равном…
6x + ky = 7
1) 2; |
2) –7; |
|
3) –6; |
|
|
4) 1. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
22. Координаты точки, лежащей на оси OZ и равноуда- |
||||||||||||||||
ленной от точек M1 (2; 4; 1) и M 2 (−3; 2; 5) , равны… |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
− |
3 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
17 |
|||
1) |
0; 0; |
|
; |
2) 0; 0; |
|
; |
3) (0; |
0; 3); |
4) 0; 0; |
|
|
. |
|||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
8 |
||
|
|
|
23. Угол между векторами |
f и |
|
равен |
|
|
= 2, |
||||||||||
|
|
|
s |
30°, |
f |
|
|||||||||||||
|
s |
|
= 5. Работа силы |
f |
на перемещении s |
равна… |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
1) |
3 5 ; |
|
|
2) 5 |
3 ; |
3) {1; 2; 2} ; |
4) 10 3 . |
|
|
|
|
24.Объем треугольной пирамиды с вершинами А (2; 2; 2),
В(4; 3; 3), С (4; 5; 4) и D (5; 5; 6) равен…
1) |
7; |
2) |
7 |
; |
3) |
3 |
|
; |
|
4) – |
7 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
25. Вектор a |
перпендикулярен вектору b, |
|
a |
|
= 2, |
|
b |
|
= 3. |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
Скалярное произведение векторов (5a + 3b )(2a − b ) равно… |
|||||||||||||||||||||||||||
1) |
13; |
|
|
2) 18; |
3) 14; |
4) 17. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
26. |
Угол |
|
между |
|
|
|
векторами |
a = i + 2 j + 3k |
|
|
и |
||||||||||||||||
b = 6i + 4 j − 2k |
равен… |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
1) |
arcsin |
2 |
; |
|
|
2) arccos |
2 |
; |
3) arctg 2; |
4) |
|
π |
. |
|
|
|
|||||||||||
|
|
7 |
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
27.Площадь треугольника свершинами А (1; 1; 1), В(2; 3; 4),
С(4; 3; 2) равна…
1) 24 ; |
2) 24; |
3) 96; |
4) 96. |
43
|
1 |
2 |
3 |
4 |
|
28. Определитель |
−1 |
0 |
2 |
1 |
равен… |
|
2 |
3 |
1 |
−1 |
|
|
4 |
0 |
2 |
1 |
|
1) |
100; |
2) 105; |
|
|
3) –105; |
4) 90. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x − 2 y + z = −2, |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
29. Решением системы |
2x − y + 3z = 3, является… |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x + y − 2z = 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
1) |
(1; 2; –1); |
2) (–1; 2; 1); |
3) (–1; –2; –1); |
|
4) (1; 2; 1). |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
30. Векторы a , b |
и c имеют равные длины, и углы меж- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
ду векторами попарно равны: |
a = i + j , |
b = j + k . |
Координаты |
||||||||||||||||||||||||||||||||
вектора c равны… |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
2) {1; 0;1}; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
1) |
|
|
; 0; 3 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3) |
− |
1 |
; |
4 |
; − |
1 |
|
, {1; 0;1}; |
|
4) |
1 |
; |
2 |
; |
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
3 |
|
3 3 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
3 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Ответы к тесту по разделам |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
«Линейная алгебра» и «Векторная алгебра» |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Номер задачи |
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
3 |
4 |
|
5 |
6 |
|
|
7 |
|
|
8 |
|
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
|||||||
Номер верного ответа |
|
2 |
|
3 |
|
4 |
1 |
|
2 |
1 |
|
|
3 |
|
|
3 |
|
3 |
1 |
3 |
|
2 |
4 |
2 |
|
1 |
|||||||||
Номер задачи |
|
|
|
|
|
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
21 |
22 |
23 |
24 |
25 |
26 |
27 |
28 |
29 |
30 |
|||||||||||||||
Номер верного ответа |
|
3 |
|
3 |
|
1 |
4 |
|
2 |
2 |
|
|
4 |
|
|
2 |
|
2 |
1 |
2 |
|
1 |
2 |
4 |
|
3 |
44
МОДУЛЬ 2. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Справочный материал к разделу «Прямая линия на плоскости»
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 1 |
|
|
Прямая линия на плоскости |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
№ |
Название |
|
Уравнение |
|
|
Примечания |
||||||
уравнения |
|
прямойлинии |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
1 |
Уравнениепрямой |
y = kx + b |
|
|
|
φ– уголмежду прямойl |
||||||
|
сугловымкоэффи- |
|
|
|
|
|
|
|
иположительнымнаправ- |
|||
|
циентом |
|
|
|
|
|
|
|
лениемосиOx |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k = tgφ – угловойкоэффи- |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
циент |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b – ординататочкипересе- |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ченияпрямойсосью Oy |
|||
2 |
Уравнениепрямой |
y – y0 = k(x – x0) |
k = tg, φ= |
(l, Ox), |
||||||||
|
сугловымкоэффи- |
|
|
|
|
|
|
|
M0 (x0, y0) |
l |
||
|
циентом, проходя- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
щейчерез точку |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M0 (x0, y0) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3 |
Уравнениепрямой, |
|
x − x1 |
= |
y − y1 |
M1 (x1, y1) l |
||||||
|
проходящейчерез |
|
|
|
|
|
|
M2 (x2, y2) |
l |
|||
|
|
x2 − x1 |
x2 − y1 |
|||||||||
|
дветочки |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
4 |
Каноническое |
|
x − x0 |
|
= |
y − y0 |
|
M0 (x0, y0) |
l |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
уравнениепрямой |
|
m |
|
n |
|
S = {m, n} |
l |
||||
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
– направляющийвектор |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
45
|
|
|
|
|
|
|
Продолжение табл. 1 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
№ |
Название |
|
|
|
Уравнение |
|
|
|
|
|
|
Примечания |
||||||
уравнения |
|
|
прямойлинии |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
5 |
Параметрические |
x = x0 + mt |
|
M0 (x0, y0) l |
||||||||||||||
|
уравнения прямой |
|
|
|
|
|
|
= {m, n} l |
||||||||||
|
S |
|||||||||||||||||
|
|
y = y0 + nt |
|
t |
(–∞ , ∞ ) |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
t – параметр |
||||||||||
6 |
Общее уравнение |
Ax + By + C = 0 |
|
|
|
|
= { A, B} l |
|||||||||||
|
|
n |
||||||||||||||||
|
прямой |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n – нормальный вектор |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Частные случаи |
x = a |
|
B = 0 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
Oy, a = − |
C |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
y = b |
|
A = 0 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
Ox, b = − |
C |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
y = kx |
|
O (0,0) l, |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
С = 0 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
k = − |
A |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
7 |
Уравнение |
|
x + y = 1 |
|
a – абсцисса точки пере- |
|||||||||||||
|
в отрезках |
|
|
|
|
|
|
сечения прямойсосьюOx |
||||||||||
|
|
a b |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
b – ордината точки пере- |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
сечения с осью Oy |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
46
Окончание табл. 1
№ |
Название |
Уравнение |
|
Примечания |
уравнения |
прямойлинии |
|
||
|
|
|
||
8 |
Нормальное |
x cos α+ y cos β– p = 0 |
p = OP – расстояние от |
|
|
уравнение |
cos2 α + cos2 β = 1 |
O (0,0) до прямой l, |
|
|
прямой |
p ≥ 0 |
OP |
l, |
|
|
|
α = |
(OP, Ox), |
|
|
|
β = |
(OP, Oy) |
|
|
|
|
|
Таблица 2
Взаимное расположение прямых на плоскости
№ Уравнениепрямых |
|
|
|
l1 |
|
|
l2 |
|
|
|
|
|
l1 l2 |
|
|
|
Θ = |
|
|
(l1 , l2 ) |
|||||||||||||||||||||||||
1 l : y kx b |
|
k = k |
|
|
k k = −1 |
|
tgΘ = |
k |
|
|
|
k |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
= 1 + 1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
2 − 1 |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
l2 : y = kx2 + b2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1+ k1 k2 |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
2 |
|
|
|
х |
− х1 |
|
|
|
y − y1 |
|
|
|
|
|
s2 |
|
s1 |
s2 |
|
|
|
|
|
|
_ |
|
|
_ |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
s1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
l1 |
: |
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s1 |
s2 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
m1 |
|
|
|
n1 |
|
|
m1 |
|
= |
|
n1 |
|
(s1 s2 ) = 0 |
|
cos θ = |
|
|
|
|
|
= |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
х− х2 |
|
|
y − y2 |
|
|
|
m2 |
|
n2 |
m1m2 + n1n2 = 0 |
|
|
_ |
|
|
_ |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
l1 |
: |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s1 |
|
s2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
m2 |
|
|
|
n2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
= {mi , ni } li |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
m1m2 + n1n2 |
|
||||||||||||||
|
si |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m12 + n12 |
|
m22 + n22 |
|||||||||||||||||||||
i = 1, 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
3 l1 : A1 х+ B1 y + C1 = 0 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
n1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
_ |
|
|
_ |
|
|
|||||||||||||||||||
n1 |
n |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n1 |
n2 |
|
|
||||
l2 : A2 х+ B2 y + C2 = 0 |
|
A1 |
= |
|
B1 |
(n1 n2 ) = 0 |
|
cos θ = |
|
|
|
|
|
|
= |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
_ |
|
|
_ |
|
|
|||||||
ni = { Ai , Bi } li |
|
|
A2 |
|
|
|
B2 |
|
A1 A2 + B1B2 = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n1 |
|
n2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
i = 1, 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
A1 A2 + B1B2 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A12 |
+ B12 |
|
A22 + B22 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
4 Расстояние отточки |
M0 (x0, y0) |
|
l до прямойl |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d = Aх0 + Bх0 + C0 A2 + B2
47
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 3 |
|
|
Плоскость в пространстве |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
№ |
Названиеурав- |
Уравнениенаплоскости |
|
|
|
|
|
|
|
Примечания |
||||||||||||
|
нения |
|
|
|
Р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
Общееуравне- |
Ax + By + Cz + D = 0 |
|
|
|
|
|
|
= { A, B, C} P |
|||||||||||||
|
n |
|||||||||||||||||||||
|
ние плоскости |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Частные случаи: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 P |
Ax + By + Cz = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
= { A, B, C} P |
||||||||||||
|
|
|
n |
|||||||||||||||||||
|
P Oz |
Ax + By + D = 0 |
|
|
|
|
|
|
= { A, B, 0} P |
|||||||||||||
|
|
|
|
n |
||||||||||||||||||
|
P Ox |
By + Cz + D = 0 |
|
|
|
|
|
|
= {0, B, C} P |
|||||||||||||
|
|
|
|
n |
||||||||||||||||||
|
P Oy |
Ax + Cz + D = 0 |
|
|
|
|
|
|
= { A, 0, C} P |
|||||||||||||
|
|
|
|
n |
||||||||||||||||||
|
Ox P |
By + Cz = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
= {0, B, C} P |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
n |
||||||||||||||||
|
Oy P |
Ax + Cz = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
= { A, 0, C} P |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
n |
||||||||||||||||
|
Oz P |
Ax + By = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
= { A, B, 0} P |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
n |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
2 |
Уравнение плос- |
P : A(x − x0 ) + B( y − y0 ) + |
|
|
M (x, y, z) P |
|||||||||||||||||
|
кости, проходя- |
+C(z − z0 ) = 0 |
|
|
|
|
M 0 (x0 , y0 , z0 ) P |
|||||||||||||||
|
щей через точку |
|
|
|
|
|
|
|
направление задает нор- |
|||||||||||||
|
M0, в заданном |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
маль |
|
|
|
|
= { A, B, C} P |
|||||||||
|
направлении |
|
|
|
|
|
|
|
n |
|||||||||||||
3 |
Нормальное |
P : x cos α+ y cos β+ |
|
α, β , γ – углы, образо- |
||||||||||||||||||
|
уравнение |
+z cos γ – p = 0 |
|
|
ванные нормалью |
|||||||||||||||||
|
плоскости |
cos |
2 |
α+ cos |
2 |
β+ cos |
2 |
γ = 0 |
к плоскости Р с осями |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
координат |
|||||||||||||||||
|
|
p ≥ 0 |
|
|
|
|
|
|
α = ( |
|
, Ox), |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
β = |
|
( |
|
|
|
, Oy), |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
γ = |
|
( |
|
|
, Oz), |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P, |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p – расстояниеотплос- |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
костиРдот. 0 |
48
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 4 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Взаимное расположение плоскостей |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
P1 : A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0, P2 : A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
ni = {Ai ; Bi ; Ci } Pi , |
i= 1, 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
№ |
|
|
P |
P |
P |
P |
ϕ = (P1, P2) |
||||||||||||||||||
1 |
2 |
|
|
1 |
2 |
||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
n1 n2 (n1, n2 ) = 0 |
φ = ( |
|
|
|
|
2 ) |
|
|
||||||
|
n1 |
n |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
n1 , |
n |
||||||||||||||||||
|
|
|
A1 |
= |
B1 |
= |
C1 |
|
A1 A2 + B1B2 +C1C2 = 0 |
|
|
( |
|
|
|
2 ) |
|||||||||
|
|
|
|
cos φ = |
n1 , |
n |
|||||||||||||||||||
|
|
|
A2 |
B2 |
C2 |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n1 |
|
|
n2 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2Расстояние от точки A0 ( x0 , y0 , z0 ) до плоскости
P : Aх+ By + Cz + D = 0
d = Aх0 + By0 + Cz0 + D A2 + B2 + C 2
Таблица 5
Прямая в пространстве
№ |
Название |
|
Уравнение прямой L |
|
|
Примечания |
||||||||||||||
уравнения |
|
|
|
|||||||||||||||||
1 |
Уравнение пря- |
|
x − x1 |
= |
|
y − y1 |
|
|
= |
z − z1 |
M ( x, y, z ) |
L |
||||||||
|
мой, проходя- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M1 ( x1 , y1 , z1 ) L |
|||||||
|
|
x2 − x1 |
|
y2 − y1 |
z2 − z1 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
щей через две |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
точки |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M 2 ( x2 , y2 , z2 ) L |
|||
2 |
Канонические |
|
x − x0 |
= |
y − y0 |
= |
|
z − z0 |
M ( x, y, z ) |
L |
||||||||||
|
уравнения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M 0 ( x0 , y0 , z0 ) L |
|||||||
|
|
m |
|
n |
|
|
p |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
прямой |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= {m, n, p} L – на- |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
правляющий вектор |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
прямой |
|
||
3 |
Параметриче- |
x = x0 + mt |
|
|
|
|
|
|
|
M ( x, y, z ) |
L |
|||||||||
|
ские уравнения |
|
|
+ nt |
|
|
|
|
|
|
|
M 0 ( x0 , y0 , z0 ) L |
||||||||
|
y = y0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
прямой |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
z = z0 |
+ pt |
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
= {m, n, p} L |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t −( ∞ +∞; |
) – параметр |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
49
Таблица 6
Взаимное расположение прямых в пространстве
|
L1 : |
x − x1 |
= |
|
y − y1 |
= |
|
z − z1 |
, |
s1 = {m1; n1 ; p1} L1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
L2 |
|
: |
x − x2 |
= |
y − y2 |
= |
|
z − z2 |
, |
s2 = {m2 ; n2 ; p2 } L2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m2 |
|
|
|
|
|
n2 |
|
|
|
|
|
|
|
p2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L1 L2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L1 L2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ϕ = (L1, L2) |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
s2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
s1 |
s2 |
|
|
|
( |
s1 |
s2 ) = 0 |
|
|
φ = ( |
s1 |
s2 ) |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
s1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
m1 |
= |
n1 |
= |
p1 |
|
|
|
m1m2 + n1n2 + p1 p2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
s2 ) |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
cos |
φ = |
s1 |
= |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
m2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
n2 |
p2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s1 |
|
s2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
m1m2 + n1n2 + p1 p2 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m12 + n12 + p12 |
m22 + n22 + p22 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 7 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Взаимное расположение прямой |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
L : |
x − x0 |
= |
y − y0 |
|
= |
|
z − z0 |
|
, |
s1 = {m; n; |
|
p} L и плоскости |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
P : Ax + By + Cz + D = 0, |
|
= { A; B; C} P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
L P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ϕ = (L, P) |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
s |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin φ = |
(s n ) |
= |
|
|
|
|
|
|
|
Am + Bn + Cp |
|
|||||||||||||||||||||||||||
( |
|
|
|
|
|
|
|
) = 0 |
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
B |
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m2 + n2 + p2 |
A2 + B2 + C 2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
s |
n |
|
|
|
|
= |
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
s |
n |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Am + Bn + |
|
|
|
m |
|
|
|
|
n p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
+ Cp = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
50