книги / Уравнивание спутниковых сетей. Предварительная оценка точности проектов спутниковых измерений
.pdf1. Составление конфигурационной матрицы А размера n × m, где n – количество измеряемых векторов; m – количество определяемых пунктов:
a11 |
a12 |
a1m |
|
|
|
А = a21 |
a22 |
a2m . |
|
|
|
|
an2 |
|
an1 |
anm |
|
|
|
|
Коэффициенты матрицы anm принимают значения 0, 1 или –1 в зависимости от схематики геометрических связей (измеряемых векторов) оцениваемой сети.
2. Составление диагональной матрицы весовых коэффициентов P размера n × n, где n – количество измеряемых векторов:
P1 |
0 |
0 |
|
|
|
0 |
P2 |
0 |
|
P = |
. |
|||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
0 |
Pn |
|||
|
|
|
|
|
Вес Рi каждого вектора рассчитывается на основе точности используемого оборудования по формуле
µ2
Pi = mi20 ,
изм
где µ0 – ошибка единицы веса, в качестве которой может быть принята ошибка измерения в плане вектора длиной 1 км; miизм – средняя
квадратическая ошибка измерения i-го вектора в плане, которая вычисляется по формуле
mi2изм = R2 ×mi2пас +mц2база +mц2ровер ,
где miпас – паспортная точность измерения вектора в плане между двумя спутниковыми приемниками; mцбаза , mцровер – ошибки центри-
11
рования антенны приемника соответственно на базовом и роверном приемниках; R – коэффициент радиовидимости.
Паспортная точность измерения вектора в плане зависит от его длины Di, км, и обычно определяется формулой
miпас (мм) = a +b ×Di (км),
где a и b – коэффициенты, приведенные в паспорте используемого спутникового оборудования.
При установке обоих приемников на штативах с применением оптических центриров и компарированных рулеток mцбаза и mцровер равны между собой и определяются по формуле
mцбаза |
= mцровер |
h×0,2τ′ |
= mц, |
||
= |
ρ′ |
|
|||
|
|
|
|
|
где h – высота установки инструмента; τ – цена деления круглого уровня; ρ = 3438′.
Коэффициент радиовидимости принимается равным единице, если оба пункта, ограничивающие вектор, расположены на открытых местах и вблизи отсутствуют высокие препятствия, экранирующие прием спутниковых сигналов (лесная растительность, многоэтажная застройка и т.д.); в противном случае R = 2.
3. Вычисление квадратной, симметричной относительно главной диагонали, матрицы обратных весовых коэффициентов Q размера m × m:
|
Q11 |
Q12 |
Q1m |
Q = N −1 =(AT ×P × A)−1 |
|
|
|
= Q21 |
Q22 |
Q2m . |
|
|
|
|
|
|
|
Qm2 |
|
|
Qm1 |
Qmm |
|
|
|
|
|
12
4. Средние квадратические ошибки определения пунктов спутниковой сети в плане (горизонтальной плоскости) miплан вычисляем
по формуле:
miплан =µ0 Qii ,
где µ0 – ошибка единицы веса; Qii – элемент i-го пункта главной диагонали матрицы обратных весовых коэффициентов.
Достаточно продолжительный опыт использования спутниковых наблюдений для координатных определений показывает, что точность определения высотного положения пунктов в 1,5–2 раза ниже точности определения планового положения. Исходя из этого средние квадратические ошибки определения пунктов спутниковой сети по высоте могут быть рассчитаны по формуле
miвысота = 2×miплан = 2×µ0 Qii .
В тех случаях, когда известна паспортная точность спутниковых измерений по высоте и необходима строгая оценка точности высотных определений в сети, вычисления выполняют по вышеприведенному алгоритму (пп. 1–4). При этом вес Рi превышения по вектору рассчитывается по формуле
µ2
Pi = mi20 ,
изм
где µ0 – ошибка единицы веса, в качестве которой принимается ошибка измерения по высоте вектора длиной 1 км; miизм – средняя
квадратическая ошибка измерения i-го вектора по высоте, которая вычисляется по формуле
mi2изм = R2 ×mi2пас +mh2база +mh2ровер ,
где miпас – паспортная точность измерения вектора по высоте между двумя спутниковыми приемниками; mhбаза , mhровер – ошибки измерения высоты установки антенны приемника над центром пункта со-
13
ответственно на базовом и роверном приемниках; R – коэффициент радиовидимости.
Паспортная точность измерения вектора по высоте зависит от его длины Di, км, и обычно определяется формулой
miпас (мм) = a +b ×Di (км),
где a и b – коэффициенты, приведенные в паспорте используемого спутникового оборудования.
При использовании компарированных рулеток (жезлов) для определения высоты установки антенны приемника над центром пунк-
та ошибки mhбаза и mhровер могут быть приняты равными 1 мм.
5. В некоторых случаях важно знать не только точность положения пунктов сети относительно исходных пунктов, но и точность их взаимного положения.
Расчет точности взаимного положения пунктов i и k, например, в плане (горизонтальной плоскости) выполняется по формуле
mikвз.план =µ0 Qii −2Qik +Qkk ,
где µ0 – ошибка единицы веса; Qii, Qik, Qkk – элементы матрицы обратных весовых коэффициентов.
Для расчета точности взаимного положения пунктов по высоте необходимо воспользоваться рекомендациями п. 4.
Оценку точности взаимного положения пунктов можно осуществлять для любых пар оцениваемых пунктов, в том числе не связанных непосредственными измерениями.
Пример оценки точности пунктов спутниковой сети
Задание:
Выполнить предварительный расчет точности определения планового и высотного положения пунктов спутниковой сети, приведенной на рис. 3, относительно исходных пунктов ГГС и оценить относительную погрешность определения стороны между пунктами 1 и 3.
14
Рис. 3. Схема оцениваемой спутниковой сети: S – пункт ГГС; ○ – оцениваемый пункт; ––– – изменяемая сторона сети (вектор)
Полагаем, что измерение векторов сети будет выполняться спутниковой аппаратурой с паспортной точностью определения
планового положения задаваемой формулой: miпас (мм) = =5 +1×Di (км), где Di – длина вектора. Установка приемников над
пунктами будет выполняется на штативах с применением оптических центриров (τ = 8′).
Вблизи пунктов 1 и 3 присутствуют препятствия в виде лесной растительности, экранирующие прием спутниковых сигналов с некоторых направлений.
В табл. 1 приведены длины сторон (векторов) оцениваемой сети.
|
|
Таблица 1 |
|
|
|
|
|
№ п/п |
Пункты |
Длина вектора, км |
|
1 |
1–2 |
3,5 |
|
2 |
1–3 |
2,5 |
|
3 |
2–3 |
2,5 |
|
4 |
1–I |
7,5 |
|
|
|
15 |
|
|
Окончание табл. 1 |
|
|
|
|
|
№ п/п |
Пункты |
Длина вектора, км |
|
5 |
1–III |
7,0 |
|
6 |
2–I |
6,0 |
|
7 |
2–II |
7,0 |
|
8 |
3–II |
8,5 |
|
9 |
3–III |
6,5 |
|
Замечание. Векторы между пунктами ГГС, наблюдаемые при измерении сети, не участвуют в предрасчете точности.
Порядок расчета:
1. Составляем конфигурационную матрицу А, которая будет имеет размер 9 × 3 и вид:
|
|
Пункт |
|
||
|
|
1 |
2 |
3 |
|
1 |
−1 |
1 |
0 |
|
|
2 |
|
−1 |
0 |
1 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
0 |
1 |
−1 |
|
4 |
|
1 |
0 |
0 |
|
A = 5 |
|
1 |
0 |
0 |
. |
6 |
|
0 |
1 |
0 |
|
|
|
||||
7 |
|
0 |
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
8 |
0 |
0 |
1 |
|
|
9 |
|
0 |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
При заполнении строк матрицы А единицы ставим напротив пунктов, куда входит данный вектор, –1 – напротив пунктов, откуда выходит данный вектор. Направления векторов приведены на рис. 3.
2. Исходные данные для составления диагональной матрицы весовых коэффициентов P рассчитаем в табл. 2.
16
PNRPU
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 2 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Вектор |
D, км |
|
miпас , мм |
|
|
R |
|
mц, мм |
|
miизм , мм |
P |
|
|||||
1 |
|
3,5 |
|
8,5 |
|
|
|
|
2 |
|
0,7 |
|
17,03 |
0,128 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2 |
|
2,5 |
|
7,5 |
|
|
|
|
2 |
|
0,7 |
|
15,03 |
0,164 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
3 |
|
2,5 |
|
7,5 |
|
|
|
|
2 |
|
0,7 |
|
15,03 |
0,164 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
4 |
|
7,5 |
|
12,5 |
|
|
|
2 |
|
0,7 |
|
25,02 |
0,059 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
5 |
|
7,0 |
|
12 |
|
|
|
|
2 |
|
0,7 |
|
24,02 |
0,064 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
6 |
|
6,0 |
|
11 |
|
|
|
|
1 |
|
0,7 |
|
11,04 |
0,303 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
7 |
|
7,0 |
|
12 |
|
|
|
|
1 |
|
0,7 |
|
12,04 |
0,255 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
8 |
|
8,5 |
|
13,5 |
|
|
|
2 |
|
0,7 |
|
27,02 |
0,051 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
9 |
|
6,5 |
|
11,5 |
|
|
|
2 |
|
0,7 |
|
23,02 |
0,070 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Ед. веса |
1,0 |
|
6 |
|
|
|
|
|
1 |
|
0,7 |
|
6,08 |
|
|
||
0,128 |
0 |
0 |
|
|
0 |
|
|
0 |
0 |
|
0 |
0 |
0 |
|
|||
|
0 |
0,164 |
0 |
|
|
0 |
|
|
0 |
0 |
|
0 |
0 |
0 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
0 |
0 |
0,164 |
|
|
0 |
|
|
0 |
0 |
|
0 |
0 |
0 |
|
||
|
0 |
0 |
0 |
|
0,059 |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
0 |
|
|||||
|
|
|
|
||||||||||||||
P = |
0 |
0 |
0 |
|
|
0 |
|
|
0,064 |
0 |
|
0 |
0 |
0 |
. |
||
|
0 |
0 |
0 |
|
|
0 |
|
|
0 |
0,303 |
|
0 |
0 |
0 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
0 |
0 |
0 |
|
|
0 |
|
|
0 |
0 |
0,255 |
0 |
0 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
|
|
0 |
|
|
0 |
0 |
|
0 |
0,051 |
0 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
|
|
0 |
|
|
0 |
0 |
|
0 |
0 |
0,070 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. Вычисляем квадратную, симметричную относительно глав- |
|||||||||||||||||
ной диагонали, матрицу обратных весовых коэффициентов Q: |
|
||||||||||||||||
|
|
|
×P × A) |
|
|
|
3,22542 |
0,76525 |
1,45860 |
|
|
||||||
|
|
T |
−1 |
= |
|
|
|
1,44818 |
|
|
|
|
|||||
|
Q =(A |
|
|
0,76525 |
0,80902 . |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1,45860 |
0,80902 |
3,06264 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. Вычисляем средние квадратические погрешности определения пунктов относительно исходных пунктов ГГС в горизонтальной (план) и вертикальной (по высоте) плоскостях по формулам:
17
|
|
miплан =µ0 |
Qii , |
|
|
|
miвысота = 2×miплан |
= 2×µ0 Qii . |
|
Результаты вычислений приведены в табл. 3. |
||||
|
|
|
|
Таблица 3 |
|
|
|
|
|
|
Пункт |
mплан, мм |
|
mвысота, мм |
|
|
|
|
|
|
1 |
10,9 |
|
21,8 |
|
2 |
7,3 |
|
14,6 |
|
3 |
10,6 |
|
21,3 |
Для сравнения полученных величин с требованиями нормативных документов необходимо перейти от средних квадратических ошибок к предельным, используя коэффициент, равный 2.
В некоторых инструкциях и нормативных актах, например по топографической съемке, при оценке точности для удобства и простоты традиционно принята средняя погрешность – Θ (тэта). Это основано на практическом опыте контроля топографических работ. Связь средних квадратических погрешностей m и средних погрешностей Θ описывается выражением:
m=1, 25Θ.
5.Для оценки относительной погрешности определения стороны между пунктами 1 и 3, рассчитаем точность взаимного положения данных пунктов:
m13вз.план =µ0 Q11 −2Q13 +Q33 =
=6,08 3,22542 −2×1,45860 +3,06264 =11,2 мм.
Далее найдем относительную погрешность определения стороны между пунктами 1 и 3:
mS13 |
= m13вз.план = |
0,0112 |
= 448 10−8 |
≈ |
1 |
. |
|
S13 |
2500 |
220 000 |
|||||
S13 |
|
|
|
18
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1.Серапинас Б.Б. Введение в ГЛОНАСС и GPS измерения: учеб. пособие. – Ижевск: Изд-во Удм. гос. ун-та, 1999. – 93 с.
2.Серапинас Б.Б. Глобальные системы позиционирования: учеб. издание. – М.: Каталог, 2002. – 106 с.
3.Генике А.А., Побединский Г.Г. Глобальные спутниковые системы определения местоположения и их применение в геодезии. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Картгеоцентр, 2004. – 355 с.
4.Гудков В.М., Хлебников А.В. Математическая обработка маркшейдерско-геодезических измерений: учебник для вузов. – М.:
Недра, 1990. – 335 с.
5.Гордеев В.А. Теория ошибок измерений и уравнительные вычисления: учеб. пособие. – Екатеринбург: Изд-во Уральск. гос. горн.-геолог. академии, 2002. – 438 с.
6.Справочник геодезиста (в двух книгах) / под ред. В.Д. Большакова, Г.П. Левчука. – М.: Недра, 1975. – 1056 с.
7.Инструкция по топографической съемке в масштабах 1:5000, 1:2000, 1:1000 и 1:500 / Главное управление геодезии и картографии при Совете Министров СССР. – М.: Недра, 1985. – 152 с.
19
Учебное издание
ГРИШКО Сергей Вадимович
УРАВНИВАНИЕ СПУТНИКОВЫХ СЕТЕЙ. ПРЕДВАРИТЕЛЬНАЯ ОЦЕНКА ТОЧНОСТИ ПРОЕКТОВ СПУТНИКОВЫХ ИЗМЕРЕНИЙ
Учебно-методическое пособие
Корректор Н.А. Московкина
Подписано в печать 29.09.10. Формат 60×90/16. Усл. печ. л. 1,25. Тираж 100 экз. Заказ № 202/2010.
Издательство Пермского государственного технического университета.
Адрес: 614990, г. Пермь, Комсомольский пр., 29, к. 113.
Тел. (342) 219-80-33.
20