Задача № 2
Доказать совместность системы и решить её тремя способами: по формулам Крамера, методом Гаусса и средствами матричного исчисления.
Вариант № 8.
2x1+x3+x4=5
2x2+x3-x4=3
4x1-2x2+x3+3x4=7
Решение:
Доказываем совместимость системы.
2 0 1 1 5 0 2 1 -1 3 4 -2 1 3 7 |
2 0 1 1 5 0 2 1 -1 3 0 -2 -1 1 -3 |
Вычитаем из строки 3 строку 2, умноженную на -1
2 0 1 1 5 0 2 1 -1 3 0 0 0 0 0 |
=2
Решение методом Гаусса.
2x1+x3+x4=5
2x2+x3-x4=3
2x1=5-x3-x4
x1=5/2-1/2x3-1/2x4
5/2-1/2x3-1/2x4 3/2-1/2x3+1/2x4 x3 x4 |
X=
Решение методом Камера и матричного исчисление не возможно, поскольку число неизвестных не равно числу уравнений.
Задача №3.
Исследовать и найти общее решение системы линейных однородных уравнений.
Вариант № 1.
3x1+3x2+5x3-2x4=0
2x1+2x2+8x3-3x4=0
2x1+2x2+4x3-x4=0
Решение.
3 3 5 -2 2 2 8 -3 2 2 4 -1 |
0 0 0 |
3 3 5 -2 0 0 14/3 -5/3 2 2 4 -1 |
0 0 0 |
Вычитаем из строки 3 строку 1, умноженную на 2\3
3 3 5 -2 0 0 14/3 -5/3 0 0 2/3 1/3 |
0 0 0 |
Вычитаем из строки 3 строку 2, умноженную на 1\7
3 3 5 -2 0 0 14/3 -5/3 0 0 0 4/7 |
0 0 0 |
3x1+3x2+5x3-2x4=0
14/3x3-5/3x4=0
4/7x4=0
4/7x4=0
x4=0
14/3x3=5/3x4=5/3*0=0
X3=0
3x1=-3x2-5x3+2x4=-3x2-5*0+2*0=-3x2
x1=-x2
Ответ:
-x2 x2 0 0 |
X=
Раздел № 2. Векторная алгебра.
Задача №1.
Составить уравнение плоскости Р, проходящей через точку А перпендикулярно вектору BC. Написать ее общее уравнение, а также нормальное уравнение плоскостии уравнение плоскости в отрезках. Составить уравнение плоскости P1, проходящей через точки А, В, С. Найти угол между плоскостями Ри P1. Найти расстояние от точки D до плоскости Р.
Вариант № 13. А(2;3;2) В(1;3;6) С(0;4;2) D(2;5;4)
Решение.
ВС=(0-1;4-3;2-6)=(-1;1;-4) находим координаты вектора.
Находим общее уравнение плоскости, проходящей через точку А, перпендикулярной вектору ВС:
-1(x-2)+1(y-3)-4(z-2)=-x+y-4z+7=0
Приводим уравнение плоскости к нормальному виду:
µ=1/√1+1+16=1/√18=1/3√2
-1/3√2x+1/3√2y-4/3√2z+7/3√2=0
Приводим уравнение плоскости в отрезках:
-x+y-4z+7=0
-x+y-4z=-7
x/7-y/7+z/7/4=1
Cоставляем уравнение плоскости Р1, проходящей через точки А,В,С.
x-x1 y-y1 z-z1 x2-x1 y2-y1 z2-z1 x3-x1 y3-y1 z3-z1 |
=0
x-2 y-3 z-2 1-2 3-3 6-2 0-2 4-3 2-2 |
=0
x-2 y-3 z-2 -1 0 4 -2 1 0 |
=0
(x-2)(0*0-4*1)-(y-3)((-1)*0-4*(-2))+(z-2)((-1)*1-0*(-2))=0
(-4)(x-2)+(-8)(y-3)+(-1)(z-2)=0
-4x-8y-z+34=0
Ищем угол между плоскостями Р и Р1
cosα=|A1A2+B1B2+C1C2|/√A12+B12+C12√A22+B22+C22
cosα=|-4*(-1)+(-8)*1+(-1)*(-4)|/√(-4)2+(-8)2+(-1)2*√(-1)2+12+(-4)2=
=|4+(-8)+4/√16+64+1*√1+1+16=0/√1458=0
α=90o
Ищем расстояние от плоскости Р до точки D.
d=|AMx+BMy+CMz+D|/√A2+B2+C2
d=|(-1)*2+1*5+(-4)*4+7|/√(-1)2+12+(-4)2=|-2+5-16+7|/√1+1+16=6/√18=√2