Ряды / Ryady_1
.pdfЛекция № 1.
РЯДЫ
Числовой ряд и его сумма
Определение 1. Пусть дана числовая последовательность а1, а2,…, ап,… . Образуем выражение
∞
a1 + a2 +... +a n +... = ∑an ; (an R) ,
n = 1
которое называется числовым рядом. Числа an (n =1, 2, 3,K) называются ряда, а выражение an − общим членом ряда.
(1)
членами
Пример 1. Найти общий член ряда |
|
|
1 |
+ |
|
1 |
+ |
1 |
+ |
1 |
+ |
|
1 |
|
|
+ ... . |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
4 |
|
|
|
|
32 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
При п = 1 |
a1 = |
1 |
, при п = 2 |
|
a2 = |
1 |
= |
1 |
, |
|
при п = 3 |
a3 |
= |
1 |
= |
1 |
. |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
2 |
|
3 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
2 |
|
|
|
|
||||||||||||
Нетрудно заметить, |
|
что общий член ряда |
a n = |
|
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Поэтому искомый ряд можно записать следующим образом |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
∞ |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
+ |
+ |
|
+ |
|
+ ... = ∑ |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 4 8 1 6 3 2 |
|
|
|
|
|
n =1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
Построим из членов ряда (1) последовательность таким образом: |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
S1 |
= a1 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
S2 |
= a1 |
+a2 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
S3 |
= a1 |
+ a2 |
+ a3 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
……………………. |
+ a2 + a3 + a4 +... + a n . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Sn |
= a1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
Каждый член этой последовательности представляет собой сумму соот- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ветствующего числа первых членов числового ряда. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
Определение 2. Сумма Sn первых п членов ряда (1) называется n-ой частичной |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
суммой числового ряда. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Определение |
3. |
Числовой |
|
|
ряд |
|
∑ an |
|
называется |
|
сходящимся, если |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n = 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
lim S n = S , где число S называется суммой ряда, |
и пишут S = ∑ a n . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n =1 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Если предел частичных сумм бесконечен или не существует, то такой |
|
числовой |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ряд называется расходящимся. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
Пример 2. Проверить на сходимость числовой ряд |
∑ |
|
|
|
|
|
. |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
n (n + 1) |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n =1 |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Для того, чтобы вычислить n-ю частичную сумму Sn представим общий член |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
∞ |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
a n = |
|
ряда |
∑ |
|
|
|
|
|
в виде суммы простейших дробей |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
n(n +1) |
|
n (n +1) |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
n =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a n = |
1 |
= |
A |
+ |
|
B |
= |
A(n + 1) + B n |
A(n + 1) + B n = 1 |
|
n (n + 1) |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
n n + 1 |
|
n (n + 1) |
||||||
Сравнивая |
коэффициенты |
при одинаковых степенях n, получим систему |
линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных коэффициентов А и В
n : A + B = 0;
0
n : A = 1.
Отсюда находим, что A = 1, а B = −1.
Следовательно, |
общий член ряда имеет вид |
a n |
= |
|
1 |
|
= |
1 |
− |
1 |
. |
|||||||||||||||||||
n(n + 1) |
n |
|
||||||||||||||||||||||||||||
Тогда частичную сумму Sn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n + 1 |
||||||||||||||
можно представить в виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Sn |
= a1 + a2 + a3 + a4 + ... + a n |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
1 |
1 |
|
1 |
|
|
1 |
|
1 |
1 |
|
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|||||||||
= 1− |
|
|
+ |
|
− |
|
+ |
|
|
− |
|
|
+ ... + |
|
|
− |
|
+ |
|
− |
|
|
|
|
. |
|||||
|
|
3 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
2 |
2 |
|
|
|
|
4 |
n −1 |
n |
n |
|
|
n +1 |
|
|
После раскрытия скобок и приведения подобных членов, частичная сумма Sn примет вид
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Sn = |
1 − |
|
1 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
+ 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
Вычислим сумму ряда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
S = lim S n |
= lim |
1 − |
|
|
|
= lim 1 − lim |
|
|
|
= 1 − 0 = 1. |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
n + 1 |
|
1 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
n → ∞ |
|
|
n → ∞ |
|
|
|
n → ∞ |
n → ∞ n + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
Так как предел равен конечному числу, то данный ряд сходится. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Пример 3. Проверить на сходимость ряд |
a + aq + aq 2 + ... + aq n + ... |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
− бесконечную геометрическую прогрессию. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
Как |
известно, |
сумма |
первых |
п членов геометрической прогрессии |
|
||||||||||||||||||||||||||
при q ¹ 1 равна |
Sn |
= |
a − aqn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
1− q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
Тогда имеем следующие четыре случая: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
aqn |
|
|
a |
|
|
|
|||
|
|
1. |
Если | q |< 1, то |
limqn = 0 |
|
limSn = lim |
|
|
− |
|
|
= |
|
|
|
. |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
n→∞ |
|
|
|
|
n→∞ |
|
|
n→∞ 1−q |
1−q |
|
1−q |
|
|||||||||||||||||||
|
|
2. |
Если | q | > 1 , то |
lim q n = ∞ lim Sn |
= ∞ , т.е. |
|
ряд расходится. |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
3. |
|
|
q = 1 , |
|
|
n → ∞ |
|
|
|
|
n → ∞ |
|
|
вид a + a + a +...+ a +... и тогда |
|||||||||||||||||
|
|
Если |
|
то |
данный |
ряд |
|
имеет |
|||||||||||||||||||||||||
S |
n |
= na |
|
lim S |
n |
= ∞ |
, т.е. ряд расходится. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
n→ ∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 0 , |
|
|||||||||||||||||
|
|
4. |
Если q = −1 , |
|
то ряд имеет вид a − a + a −...+ a −... |
и тогда Sn |
если |
||||||||||||||||||||||||||
частичная сумма имеет четное число членов и Sn = a , если нечётное число, |
т.е. |
||||||||||||||||||||||||||||||||
lim Sn |
не существует, |
следовательно, |
ряд расходится. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
n→∞ |
|
|
|
4. |
Разность между |
суммой |
ряда S |
и |
частичной |
суммой Sn |
|||||||||||||||||||||||
|
|
Определение |
|||||||||||||||||||||||||||||||
называется остатком ряда и обозначается rn = Sn − S , т.е. |
|
|
∞ |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
rn = |
∑ ak . |
|
k = n +1
Так как для сходящихся рядов lim Sn |
= S , то lim rn |
= lim (Sn - S ) = 0 |
, |
n→∞ |
n→∞ |
n→∞ |
|
т.е. rn будет б.м.в. при n → ∞ . Таким образом, значение Sn является приближенным значением суммы ряда.
Из определения суммы ряда следуют свойства сходящихся рядов:
|
∞ |
∞ |
|
1. |
Если ряды ∑ an |
и ∑ bn сходятся, т.е. имеют соответственно суммы S и |
|
|
n =1 |
n =1 |
|
|
∞ |
|
|
Q, то сходится ряд ∑Aan + Bbn |
, где А, В − const, а его сумма равна AS + BQ. |
||
|
n =1 |
∞ |
|
|
|
|
|
2. |
Если сходится ряд ∑ an |
, то сходится и ряд, полученный из данного |
|
|
|
n =1 |
|
ряда отбрасыванием или добавлением конечного числа членов. Верно и обратное.
Необходимое условие сходимости ряда. Гармонический ряд.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
Теорема(необх. усл. сходимости). |
Если ряд ∑an сходится, то общий член |
||||||||||||||
ряда стремится к нулю при |
n →∞, |
т.е. |
lim an = 0n. =1 |
|
|
|
|||||||||
Действительно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n→∞ |
|
|
|
||
имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
Sn − Sn −1 |
= a1 + a2 +K + an−1 + an − a1 − a2 −K − an−1 = an , |
|
|||||||||||
тогда lim a |
n |
= lim S |
n |
− lim S |
n −1 |
= S − S = 0 , что и требовалось доказать. Чтд |
|
||||||||
n → ∞ |
n → ∞ |
|
n → ∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Следствие. Если же lim an |
¹ 0 |
, то ряд расходится. Обратное, вообще говоря, |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
неверно, что будет показано ниже. |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
1 |
|
|
|
|
|
Определение 5. Ряд вида ∑ |
называется гармоническим. |
|
|
|
|||||||||||
n |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
n = 1 |
|
|
1 |
|
|
|||
Для этого ряда выполняется необходимое условие, так как lim |
= 0 . |
|
|||||||||||||
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n → ∞ n |
|
||
В то же время данный ряд является расходящимся. Покажем это позже. |
|
||||||||||||||
Признаки сходимости рядов с положительными членами |
|
||||||||||||||
Пусть даны два ряда с положительными членами: |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
a1 + a2 + a3 + ... + an + ... ; |
(1) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
b1 + b2 + b3 + ... + bn + ... . |
(2) |
|||||||
Теорема(признак сравнения). Если для всех членов рядов (1) и (2), начиная с |
|||||||||||||||
некоторого |
номера, |
|
выполняется |
неравенство an £ bn и ряд (2) |
сходится, |
то |
|||||||||
сходится и ряд (1). Аналогично, если an |
³ bn и ряд (2) расходится, то расходится |
и |
|||||||||||||
ряд (1). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Доказательство. Пусть Sn и |
Qn соответственно частичные суммы рядов (1) |
||||||||||||||
и (2), а Q − сумма ряда (2). Тогда для достаточно больших п имеем |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
Sn < Qn |
Sn < Qn < Q . |
|
|
|
||||||
Так как |
Sn - и ограничена, |
|
то |
lim Sn = S , т.е. ряд (1) сходится. |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n→∞ |
|
|
|
|
Аналогично доказывается и вторая часть признака. Чтд Пример 4. 1) Исследовать на сходимость ряд
|
|
|
|
|
|
2 |
+ |
|
|
2 |
|
|
|
+ |
|
|
|
2 |
|
|
|
+ ... + |
|
|
2 |
|
+ ... . |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
× 3 |
3 |
|
n |
|
n |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
3 2 × 3 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
× 3 |
|
|
|||||||||||||||||
Сравним с членами ряда |
|
|
1 |
+ |
1 |
|
+ |
1 |
|
+ ... + |
|
1 |
+ ... . |
||||||||||||||||||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
32 |
|
|
|
|
33 |
|
|
|
|
|
|
3n |
||||||||||||
Начиная с n ³ 3 , |
имеем |
|
|
|
|
2 |
< |
|
|
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
n |
|
n |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
× 3 |
|
|
|
1 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
∞ |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Так как ряд ∑ |
|
|
|
|
|
сходится |
|
q = |
|
|
|
<1 , то данный ряд также сходится. |
|||||||||||||||||||||||
3 |
n |
|
3 |
||||||||||||||||||||||||||||||||
n =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||
2) Исследовать на сходимость ряд |
|
|
∑ |
|
. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=2 |
|
ln n |
|
|
|
|
||||||
Очевидно, что |
|
< |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n > 2 . Так как ряд с большими членами |
||||||||||||||||||
|
ln n |
для всех |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
n |
|
|
∑∞ 1 расходится (гармонический), то и исходный ряд расходится в силу признака
n=2 n
сравнения.
На практике часто более удобно пользоваться так называемым предельным признаком сравнения, который вытекает из предыдущего.
Теорема(предельный признак сравнения).
Если |
|
для двух |
рядов (1) и (2) с положительными членами выполняется |
||
условие |
a |
|
= const |
|
|
lim |
|
|
n |
(¹ ¥ ; ¹ 0) , то |
|
|
|
|
|||
n → ∞ b |
n |
|
|||
из сходимости ряда (1) следует сходимость ряда (2), а из расходимости ряда (1) |
|||||
следует расходимость ряда (2), т.е. ряды ведут себя одинаково. |
Если |
lim |
an |
=0 |
, |
то из сходимости ряда (2) |
следует сходимость ряда (1). |
||||||
|
|
|||||||||||
n→∞b |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Обратное утверждение неверно. |
|
|
|
|
|
|||||||
Если |
lim |
an |
=∞ |
|
то из расходимости ряда (2) |
следует расходимость ряда (1). |
||||||
|
|
|||||||||||
n→∞b |
, |
|||||||||||
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Обратное утверждение неверно. |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
1 |
|
|
|
Пример 5. 1) Исследовать на сходимость ряд |
∑ sin |
. |
|
|
||||||||
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n = 1 |
n |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
В качестве ряда для сравнения возьмем гармонический ряд ∑ |
1 |
, |
||||||||||
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n =1 n |
|
который является расходящимся.
|
|
sin |
1 |
|
|
|
|
|
|
sin α |
|
|
|
|
n |
|
|
|
1 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Тогда |
lim |
|
|
|
|
= |
замена : |
|
= α |
= lim |
|
= 1, |
|
1 |
|
|
n |
α |
|||||||
|
n →∞ |
|
|
|
|
|
α →0 |
|
n
а, следовательно, данный ряд расходится.
Замечание. На практике для сравнения удобно использовать ряды:
|
∞ |
|
|
|
|
|
1) |
гармонический ∑ |
1 |
, который расходится; |
|||
|
||||||
|
n =1 n |
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
1 |
|
2) |
обобщённый гармонический ряд ∑ |
|
, который, как будет показано далее, |
|||
|
p |
|||||
|
|
|
n =1 |
|
n |
|
сходится при p > 1 и расходится при p |
£ 1; |
|||||
|
∞ |
|
|
|
|
|
3) |
геометрический ∑qn , который сходится при | q|<1 и расходится при |
n=1
| q|³1.