86
.pdfChapter 1. Absolute stability and Aizerman’s problem of one-dimensional regulated systems
where
n |
x = ( a |
|
A |
n 1 |
a |
|
A |
n 2 |
a A a |
I |
|
)x = a |
|
y |
|
a |
|
y |
|
a y |
|
a y |
, |
|
A |
n 1 |
|
n 2 |
|
n |
n 1 |
n |
n 2 |
n 1 |
2 |
||||||||||||||
|
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1 |
0 |
|
|
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|
1 |
0 1 |
|
A |
n 1 |
B = 1. |
From (1.5) – (1.7) we get (1.4). The lemma is proved. |
|
||||||
|
|
|||||||||
|
Lemma 2. Let the conditions of Lemma 1 be satisfied, and let, in addition, the |
|||||||||
rank of the matrix |
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|||
|
|
|
R = |
* |
* |
* |
, , A |
*n 1 |
* |
(1.8) |
|
|
|
|
, A |
|
|
|
of |
n × n order be equal to |
n, |
where (*) is a transpose sign. Then: |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1) there exists a row vector |
|
= ( |
, |
2 |
, , |
n |
) |
|
such as |
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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= 1 y1 |
2 y2 |
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n yn ; |
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(1.9) |
|||||||||||||||||||||
|
|
2) If |
|
y1 |
= x = 0, y2 = Ax = 0, , yn |
= A |
n 1 |
x = 0, then |
x = 0. |
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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Proof. |
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Note |
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that |
the |
|
rank |
|
of |
|
the |
|
matrix |
|
R = n |
if |
and |
only |
if |
vectors |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
* |
* |
* |
|
|
|
|
|
|
|
*n 1 |
|
* |
are linearly independent. Since vectors |
|
* |
|
|
* |
* |
|
|
*n 1 |
|
* |
form a |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
, A |
|
, , A |
|
|
|
|
, A |
|
, , A |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
basis in |
|
|
R |
n |
, |
|
|
then the vector |
S |
* |
R |
n |
can be represented unambiguously in the form |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
S |
* |
= 1 |
* |
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* |
* |
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*n 1 |
|
* |
. |
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||||||||||
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2 A |
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n A |
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Then |
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= Sx = x Ax A |
n 1 |
x = y |
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y |
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y |
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. |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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2 |
2 |
n |
n |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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1 |
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2 |
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n |
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1 1 |
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||||||
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|
Now the second equation from (1.1) can |
|
|
be |
written as |
(1.9). Let |
the |
vector |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
y = ( y , y |
2 |
, , y |
n |
)* Rn . Then |
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1 |
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y |
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x |
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1 |
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y = |
y2 |
|
= |
|
|
Ax |
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= |
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A |
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* |
x, |
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x = R |
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n 1 |
x |
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n 1 |
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||||
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yn |
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A |
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|
A |
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||||||||||||||
by virtue of (1.8). Since the matrix |
|
R |
* |
is non-singular then |
x = R |
* 1 |
y . Therefore, for |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
y = 0, x = 0. |
The lemma is proved. |
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|||||||||||||||||||||||
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|
It follows from Lemmas 1 and 2 that if equalities (1.3) are satisfied and the rank |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
R = n, |
|
|
then differential equation (1.1) |
|
by a |
|
|
nonsingular transformation |
|
x = R* 1 y |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
reduces to the form (1.4), where = Sx can be written as (1.9). |
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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Introducing the notation |
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||||||||||||||||
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0 |
1 |
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0 |
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0 |
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||||||
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0 |
0 |
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1 |
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0 |
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0 |
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0 |
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A = |
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, B = |
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, S = ( , , ), |
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1 |
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n |
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||||
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a0 |
a1 |
|
a2 |
|
an 1 |
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1 |
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|
11
Lectures on the stability of the solution of an equation with differential inclusions
equations of motion (1.4), (1.9) can be represented in the form
y = Ay B ( ), = Sy, ( ) |
. |
0 |
|
(1.10)
|
From |
2) |
A = R |
|
|
|
(A) = |
j |
|
*
j
(1.1),
1 |
* |
, |
|
AR |
|
(A), |
j |
(1.10)
B= R* 1
=1, n;
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
it |
follows |
that: 1) |
A = R* AR* 1, B = R* B, S = SR* 1; |
||||||||||
B, |
* |
; 3) |
matrices |
|
A, |
A |
are similar, therefore, |
||||||
S = SR |
|
||||||||||||
|
|
* |
* 1 |
B = S B. |
|
|
|
|
|
|
|||
4) SB = SR R |
|
|
|
|
|
|
|
Lection 2.
Properties of the solutions in the main case
It can be shown that solutions of systems (1.1), (1.2), and systems (1.4), (1.9), (1.2) are limited. These properties of solutions can be used in the estimation of improper integrals.
Theorem 1. Let the matrix А be a Hurwitz matrix, i.e. |
Re |
( A) < 0, |
j = 1, n, |
j |
|
|
function ( ) 0 and let, in addition, the equalities (1.3) be satisfied and the rank R = n. Then the estimates are correct:
| x(t) | c |
0 |
, | x(t) | c |
, t I, |
|||
|
|
|
1 |
|
|
|
| y(t) | m |
, | |
y(t) | m , t I, |
||||
0 |
|
|
|
1 |
|
|
| (t) | c |
, | (t) | c |
, t I, |
||||
|
|
|
2 |
|
3 |
|
(1.11)
(1.12)
(1.13)
where m0 = const < ,
m1 = const
< ,
ci
= const
< ,
i = 0,1,2,3.
|
In addition, the functions x(t), y(t), (t), t I are uniformly continuous. |
|
|||||||
|
Proof. From inclusion ( ) |
0 |
it follows that | ( (t)) | , |
0 < < , |
t I. |
||||
|
|
|
|
|
|
* |
* |
|
|
Since the matrix |
A |
is a Hurwitz matrix, i.e. Re j ( A) < 0, a = max Re j (A) < 0 |
, then |
||||||
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 j n |
|
|
|
e At |
|
ce(a )t , |
t, t I , c = c( ) > 0, > 0 is an arbitrarily small number [13; § 13, |
|||||
|
|
inequality (7)].
The solution of the differential equation (1.1) has a form:
x(t) = eAt x0 t eA(t ) B ( ( ))d , t I.
0
12
Chapter 1. Absolute stability and Aizerman’s problem of one-dimensional regulated systems
Then
|
|
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|
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|
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t |
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|
|
| x(t) | |
e |
At |
|
| x0 |
| e |
A(t ) |
|
B |
| ( ( )) | d |
|
|
|
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|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||
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0 |
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|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
c | x0 |
| e |
(a )t |
ce |
(a )t |
|
|
B * e |
(a ) |
d = |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
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||||||||||||||||||||||
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|
0 |
|
|
|
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|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
= c | x |
|
|
| e |
(a )t |
|
ce |
(a )t |
B |
|
|
|
|
|
1 |
|
e |
(a )t |
|
|
|
1 |
|
= |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
* |
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
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|
|
|
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|
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|
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|
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|
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|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|||||||
|
|
|
= c | x |
|
|
| e |
(a )t |
|
|
|
1 |
|
c B |
|
|
1 e |
(a )t |
c |
|
|
, t, t I , |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
a |
* |
|
|
|
|
0 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
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|
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|
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|
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|
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|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
where e |
(a )t |
1, t, t I, a |
< 0 |
. This implies the boundedness of the solution |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
of the system (1.1), (1.2). It follows from (1.1) that |
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
| x(t) | A |
|
| x(t) | B |
|
| ( (t)) | A c |
|
B = c |
, |
t, |
|
t I, |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
* |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| (t) | S | x(t) | c2 , | (t) | S | x(t) | c3 , t, t I. |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
So, |
the |
estimates |
(1.11), |
|
(1.13) are |
|
|
proved. As |
|
|
|
|
|
|
* |
x(t), |
t, |
t I , |
then |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
y1 = R |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| y(t) | |
R |
* |
| |
x(t) | |
|
|
R |
* |
c |
|
= c |
|
, |
|
| y |
(t) | R |
* |
|
|
| |
x(t) | |
R |
* |
c |
= c |
|
, |
t, |
t I |
. Therefore, |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
3 |
|
|
|
x(t), |
|
y(t), (t), t I |
||||||
estimates from (1.12) hold. From the limitations of derivatives |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
we get the uniform continuity of functions |
|
x(t), |
y(t), (t), |
t I , respectively. The |
theorem is proved.
It should be noted that: 1) From
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
lim |
| x(t) |=| x( ) | c | x0 |
| |
c B |
* = c0 , |
||||
|
||||||||
t |
|
|
a |
|
|
|
evaluation | x(t) | c0 , t, t I |
we get |
|
c0 < , a < 0; |
2) From evaluation |
| y(t) | m |
, |
0 |
|
t,
t I
we get
lim |
| y(t) |=| y( ) | |
R |
* |
lim |
| x(t) | R |
* |
c0 |
|
|
||||||
t |
|
|
|
t |
|
|
|
= m0 ,
m0 |
< . |
Lemma 3. Let the conditions of the lemmas 1, 2 be satisfied. Then solution of the system (1.10) the following identities hold
( (t)) = (t) a0 y1 (t) a1 y2 (t) an 1 yn (t), t I,
(t) = y (t) |
2 |
y |
(t) |
n |
y |
(t), t I, |
1 1 |
2 |
|
n |
|
(t) = y |
(t) |
2 |
y |
(t) |
n 1 |
y |
(t) (t), t I, |
1 2 |
|
3 |
|
n |
n |
where (t) = yn (t), t I .
along the
(1.14)
(1.15)
(1.16)
Proof. Identities (1.4), (1.9) follow from lemmas 1, 2,. Then the last identity (1.4) implies the equality (1.14). Identities (1.15), (1.16) follow from (1.9), where(t) = yn (t), t I. The lemma is proved.
13
Lectures on the stability of the solution of an equation with differential inclusions
The identities (1.14)-(1.16) allow us to use the properties of the function ( )
from inclusion ( ) 0 |
for calculating improper integrals. |
Lemma 4. Let the conditions of Lemmas 1-3 be satisfied, the matrix A is a Hur-
witz matrix, function ( ) |
0 |
. |
Then: |
|
|
|
|
1) for any constant matrix |
Q of (n 1) (n 1) order quadratic form z* (t)Qz(t), |
||
z(t) = ( (t), y1 (t) , yn (t)), t I |
|
can be represented as |
where 2)
where
z |
* |
(t)Qz(t) = q |
2 |
(t) q y |
2 |
q |
|
y |
2 |
(t) |
d |
* |
(t)Fy(t)], |
|
|
|
|
n |
n |
|
[ y |
||||||||
|
|
0 |
|
1 |
1 |
|
|
|
dt |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F |
is a constant matrix of |
n n order; |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Improper integral |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z* (t)Qz(t)dt = [q 2 (t) q y2 |
q y2 |
(t)]dt |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
1 1 |
|
|
n n |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l0 |
= |
[ y |
* |
(t)Fy(t)]dt = y |
* |
( )Fy( ) y |
* |
(0)Fy(0), |
| l |
|||||
|
|
|
||||||||||||||
|
|
dt |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
= y |
(t)Fy(t) | . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t I ,
l0 ,
0 |
|< , |
|
(1.17)
(1.18)
(1.19)
Proof. coefficients values yk ,
a) if |
n, |
|
Since the quadratic form z |
* |
(t)Qz(t), t I |
contains terms with constant |
|||||||
|
||||||||||
of the product of components of the vector |
z(t), |
we can calculate the |
||||||||
y |
k |
y |
s |
, |
k, s = 1, n. It is easy to verify that: |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|||||
k |
are odd numbers k < n , then |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
b) if n |
|
y |
k |
|
c) if n
yk
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
n k |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
y |
|
= |
|
|
|
y |
|
y |
|
y |
|
y |
|
|
|
|
|
|
( 1) 2 |
y |
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
dt |
|
k |
|
|
n |
|
k 1 |
|
n 1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
is odd, k is an even number |
k < n |
, then |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n k 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n k 1 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
= |
|
y |
|
y |
|
|
y |
|
|
y |
|
|
|
( 1) |
2 |
|
y |
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
( 1) |
2 |
y |
2 |
; |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
k |
|
|
n |
|
|
|
k 1 |
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
k |
1 |
|
n k 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
n k 1 |
|
|
||||||||||
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||||
is even, |
|
k |
|
|
is an odd number k < n , then |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n k 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n k 1 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y2 |
|
|
|||||||||||||
= |
|
|
|
y |
|
|
|
y |
|
|
|
y |
|
|
|
( 1) |
|
2 y |
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
( 1) 2 |
|
; |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
dt |
k |
|
n |
|
|
k 1 |
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n k |
1 |
|
n k 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n k 1 |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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14
Chapter 1. Absolute stability and Aizerman’s problem of one-dimensional regulated systems
d) if n is odd, k is an odd number k n , then |
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
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|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
1 |
|
|
|
|
|
|
n k |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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1 |
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dt |
|
1 |
|
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dt |
2 |
|
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1 |
|
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dt 2 |
|
1 |
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||
|
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|||||||||||||||||||||||||||
where (t) = y2 , t I; |
|
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|
|
|||||||||||||||||||
For values n = 3, z(t) = ( (t), y (t), y |
2 |
(t), y (t)), |
|
(t) = y |
|
(t) |
: |
|
|
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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1 |
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3 |
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|
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|
3 |
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|
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|
|
|
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|
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|
|||
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|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
1 |
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|
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|
|
|
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|
d |
|
|
|
|
|
|
|
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|
2 |
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|
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|
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|
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|
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|
d |
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
y1 = |
|
|
|
|
|
|
|
y1 y3 |
|
|
|
, |
|
y2 = |
|
|
|
|
|
( y2 y3 ) y3 |
, |
|
y3 |
|
= |
|
|
|
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|
|
|
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|
|
y3 |
|
; |
|
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|
dt |
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
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|
|
|
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|
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|
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|
|
|
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|
|
|
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|
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|
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|
|
dt 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
y y |
|
= |
|
|
d |
|
1 |
y2 |
, y y |
|
= |
d |
( y y |
|
) y |
2 |
, y |
|
y |
|
|
|
= |
d |
|
1 |
y2 |
. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
3 |
|
2 |
|
|
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
15
Lectures on the stability of the solution of an equation with differential inclusions
Substituting values
y |
, |
k |
|
y |
k |
y |
s |
|
|
in the quadratic form
z |
* |
(t)Qz(t), |
|
we get represen-
tation (1.17). Integrating identity (1.17), taking into account estimate (1.12), we obtain the relations (1.18), (1.19). The lemma is proved.
Lemma 5. Let the conditions of the lemmas 1, 2 be satisfied, the matrix A be a Hurwitz matrix, function ( ) 0 and let, moreover:
1) scalar continuous function V ( y) > 0 |
for all |
y R |
n |
, |
y 0, |
V (0) = 0; |
|
||||||
|
|
2) improper integral
V ( y(t))dt < .
0
witz
Then lim y(t) = 0. t
Proof. Note that under the matrix, function ( )
conditions of the lemmas 1, 2, the matrix |
A |
is a Hur- |
|
||
0 , the statement of the theorem 1 is true. Consequently, |
| y
as
(t) | m , | y(t) | m, t, t I. |
|
|
|
0 |
|
|
|
Let all the conditions of the lemma be satisfied. We can show that lim |
y(t) = 0. |
||
|
|
t |
|
Assume the opposite i.e. lim y(t) 0. |
Then there is a sequence |
{tk } [0, ) such |
|
t |
|
|
|
| y(tk ) | > 0, k = 1,2, . Choose tk 1 tk |
= m > 0. Since the function |
y(t), |
t I is con- |
tinuously |
differentiable and |
| y(t) |< m , |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
t [t |
|
|
m |
, t |
|
|
m |
], k = 1,2, . Then |
||
k |
2 |
k |
2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
t,
t I ,
then
| y(t) y(t |
k |
) | m |
| t t |
k |
|, |
|
1 |
|
|
where | y(t) |=| y(tk ) of quantity m > 0. As
y(t)
| y(t)
V ( y(t))dt
0
y(tk ) | | y(tk ) |
| m |
, t, t I |
0 |
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
k |
m |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
V ( y(t))dt, |
|
|
|
|
|
k =1 |
t |
m |
|
|
|
|
|
|
k |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| y(t) y(t |
) | m |
m |
= |
|
> 0 , by choice |
||
|
|
||||||
|
|
k |
1 |
2 |
|
0 |
|
, then |
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
k |
m |
|
2 |
|
|
V ( y(t))dt V |
m, |
V |
= |
min |
V ( y). |
|
min |
|
min |
|
|y| m |
|
|
|
|
m |
|
|
|
||
t |
|
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
||||
k |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Then
|
tk m2 |
|
|
V ( y(t))dt V ( y(t))dt Vmin m = . |
|||
0 |
k =1 t |
m |
k =1 |
|
k |
2 |
|
|
|
|
This contradicts the 2-nd condition of the lemma. The lemma is proved.
16
Chapter 1. Absolute stability and Aizerman’s problem of one-dimensional regulated systems
Lection 3.
Improper integrals in the basic case
Based on identities (1.14)-(1.16), estimates (1.11)-(1.13), taking into account (1.17)-(1.19), we can obtain estimates of improper integrals along the solution of system (1.10).
Theorem 2. Let the conditions of the lemmas 1 – 3 be satisfied, the matrix |
A be |
||||||||||||||||||||||||||||
a Hurwitz matrix, function |
( ) 0 . |
Then, along the solution of system (1.10), the |
|||||||||||||||||||||||||||
improper integral |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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||||
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|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 (t) N y2 (t) N |
|
y2 |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
I |
1 |
= [ ( (t)) (t)]dt = |
|
[N |
n |
(t)]dt |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
1 |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
(1.20) |
||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
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||
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|
( ) |
|
|
|
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||
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|
l1 = |
|
( )d = c1, | c1 |
|< , |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
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|
|
|
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|||||||||||||||
|
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(0) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
l = y |
* |
|
|
|
= y |
* |
( )F y( ) |
y |
* |
(0)F y(0), |
| l |
|
|< , |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
(t)F y(t) | |
|
|
|
|
(1.21) |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
0 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
||
where |
F |
is a constant matrix of |
n n, |
order, N |
i |
= N |
(a |
, , a |
1 |
, |
, , |
), i = |
0, n. |
||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
0 |
n |
|
1 |
|
n |
|
|
Proof. The product
( (t)) (t) = [ (t) a y (t) a |
n 1 |
y |
(t)] |
0 1 |
n |
|
[ y |
(t) |
y |
(t) |
n 1 |
y |
(t) (t)] = z* (t)Nz(t), t I , |
where |
z(t) = ( (t), |
||||||||||||||
1 2 |
|
|
2 |
3 |
|
|
|
|
n |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Then the improper integral |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( ) |
|
|
|
|
||
|
|
|
I1 = z |
* |
(t)Nz(t)dt = ( |
|
|
|
( )d = c1, | c1 |< |
|||||||||||||
|
|
|
|
(t)) (t)dt = |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
(0) |
|
|
|
|
||
due to finiteness |
(t), t I , |
where |
N is a constant matrix of (n 1) |
|||||||||||||||||||
As follows from Lemma 3.4 |
(Q = N ), we get the equality |
|
|
|||||||||||||||||||
|
z |
* |
(t)Nz(t) = N |
2 |
(t) N y |
2 |
(t) N |
|
y |
2 |
(t) |
d |
* |
(t)F y(t)], |
||||||||
|
|
|
|
n |
n |
|
[ y |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
1 1 |
|
|
|
|
dt |
|
1 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Now the relations (1.20), (1.21) follow from (1.18), (1.19), where
y1(t), , yn (t)).
, |
|
(n 1) |
order. |
t I. |
|
l1 |
= |
|
d |
[ y* (t)F1 y(t)]dt = y* (t)F1 y(t) |0 , | l1 |< , |
|
dt |
|||||
|
|
|
|||
|
|
0 |
|
|
|
due to finiteness of |
y(0) |
and y( ). The theorem is proved. |
Theorem 3. Let the conditions of the lemmas 1 – 3 be satisfied, matrix A be a Hurwitz matrix, function ( ) 0 . Then for any quantity 1 > 0, along the solution
of the system (1.10) the improper integral
17
Lectures on the stability of the solution of an equation with differential inclusions
|
|
I |
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( (t))]dt = |
|
|
|
|
|
|
|
(t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
[ ( (t)) (t) |
|
|
|
|
[M |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1.22) |
|||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M |
y |
2 |
|
(t) M |
|
y |
2 |
(t)]dt |
l |
|
|
0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
n |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
l2 |
|
|
* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
* |
(0)F2 y(0), |
|
| l2 |
|< |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
= y |
(t)F2 y(t) |0 |
|
= y |
( )F2 y( ) y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1.23) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
where |
F |
is a constant matrix of n n order, |
M |
i |
|
= M |
( , a |
, , a |
|
, |
, , |
n |
), i = 0, n. |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
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|
i |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
n 1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Proof. From inclusion |
( ) |
0 |
|
it follows that |
|
|
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|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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||
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( ) |
|
, |
|
|
|
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|
1 |
, , |
|
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|
1 |
|
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||||||||||||||||||||
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|
0 |
|
R . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
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|
|
0 |
|
( ) |
|
|
|
|
|
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||||||||||
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|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Then for any quantity |
|
|
|
|
> 0 we get inequality |
( ) |
|
1 |
2 |
( ), |
, |
1 |
. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
R |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
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|
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1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
It follows that along the solution of the system (1.10) the inequality holds |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( ) (t) |
|
|
|
1 |
|
2 |
( (t)) 0, |
|
t, t I , |
|
|
|
|
|
|
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|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
(1.24) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
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|
|
1 |
|
|
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|
||||||
where |
|
|
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( ) |
(t) |
|
1 |
|
2 |
( (t)) = [ a y |
|
a |
|
y |
] |
|
[ y |
|
|
y |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
n 1 |
1 |
2 |
2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
y |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
[ a y |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
1 |
|
|
|
|
y |
] |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
] |
|
1 |
|
|
a |
|
|
|
|
|
= z |
|
(t)Mz(t), |
|
t I , |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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2 |
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|
* |
|
|
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|
|
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|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
n |
n |
|
|
|
1 |
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
n |
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
where M is a constant matrix of (n 1) (n 1) |
|
order. Further, applying Lemma 3.4, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
where |
Q = M , |
we get |
|
|
|
|
|
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|
|
||||||
|
* |
(t)Mz(t) = M |
2 |
(t) M y |
2 |
(t) |
M |
|
y |
2 |
(t) |
|
d |
|
|
* |
F y(t)], |
|
t |
I. |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
z |
|
|
|
|
n |
n |
|
|
|
[ y |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
Now the relations (1.22), (1.23) follow from (1.17), (1.19), (1.24). The theorem is proved.
Theorem 4. Let the conditions of the lemmas 1 – 3 be satisfied matrix Hurwitz matrix, function ( ) 0 . Then for any quantities 0 , 1, , n
solution of the system (1.10) the improper integral
I3 = [ 0 (t) 1 y1 (t) n yn (t)]2 dt =
0
= [ 0 2 (t) 1 y12 (t) n yn2 (t)]dt l3 0,
0
,
A
is a along the
(1.25)
l |
= y* (t)F y(t) | = y* ( )F y( ) y* (0)F y(0), | l |
3 |
|< |
(1.26) |
|||||
3 |
3 |
0 |
3 |
3 |
|
|
|
||
where F3 is a constant matrix of n n order, i |
|
|
|
|
|||||
= i ( 0 , , n ), i = 0, n. |
|
18
Chapter 1. Absolute stability and Aizerman’s problem of one-dimensional regulated systems
The proof of
[ |
y |
|
0 |
1 |
1 |
order.
the
|
y |
|
] |
2 |
n |
n |
|
||
|
|
|
theorem is similar
* |
(t) z(t), |
where |
|
= z |
to the proof of Theorem is a constant matrix of (n
3, where
1) (n 1)
Lection 4.
Absolute stability and the Iserman’s problem in the main case
Absolute stability. Based on the results presented above, in lectures 1–3, the conditions for the absolute stability of the equilibrium position of system (1.1), (1.2) can be formulated.
Theorem 5. Let the following conditions be satisfied:
1. |
Matrices |
A |
are Hurwitz matrices, function ( ) 0 |
; |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
2. |
There is a row vector = ( 1 |
, , n ) such as |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
B = 0, AB = 0, , An 2 B = 0, = An 1B = 1; |
|
|
|||||||||||||||||
3. |
Matrix rank R = |
|
is equal to n; |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
* , A* * , , A*n 1 * |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
4. |
The conditions of the theorems 2–4 are satisfied. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Then |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
N |
|
M |
|
) |
|
(t) ( |
|
N M ) y |
(t) ( |
|
N |
|
M |
|
) y |
|
(t)]dt < . |
||||||||
[( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
0 |
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
2 |
1 |
1 |
1 1 |
|
|
2 |
|
n |
|
|
n |
n |
n |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1.27) |
where
|
2 |
|
is a number.
Proof. Since the characteristic polynomial of the matrix |
A |
is equal to |
|||||||||||||
|
|||||||||||||||
( ) =| I |
|
A |= a |
|
|
|
a a , |
|||||||||
|
|
|
|
|
n |
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
n |
|
|
|
n 1 |
|
|
1 |
|
0 |
|||
then with |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
an 1 |
1 |
|
|
an 1 |
|
1 |
0 |
|
|
|
||||
1 = an 1 > 0, 2 = |
> 0, 3 |
= an 3 |
an 2 |
an 1 > 0, , n = a0 n 1 > 0 |
|||||||||||
an 3 |
|
|
|||||||||||||
|
an 2 |
|
an 5 |
an 4 |
an 3 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
matrix A will be a Hurwitz matrix, where yn |
= a0 y1 a1 y2 an 1 yn ( ). Conse- |
||||||||||||||
quently, the transformation |
y = R |
x is nonsingular and matrix |
|
|
|||||||||||
A is Hurwitz matrix. |
|||||||||||||||
|
|
|
|
* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
From inclusion ( ) 0 we get a limitation on system resources. Under con-
ditions 2), 3) of the theorem, the transformation is nonsingular and identities (1.14)- (1.16) and estimates (1.11)-(1.13) are true. Since the conditions of Theorems 2-4 are satisfied, improper integrals (see (1.20)-(1.23), (1.25), (1.26))
19
Lectures on the stability of the solution of an equation with differential inclusions
|
|
|
I |
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
N y |
|
N |
|
y |
|
|
]dt l |
= |
|
|
c < , |
|
|
, |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
= |
[ |
|
2 |
2 |
|
2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
2 |
0 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
n |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
2 1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
|
= |
[ M |
2 |
|
M y |
2 |
M |
|
|
|
y |
2 |
]dt l |
|
0, |
|
|
| l |
|
|
|< , |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
n |
n |
2 |
|
|
2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
y |
|
|
|
]dt l |
0, |
| l |
|< . |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
[ |
2 |
2 |
2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
n |
|
|
n |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
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|
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|
|
|
Then |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
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|
|
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|
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|
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|
|
|
|
|
I |
I |
|
|
|
I |
|
= |
|
|
|
|
N |
|
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M |
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) |
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( |
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N M ) y |
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[( |
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2 |
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2 |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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2 |
1 |
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2 |
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3 |
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|
2 |
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0 |
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|
|
|
0 |
|
|
0 |
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|
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|
|
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2 |
1 |
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|
1 |
|
|
|
1 |
1 |
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||||||
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|
( |
|
N |
0 |
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|
) y |
|
]dt |
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c l |
l l |
< , |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||
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M |
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2 |
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2 |
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n |
|
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|
n |
|
|
|
n |
|
|
n |
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|
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|
2 |
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2 1 |
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2 |
|
3 |
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||||||
where |
| c |< , |
| l1 |< , 2 |
is any number. This implies the estimate (1.27). The theo- |
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rem is proved. |
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|||||
Theorem 6. Let the conditions of the theorem 5 be satisfied, the matrix |
|
A B S, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
0 < 0 , |
0 |
< |
0 |
is a Hurwitz matrix, and let, moreover: |
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2 N0 M0 |
0 |
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0, 2 Ni Mi i |
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(1.28) |
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|
> 0, i = 1, n. |
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|
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Then the equilibrium position of the system (1.1), (1.2) is absolutely stable. If, in |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
addition, the quantity 0 |
= 0 |
, |
where |
> 0 |
|
|
is an arbitrarily small number, then |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
in the sector |
[0, 0 |
] Iserman's problem has a solution. |
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Proof. Since the conditions of Theorem 5 are satisfied, the inequality (1.27) is |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
true. From (1.27) given the first inequality from (1.28), we get |
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n |
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[ ( 2 Ni Mi i ) yi2 ]dt < , |
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0 |
i=1 |
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|||
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
where 2 Ni |
Mi |
i > 0, i = 1, n. Further, applying Lemma 5, we obtain |
lim y(t) = 0. |
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|
t |
|
Note that the function |
|
y(t), |
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t I |
|
along the solution of the system (1.10) is conti- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
nuously differentiable |
and |
satisfies |
|
the conditions | y(t) | m0 , | y(t) | m1, t, t I. |
n
Scalar function V ( y) ( 2 Ni M i i ) yi2 > 0 for any
n |
, |
y R |
y 0, V (0) = 0.
i=1
Improper integral V ( y(t))dt < .
0
statement of Lemma 2, the limit
Consequently, lim y(t) = 0. Then, according to the
t
lim x(t;0, x0 , ) = 0, x0 , | x0 |< , , 0 .
t
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