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.pdfChapter II. Absolute stability and Aizerman’s problem of multidimensional regulated systems
As follows from Theorem 9 and Lemma 12 the improper integral
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I |
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= I |
I |
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= |
[ y |
* |
(t)R y |
(t) |
|||
5 |
3 |
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||||||||||
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1 |
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1 |
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0 |
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m i |
( ) |
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= |
i |
|||
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i=1 |
i |
(0) |
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y |
* |
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* |
(t)W y(t)]dt = |
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(t) y(t) y |
|||
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1 |
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1 |
( i ) 1i d i |
< , |
(2.88) |
where
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R = P = |
* |
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S11H |
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N |
H |
, |
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|||||||||||||||||||||||
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H |
1 |
0 |
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1 |
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1 |
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1 |
0 |
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|||||||||
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= |
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P |
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* |
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S12 A12 H |
* |
S11 |
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A11 |
H |
* |
N |
* |
N |
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A12 , |
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||||||||||||||||||||||||||||||
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2 |
= H |
1 |
0 |
1 |
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2 |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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1 |
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2 |
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0 |
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1 |
1 |
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|||||||||||
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W1 |
= 3 P3 |
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* |
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||||||||||||
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= A11 1 S12 A12 |
N1 |
A12. |
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(2.89) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
In particular when |
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* |
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* |
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then |
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* |
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|
where |
K |
= K |
* |
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> 0 |
|||||||||||||||||||||
N = A11 |
S12 A12K, |
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W |
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= A12K A12 0, |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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||||
is a matrix of order |
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n n. |
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||||||||
Theorem 13. Let the conditions of the lemmas 7–11 be satisfied, matrices A ( ), |
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1 |
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||
A1( ), |
0 = 0 |
2 be |
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Hurwitz matrices, |
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the function |
( ) 1, |
and |
let |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
besides: |
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|||
1) diagonal matrix |
1 |
= diag ( 11, , 1m ), matrices |
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N1, |
|
N2 |
, |
S1 = (S11, S12 ) |
of orders |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(n m) n, |
(n m) n, |
m (n m) |
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such that |
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* |
0, |
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1 |
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* |
, |
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R1 R1 |
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= 1 |
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(2.90) |
||||||||||||||||||
where matrices |
R , |
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are determined by formula (2.89); |
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1 |
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1 |
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|||
2) |
matrix |
T = |
|
1 |
(W W * ) > 0 |
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(or |
surface |
|
V ( y) = y*T y = 0 |
|
does not |
contain |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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1 |
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2 |
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1 |
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1 |
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|||
whole trajectories), where matrix |
W is determined by formula (2.89). |
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||
Then in the sector |
[ , 0 ], |
|
0 |
= |
0 2 , 2 > 0 |
is a diagonal matrix of order |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
m m |
with arbitrarily small positive elements, Iserman’s problem has a solution, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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= diag ( |
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, , |
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), |
|||||||||
where |
0 = diag ( 01, , 0m ) |
limitation value of the matrix |
0 |
01 |
0m |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
found from the condition of Hurwitz of the matrix |
A |
( |
0 |
). |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||
Proof. From (2.86) when we have condition (2.90), we have |
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m |
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( ) |
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I 5 = |
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* |
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* |
(t)W y(t)]dt |
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( |
) |
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d |
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[ y |
(t)R y(t) y |
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1i |
i |
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i |
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i |
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||||||||||
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0 |
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i=1 |
(0) |
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i |
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d |
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1 |
y* (t) 1 y(t) dt < , |
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(2.91) |
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0 |
dt 2 |
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|||||||
due to the fact that | y( ) | c |
< , |
|
| y(0) | c |
< . As matrix |
T = |
|
1 |
(W W * ) > 0 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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2 |
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2 |
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1 |
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2 |
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1 |
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1 |
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(or T1 0 ), then from (2.91) it follows that
121
Lectures on the stability of the solution of an equation with differential inclusions
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I |
|
= |
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* |
(t)W y(t)dt = |
|
* |
(t)T y(t)dt I 5 |
< , |
50 |
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y |
|
y |
|||||
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1 |
|
1 |
|
|||
|
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|
0 |
|
|
0 |
|
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|
(2.92)
due to the fact that
y |
* |
(t)R y |
(t) = y |
* |
(t) |
1 |
|
* |
) |
|
y |
(t) 0, |
|
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(R R |
|
||||||||
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1 |
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|
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1 |
1 |
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||
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2 |
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|
t,
t I.
Let the
|
|
* |
|
y R |
n m |
. Then from (2.92) we have V ( y) |
||||||
function V ( y) = y T y, |
|
|||||||||||
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1 |
1 |
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1 |
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y 0, |
V (0) = 0, |
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where |
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, |
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V ( y(t))dt < |
| y(t) | c |
, |
| y(t) | c |
||||||||
|
1 |
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1 |
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2 |
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|
3 |
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0 |
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> 0,t,
y, t
y R |
n m |
, |
|
||
I = [0; ). |
Further, repeating the proofs of Theorem 12, we get |
lim y(t) = |
|
t |
is determined from the condition of Hurwitz of the matrix |
A ( |
||||||||||
1 |
|||||||||||
a matrix |
S |
1 |
of order m (n m) |
such |
as = |
|
0 |
2 , |
|||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
= |
|
2 |
solution of |
linear |
system |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
z = A |
||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0. |
Matrix |
0 |
= |
0 |
2 |
|
|
|
|
|
0 |
). |
Thus, there exists |
|
|
|
|||
for |
any ( ) = , |
|||
( )z, |
0 |
is |
asymptotically stable, for any
( ) |
, |
1 |
|
lim |
y(t) = lim Kz(t) = 0. |
t |
t |
In this case, as
follows from definition 6, Iserman’s problem has a solution. The theorem is proved. As follows from Lemma 2.10, equation (2.65) can be represented as
H |
y = N H |
y N H y ( ), |
H y |
= N |
22 |
H |
y N |
23 |
H y, |
||
0 |
11 |
0 |
12 |
1 |
1 |
|
0 |
|
1 |
(2.93)
where
A11 |
= (N |
, N |
12 |
), |
|
11 |
|
|
A12 |
= (N |
22 |
, N |
23 |
). |
|
|
|
|
The equation (2.93) follows from equality
H |
y |
N |
N |
H |
y |
|
|
|
|
|
|
|||||||
y = |
0 |
|
= |
|
11 |
|
12 |
|
0 |
|
|
I |
m |
( ), |
( ) |
, |
||
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
H |
y |
|
|
N |
|
N |
|
|
H |
y |
|
|
O |
|
|
1 |
|
|
|
|
22 |
23 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
1 |
|
|
|
1 |
|
n,m |
|
|
where |
N , |
N |
, |
N |
22 |
, N |
23 |
are matrices of orders |
m m, |
m n, |
11 |
12 |
|
|
|
|
|
||||
respectively. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Theorem 14. |
Let |
the |
conditions of Theorem 13 be satisfied, |
n m,
where
n n,
matrix
|
|
|
|
1 |
(W W * ) = H |
*T |
|
|
|
|
|
* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
T = |
|
H |
0 |
0, |
T11 = T11 |
> 0 |
be a matrix of order |
m m, |
surface |
|||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
2 |
1 |
|
|
1 |
|
|
|
0 |
11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V ( y) = y* H |
*T H |
0 |
y = 0 |
do not contain whole trajectories, matrix |
N |
23 |
of order |
|||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
0 |
11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
n n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
be a Hurwitz matrix. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
Then in the sector |
[ , |
0 |
], |
= |
0 |
|
2 |
, |
|
2 |
> 0 |
is a diagonal matrix of order |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
m m |
with arbitrarily small elements, Iserman’s problem has a solution, where |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 = diag ( 01,..., 0m ) found |
||||||||||||||||||||
|
0 = diag( 01,..., 0m ) |
is a limit value of the matrix |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
from the condition of Hurwitz of the matrix A1( 0 ) . |
|
|
|
|
122
Chapter II. Absolute stability and Aizerman’s problem of multidimensional regulated systems
Proof. As follows from the condition of the Theorem, the following inequality
holds (2.92), where
* |
* |
H |
y, |
|
V ( y) = y |
H |
|||
1 |
0 |
11 |
0 |
|
T |
= T |
* |
> 0. |
|
|||
11 |
11 |
|
Function
* |
|
y > 0, |
V ( y) = y |
||
1 |
11 |
|
y, |
y = H |
y |
|
0 |
|
trajectories.
0, |
V1(0) = 0 |
when |
y |
|
Then, as in the
= 0, |
surface |
V ( y) = 0 |
does not contain whole |
||
|
1 |
|
|||
proof |
of |
Theorem 12, we have |
lim |
y(t) = lim H |
0 y(t) = 0. |
Consider the second equation from (2.63). If the matrix |
t |
t |
|
|
N |
23 |
of order |
n n |
is a |
|
Hurwitz matrix, then when |
lim H0 y(t) = 0, |
limit |
|||||
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
lim H y(t) = 0. |
As |
y(t) = (H |
0 |
y(t), H y(t)), |
t I , |
then |
lim |
y(t) = 0. |
The theorem is |
||||
t |
1 |
|
|
|
1 |
|
|
t |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
proved.
Lecture 21.
The solution of model problems in a simple critical case
Constructiveness of the proposed method of solution of Aizerman’s problem and defining the condition of absolute stability will be shown on examples. Below we present solutions to Aizerman’s problem of one-dimensional and two-dimensional regulated systems.
Iserman’s problem for one-dimensional system. The equation of one-dimen- sional regulated system has the form
x = x x |
, |
x |
= 3x 2x |
( ), |
= ( ), |
= x x |
|||||
1 |
2 |
|
2 |
1 |
2 |
|
|
1 |
1 |
1 |
2 |
( ) |
|
= { ( ) C(R |
, R ) | ( ) = ( ), | ( ) | |
, |
||||||||
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 < |
|
< , , R }, |
|
|
* |
|
||||
|
|
|
t I = [0, ), |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
* |
|
|
|
, R ) | 0 |
|
, |
|
||
|
|
( ) = { ( ) C(R |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
(0) |
= 0, |
| ( ) | |
, |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
R }, |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
where > 0 is an arbitrarily small number. |
|
|
|
|
|
|
||||||
For this example, matrices |
A = A ( ), B , , |
S are equal: |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
1 |
1 |
1 |
|
1 |
|
|
|
1 ,
(0) = 0,
(2.94)
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
3 |
1 |
2 1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
A1 = A1 ( ) = |
|
1 |
1 |
|
, |
||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 1, |
S1 = ( 1, 1, 1 ). |
|
||||
B1 = |
|
1 |
, |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
123
Lectures on the stability of the solution of an equation with differential inclusions
The equation (2.94) in vector form can be written as:
z = A z B ( ), |
= S z, |
z(0) = z |
, |
| z |
0 |
|< , |
t I = [0, ), |
|
1 |
1 |
1 |
0 |
|
|
|
|
(2.95)
where z = (x1, x2 , ). |
If the matrix |
A1 |
= A1( ) |
is a Hurwitz matrix, the function |
||||||
( ) 1, |
|
|
(0) = 0 |
only when |
= 0, |
then the system (2.95) has the only equili- |
||||
|
||||||||||
brium state |
z* = (x1*, x2*, * ) = 0. |
|
Characteristic polynomial of matrix A1 = A1( ) is |
|||||||
equal to |
|
|
|
( ) =| I |
|
A |= a a a , |
||||
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
2 |
|
|
|
|
|
1 |
3 |
|
1 |
1 |
2 |
3 |
where a1 = 1 ( 1 1), |
a2 = 1 ( 1 1 1), |
arbitrarily small number. As follows from 1( ) matrix
if |
|
1 |
< 0 |
for any > 0. |
|
|
A. Nonsingular transformation. Define the vectors
a3 = 1, |
> 0 is an |
A1( ) is a Hurwitz matrix, |
R |
3 |
, |
|
|
R |
3 |
, |
|
R |
3 |
|
|
|
|
|
|
|||||
1 |
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
from the conditions
|
* |
B |
|
|
|
|
1 |
1 |
=
1
,
*B 2 1
=
0
,
|
* |
B |
|
|
|
|
3 |
1 |
=
0
. As a result, we get
|
* |
= (1,0,1), |
|
||
1 |
|
* = (0, 1,1),
2
|
* |
= (1, 1,1). |
|
3 |
|||
|
|
Matrix of transformation
|
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
|
0 |
1 |
1 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= K, K 1 = R* 1 = |
|
|
|
|
R = |
|
0 |
1 |
1 , R* = |
|
0 |
1 |
1 |
|
1 |
0 |
1 . |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
1 |
1 |
1 |
|
|
1 |
1 |
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Then matrices
A1, |
B1, |
S1
are equal
A1
= KA1
B1 =
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
K |
= |
||
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
KB1 |
= |
0 |
, |
|
|
0 |
|
|
|
|
( |
|
) |
1 ( |
|
) |
2 ( |
|
) |
||||||||||||
|
|
|
1 |
1 |
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
2 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
, |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= S K 1 |
= ( |
, |
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
||||||
S1 |
1 |
1 |
1 |
), |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
1 |
1 |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
where |
y = Kz, z = K |
1 |
y. |
|
reduced to
Then equation (2.94) by nonsingular transformation is
y1 = [ 1 ( 1 1)]y1 [ 1 ( 1 1)]y2 [2 ( 1 1 1)]y3 ( ),
y2 = 2y1 3y2 5y3 , |
y3 = y1 2y2 3y3 , |
124
Chapter II. Absolute stability and Aizerman’s problem of multidimensional regulated systems
|
|
|
= ( 1 |
1) y1 ( 1 1) y2 ( 1 1 1 ) y3. |
|
(2.96) |
||||||||||||||||
B. Solution properties. Matrix |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A1 ( ) = A1 B1 S1 = |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
1 ( )( 1 1 ) |
|
1 ( )( 1 1 ) |
2 ( )( 1 |
1 |
1 ) |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
= |
|
2 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Characteristic polynomial |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
( ) =| I |
|
A1( ) |=| I |
|
A ( ) |= a ( , ) a |
( , ) a ( , ), |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||
2 |
|
3 |
|
|
3 |
1 |
1 |
|
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
||||||
where a ( , ) =1 ( )( |
), a |
( , ) =1 ( )( |
|
1 |
), |
a ( , |
) = ( ) |
. |
||||||||||||||
|
1 |
|
1 |
|
1 |
2 |
1 |
1 |
|
3 |
|
1 |
|
Notice, that as value |
> 0 is an arbitrarily small number, then from (2.96) we |
have |
|
y |
= y y |
2 |
2y |
( ), |
y |
2 |
= 2y 3y |
2 |
5y |
, |
y |
= y 2y |
2 |
3y |
, |
1 |
1 |
3 |
|
|
1 |
3 |
|
3 |
1 |
3 |
|
|
|
|
= ( |
|
) y ( |
1 |
) y |
2 |
( |
1 |
) y |
, |
|
|
||||||
|
|
|
1 |
|
1 |
1 |
|
1 |
|
|
1 |
1 |
|
3 |
|
|
|
|||
= ( |
) y |
( |
)(2 y 3y |
2 |
5y |
) ( |
|
|
)( y |
|
2y |
2 |
3y ), |
|||||||
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
1 |
3 |
|
|
|
1 |
1 |
1 |
1 |
|
|
3 |
where characteristic polynomials
(2.97)
where |
a ( ) = 1 |
1 |
The limit value
|
|
( ) = a ( ) a |
( ) a |
( ), |
|
|
|
|
3 |
2 |
|
|
(2.98) |
|
2 |
1 |
2 |
3 |
|
( |
|
|
), |
a |
( ) = 1 ( |
|
), |
a |
( ) = |
. |
|
1 |
1 |
|
2 |
1 |
1 |
1 |
|
3 |
1 |
|
|
|
0 |
is determined from the condition of Hurwitz of polynomial |
|||||||||
|
2 ( ). As follows from (2.97) the following identities hold:
( (t)) = y1(t) y1 y2 2y3 ,
(t) = ( 1 1 ) y1 (t) ( 1 1) y2 (t) ( 1 1 1 ) y3 (t),
(t) = ( 1 1 ) y1 (t) ( 1 1 )[2 y1 (t) 3y2 (t) 5y3 (t)]
( 1 1 1 )[ y1 (t) 2y2 (t) 3y3 (t)], |
t I = [0, ). |
(2.99) |
C. Improper integrals. As follows from Theorem 9 the improper integral
125
Lectures on the stability of the solution of an equation with differential inclusions
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(t) 3 y(t) dt = |
||
|
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* |
|
* |
* |
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I1 = ( (t)) 1 |
(t)dt = y |
(t) 1 y(t) y |
(t) 2 y(t) y |
||||
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
where
( (t)),
(t)
( )
=( ) 1d < ,
(0)
is determined by identities (2.99), matrices
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( |
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) |
0 |
0 |
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1 |
1 |
1 |
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= |
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0 |
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0 |
0 |
, |
1 |
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0 |
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0 |
0 |
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( 2 |
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) |
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( 2 |
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(2 4 |
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) |
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1 |
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1 |
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2 |
= |
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0 |
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0 |
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( |
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) |
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1 |
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( |
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4 |
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) |
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1 |
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(4 |
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5 4 |
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) |
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1 |
1 |
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1 |
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1 |
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1 |
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1 |
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1 |
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2 |
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1 |
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1 |
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1 |
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= |
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( 4 |
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) |
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( 2 |
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) |
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1 |
(4 7 4 |
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3 |
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2 |
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2 |
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) . |
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1 |
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1 |
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1 |
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1 |
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1 |
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1 |
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1 |
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1 |
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1 |
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1 |
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1 |
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1 |
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1 |
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(4 |
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5 4 |
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) |
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1 |
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(4 |
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7 4 |
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( 4 |
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6 4 |
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) |
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1 |
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1 |
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1 |
1 |
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2 |
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1 |
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1 |
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2 |
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1 |
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1 |
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1 |
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Improper integral |
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(t) 2 y (t) 3y |
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(t) 5 y |
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(t) |
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y* (t)N |
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y |
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3 |
= |
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y* (t)N |
2 |
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2 |
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1 |
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2 |
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3 |
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dt = |
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1 |
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y |
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(t) y (t) 2 y |
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(t) 3y |
(t) |
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0 |
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3 |
2 |
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1 |
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3 |
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(t)P3 y(t) dt = 0, |
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* |
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* |
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* |
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y |
(t)P1 y(t) y |
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(t)P2 y(t) y |
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0 |
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where |
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m11 |
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m12 |
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n11 |
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n12 |
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N1 = |
m21 |
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m22 |
, N2 |
= n21 |
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n22 |
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, |
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m |
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m |
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n |
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|
n |
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31 |
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32 |
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|
31 |
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|
32 |
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|
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|
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|
|
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|
|
|
|||||||||||
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|
|
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|
|
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|
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|
|
|
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|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
1 |
n11 |
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1 |
n12 |
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|
|
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|
|
|
|
|
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|
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|||||||||||
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2 |
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|
2 |
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|
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||||||||||||||||
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|||||||
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|
1 |
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|
|
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1 |
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|
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|
|
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|
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|
|
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|||||||
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|
P = |
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n |
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|
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|
|
n |
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|
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|
(n |
|
|
n |
|
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||||||||||||||||||
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) |
, |
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|||||||||||||||||
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2 |
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2 |
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||||||||||||||||||||||
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1 |
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11 |
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21 |
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31 |
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22 |
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|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
n12 |
|
|
1 |
(n31 n22 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n32 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
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|
|
|
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|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
126
Chapter II. Absolute stability and Aizerman’s problem of multidimensional regulated systems
|
|
2n11 n12 |
|
3n11 2n12 |
|
5n11 3n12 |
|
|
|||
|
|
2n21 n22 m11 |
3n21 2n22 m21 |
5n21 3n22 m31 |
|
||||||
P2 |
= |
, |
|||||||||
|
|
2n n m |
3n 2n m |
5n 3n m |
|
||||||
|
|
31 |
32 |
12 |
31 |
32 |
22 |
31 |
32 |
32 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2m |
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
P = |
1 |
( 3m |
2m |
2m |
m |
|
|
) |
||
2 |
|
|
||||||||
3 |
|
|
11 |
21 |
12 |
|
22 |
|
||
|
|
|
|
|
||||||
|
|
1 |
(5m |
2m |
3m |
m |
|
) |
||
|
|
|
|
|
||||||
|
2 |
11 |
31 |
12 |
32 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
( 3m |
|
2m |
|
2m |
|
m |
) |
1 |
(5m |
2m |
|
|
3m |
m |
) |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
2 |
11 |
21 |
|
12 |
22 |
|
2 |
11 |
31 |
12 |
32 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
3m |
2m |
|
|
|
|
1 |
(5m |
3m |
|
3m |
2m |
|
) |
|
||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
21 |
|
|
22 |
|
|
|
|
21 |
21 |
|
22 |
32 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
1 |
(5m |
3m |
2m |
|
2m |
) |
|
|
|
5m |
3m |
|
|
|
|
|||||
|
22 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
2 |
21 |
|
31 |
|
|
|
32 |
|
|
|
|
31 |
|
|
32 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Then improper integral
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
(t)W y(t) dt = |
I |
|
= I |
I |
|
= |
|
* |
(t)R y |
(t) y |
* |
* |
|||
5 |
3 |
|
|
|
(t) y(t) y |
|||||||||
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
1 |
|||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
( ) 1d < , |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(0) |
|
|
|
(2.100)
where |
R = |
|
P |
, |
|
1 |
1 |
1 |
P |
equal to |
3 |
|
= |
2 |
P , |
1 |
|
2 |
W = |
P . |
|
1 |
3 |
3 |
If we select elements of the matrix
|
|
|
|
m |
= 2k |
( |
), |
m = 3k |
( |
), |
|||||||||||||
|
|
|
|
11 |
|
|
|
1 |
1 |
|
1 |
|
|
21 |
|
|
1 |
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
m |
|
= k |
( |
|
), |
m |
|
= 2k |
|
( |
|
), |
|||||||||
|
|
12 |
|
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
22 |
1 |
1 |
|
1 |
1 |
|
1 |
|
|||||
|
|
|
m = 5k 2 |
( |
), |
m |
|
= 3k 2 |
( |
|
), |
||||||||||||
|
|
|
|
31 |
|
|
1 |
|
1 |
1 |
|
32 |
1 |
1 |
|
|
1 |
1 |
1 |
|
|
||
where |
k |
> 0, |
k > 0 are any numbers, then the matrix |
W |
has the form |
|
|
||||||||||||||||
1 |
|
1 |
|
|
(2.101)
|
|
|
|
|
9k k |
6k 2k |
|
10k 3k |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
W = |
|
|
6k 2k |
9k 4k |
|
15k 6k . |
|
|
|||||
|
|
1 |
|
|
|
1 |
1 |
|
|
1 |
|
|
|
||
|
|
|
|
10k 3k |
15k 6k |
25k 9k |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
1 |
|
|
||
Notice, that matrix W1 > 0 for all k1 > 0, k > 0, indeed, |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
4k k |
6k 2k |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
= 4k k |
> 0, |
|
|
= |
|
1 |
1 |
|
= kk > 0, |
|
|
. |
|||
2 |
|
|
|
|
|W |= 163kk |
||||||||||
1 |
1 |
|
|
|
6k |
2k |
9k 4k |
|
|
1 |
1 |
1 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
Quadratic form |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y*W1 y = k( 2 y1 |
3y2 |
5 y3 )2 k1 ( y1 2 y2 3y3 )2 . |
|
(2.102) |
127
Lectures on the stability of the solution of an equation with differential inclusions
Matrices R1, 1 are equal
|
|
|
|
|
( |
|
|
) |
|
n |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
|
|
|
12 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
1 |
|
1 |
1 |
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
||
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
1 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
R = P = |
|
|
11 |
|
|
|
n |
|
|
|
|
(n |
n |
) |
||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
, |
|||||||
1 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
21 |
|
|
31 |
22 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
n |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
(n |
|
n |
|
) |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
22 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
31 |
|
|
|
32 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2n |
|
n |
|
( 2 |
|
) |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
12 |
1 |
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
= |
|
2 |
P = |
|
|
|
2n |
n |
|
m |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
21 |
22 |
|
|
11 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2n |
n |
|
m |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
31 |
32 |
|
|
12 |
|
|
|
|
|||
3n |
2n |
( 2 |
|
) |
|
5n |
3n |
|
(2 4 |
|
) |
||||||||||
11 |
12 |
1 |
|
|
1 |
1 |
|
1 |
|
|
11 |
|
12 |
|
1 |
|
1 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
3n |
2n |
|
m |
|
|
|
|
|
5n |
|
|
3n |
m |
|
, |
|||||
|
21 |
|
22 |
|
21 |
|
|
|
|
|
|
21 |
|
22 |
|
31 |
|
|
|||
|
3n |
2n |
|
m |
|
|
|
|
|
5n |
|
|
3n |
m |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
31 |
|
32 |
|
22 |
|
|
|
|
|
|
31 |
|
32 |
|
32 |
|
where
m |
, |
11 |
|
m |
, |
m |
, |
m |
, |
m |
, |
21 |
|
31 |
|
12 |
|
22 |
|
m32
are determined by the formula (2.101). As
follows from the condition of Theorem 13, the equality 1 = 1* must be fulfilled. Consequently, the following equalities are true
2n21 n22 m11 = 2n21 n22 2k 1( 1 1) =
=3n11 2n12 1( 1 1 2 1),
2n31 n32 m12 = 2n31 n32 k1 1( 1 1 1 ) =
=5n11 3n12 1(2 1 1 4 1),
(2.103)
(2.104)
3n |
2n |
m |
= 3n |
2n |
2k |
|
( |
|
) = |
|
31 |
32 |
22 |
31 |
32 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
= 5n |
|
21 |
|
Consider a special case, when (2.105), we have
3n |
5k |
22 |
|
n |
= 0, |
11 |
|
2 |
( |
1 |
1 |
n |
= 0. |
12 |
|
|
1 |
). |
(2.105) |
|
|
In this case, from (2.103)–
2n21 n22 = 2k 1( 1 1),
2n31 n32 = k1 1 ( 1 2 1 3 1 ),
3n31 2n32 5n21 3n22 = 2k1 5k 1 ( 1 1 1 ). (2.106)
Matrix R1 can be written as
128
Chapter II. Absolute stability and Aizerman’s problem of multidimensional regulated systems
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
|
1 |
|
1 |
R = |
|
|
0 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
As follows from (2.107) matrix
1 )
R |
= |
1 |
|
0
n21
12 (n31 n22 )
* |
0 |
when |
R1 |
1
2
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(n n |
|
) . |
(2.107) |
31 |
22 |
|
|
n32 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
) 0, |
n |
0, |
n |
0, |
n |
n |
= 2n |
, |
n |
n . |
|
1 |
1 |
1 |
|
21 |
|
32 |
|
31 |
22 |
21 |
|
32 |
21 |
(2.108)
Solutions of the system of algebraic equations (2.106) are:
|
n |
= 3k |
( |
), |
n |
= 2k |
( |
), |
|
|||||||
|
21 |
|
1 |
1 |
1 |
|
1 |
|
31 |
|
1 |
|
1 |
1 |
|
|
n |
= 4k |
(2 3 |
1 |
), |
n |
= 4k k |
|
( |
), |
|||||||
22 |
|
1 |
1 |
1 |
|
|
32 |
|
1 |
|
1 |
|
1 |
1 |
|
(2.109)
where |
k > 0, |
k |
> 0 |
are arbitrary numbers. From ratios (2.107)– (2.109) it follows |
|
1 |
|
that the set of values |
|
1 |
, |
|
, |
|
1 |
, for which Iserman’s problem has a solution, |
|
|
1 |
|
|
belongs to the set
= {( |
, |
, |
) | |
1 |
< 0, |
|
( |
|
) 0, |
n |
n |
0}. |
1 |
1 |
1 |
|
|
1 |
1 |
1 |
|
32 |
21 |
|
(2.110)
Here |
|
|
1 |
< 0 |
|
|
follows from Hurwitz of the matrix |
A |
= A ( ) |
for any arbitrarily |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
small |
value |
> 0, |
inequalities |
|
1 |
( |
|
) 0, |
n |
n |
0, |
|
n |
|
n |
= 2n |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
32 |
|
|
21 |
|
|
|
31 |
|
|
|
22 |
|
|
21 |
|||||||||||||||
ensure the fulfillment of the condition |
R |
= R |
* |
0. |
Values |
n |
|
, |
n |
, |
|
n |
|
, |
n |
|
from |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
21 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
31 |
|
|
22 |
|
32 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
* |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
(2.109) provide symmetry of the matrix |
|
|
|
|
i.e. |
|
As follows from (2.102) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
1 |
1 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
matrices |
W = W |
* |
> 0 |
when |
k > 0, |
k > 0. |
|
|
Thus, all conditions of theorem 13 are |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
satisfied, |
|
consequently, |
|
for |
all |
( 1, 1, 1) Iserman’s problem has a |
solution. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Notice, that for every triple |
|
( 1, 1, 1) limit value |
|
0 |
is determined from the |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
condition of Hurwitz of polynomial |
|
2 |
( ) |
from (2.98). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
In particular triples |
( = 0.1; = 1; |
1 |
= 0.5) . |
Indeed, |
|
1 |
= 0.5 < 0, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
1( 1 1) = 1.5 1 > 0, |
1 < 0, |
n21 |
= 3k 1.6 1 > 0, |
n |
|
= 4k k |
0.6 |
1 |
> 0 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
32 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
when |
1 |
= 7k 2k1 < 0, |
|
k > 0, |
|
k1 > 0. |
|
Since |
|
the |
|
values |
|
a1 |
= 1 1.5 , |
||||||||||||||||||||||||||||||
a2 = 1 0.4 , |
|
|
a3 = 0.5 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
then |
|
the |
limit |
value |
|
0 = 0.88. |
In |
|
the |
sector |
||||||||||||||||||||||||||||||||
[ , 0.88 ], |
> 0 is an arbitrarily |
|
small |
number, |
|
Iserman’s |
problem |
has a |
solution.
129
Lectures on the stability of the solution of an equation with differential inclusions
For triple ( 1 = 0.2; 1 = 0.4; 1 |
= 0.5) . a1 |
= 1 0.1 , |
a2 = 1 1.1 , |
|||||||||||||||
a3 = 0.5 , the limit value |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
0 = . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Iserman’s problem for two-dimensional system. The equation of the regulated |
||||||||||||||||||
system has the form |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
x = x 1( 1) 2 ( 2 ), |
|
1 = 1( 1), 2 = 2 ( 2 ), |
|
1 = 1x1 1 1 1 2 , |
||||||||||||||
|
|
2 = 2 x1 |
2 1 2 2 , t I = [0, ], |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
)) C(R2 , R2 ) | ( |
|
|
|
|
|
|
||||||
( ) |
0 |
= { ( ) = ( ( |
), |
( |
2 |
) = |
|
( |
), |
|||||||||
|
|
1 |
1 |
2 |
|
|
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
|
( ) = |
2 |
|
2 |
( |
2 |
), |
( |
) = ( |
( |
), |
2 |
( |
2 |
)), |
(0) = 0, |
||||||
2 |
2 |
|
, |
|
|
= ( |
, |
|
1 |
1 |
|
, |
|
|
|
< }, |
||||||
|
| ( ) | |
|
, |
|
) R |
|
0 < |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
* |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
* |
|
(2.111)
where > 0 is an arbitrarily small number,
For this example, matrices |
A |
= A ( ), |
1 |
1 |
= B1,
diag ( |
, |
2 |
), |
|
1 |
= |
2 |
= . |
1 |
|
|
|
|
|
, |
S |
are equal to: |
|
1 |
|
|
|
1 ( |
|
) |
( |
|
) |
( |
|
|
|
) |
1 |
0 |
|
||||
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
1 |
2 |
|
|
1 |
|
|
2 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
A = A |
( ) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
, |
= |
|
|
, |
||||
1 |
1 |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
B = |
|
1 |
0 |
|
z = |
|
|
|
S |
|
|
|
|
|
||
|
, |
|
, |
= |
|
1 |
|
1 |
|
|||||||
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 2
.
The equation (2.111) in the vector form can be written as:
z = A z B ( ), |
= S z, |
z(0) = z |
, |
| z |
0 |
|< , |
t I. |
|
1 |
1 |
1 |
0 |
|
|
|
|
If the matrix |
A = A ( ) |
is a Hurwitz matrix, the function |
|
|
|||||||||||||
1 |
1 |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
( ) = { ( ) C(R2 , R2 ) | 0 |
( |
) |
i |
2 |
, i = 1,2, |
||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
i |
i |
|
|
0i i |
|
||
|
|
= ( |
, |
2 |
), |
(0) = 0, | ( ) | |
, |
|
0 < |
* |
< }, |
||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
* |
|
|
|
|
(2.112)
where (0) = 0 only when = 0, then the system (2.112) has the only equilibrium state z* = (x*, * ) = 0.
Characteristic polynomial of matrix A1 = A1( ) is equal to
1 ( ) =| I3 A1 |= 3 a1 2 a2 a3 ,
130