- •С.Н.Дементьев, а.М.Слиденко, с.О.Стрыгина
- •Воронеж
- •Дементьев с.Н.
- •Часть I. Теория вероятностей Введение
- •Основные понятия
- •Классическое определение вероятности
- •Основные понятия комбинаторики
- •Геометрическое определение вероятности
- •Статистическое определение вероятности
- •Примеры решения индивидуальных заданий
- •Основные понятия
- •Примеры решения индивидуальных заданий
- •Основные понятия
- •Основные понятия
- •Формула Бернулли
- •Формула Пуассона
- •Локальная формула Лапласа
- •Интегральная формула Лапласа
- •Основные понятия
- •Основные понятия Равномерное распределение
- •Показательное (экспоненциальное) распределение
- •Примеры решения индивидуальных заданий
- •Основные понятия
- •Пример решения индивидуального задания
- •Основные понятия
- •Распределение Стьюдента ( распределение)
- •Распределение Фишера ( -распределение)
- •Примеры решения индивидуальных заданий
- •Основные понятия
- •Часть II. Математическая статистика Введение
- •Основные понятия Методика рациональной организации выборки большого объема
- •Нахождение точечных и интервальных статистических оценок неизвестных числовых характеристик теоретических распределений
- •Основные понятия
- •Проверка гипотезы о равенстве дисперсий двух нормально распределенных генеральных совокупностей
- •Проверка гипотезы о равенстве средних
- •Дисперсии которых неизвестны и одинаковы
- •Проверка гипотезы о нормальном распределении случайной величины с помощью критерия Пирсона
- •«Проверка статистических гипотез»
- •«Проверка статистических гипотез»
- •Основные понятия
- •«Однофакторный дисперсионный анализ»
- •«Однофакторный дисперсионный анализ»
- •Основные понятия
- •Проверка качества модели регрессии с помощью коэффициента детерминации
- •Проверка значимости регрессии по критерию Фишера
- •Построение доверительных интервалов для генеральных параметров регрессии
- •Построение доверительного интервала для прогноза индивидуального значения отклика
- •«Корреляционный и регрессионный анализ»
- •«Корреляционный и регрессионный анализ»
- •Часть III. Примеры лабораторных работ по математической статистике в системе mathcad Темы лабораторных работ и их основные цели
- •Лабораторная работа №1 (листинги 1-5) Распределения, связанные с нормальным законом распределения
- •Лабораторная работа №2 (листинги 6-8) Метод статистических испытаний (метод Монте-Карло)
- •Лабораторная работа №3 (листинги 9-15) Описательные статистики
- •Лабораторная работа №4 (листинги 16-18) Проверка гипотезы о нормальном распределении
- •Лабораторная работа №5 (листинги 19-24) Примеры проверки статистических гипотез
- •Лабораторная работа №6 (листинги 25-27) Однофакторный дисперсионный анализ
- •Лабораторная работа №7 (листинги 28-31) Корреляция и регрессия
- •Продолжение приложения 2
- •Приложение 4
- •Критические точки распределения Фишера
- •Критические точки распределения Фишера
- •Примеры тестовых вопросов по теории вероятностей и математической статистике
- •394087, Воронеж, ул. Мичурина, 1
Основные понятия
В разделе теории вероятностей, изучающем случайные события, принято отдельно рассматривать опыт, состоящий в повторении одинаковых испытаний.
Пусть событие А может произойти в некотором испытании с вероятностью р и не произойти с вероятностью q (q = 1–р). Независимо друг от друга проводится n таких испытаний. Эту ситуацию называют схемой Бернулли. В схеме Бернулли ставятся два основных вопроса: какова вероятность появления события А в n испытаниях k раз и какова вероятность появления события А в n испытаниях не менее раз, но не более раз в данной схеме Бернулли. Сначала необходимо научиться вычислять .
Формула Бернулли
Эта формула имеет вид
и используется при небольших значениях n.
Пример 4.1. Вероятность того, что станок в течение часа потребует внимания рабочего, равна 0,6. Найти вероятность того, что из четырех обслуживаемых потребует внимания один станок.
Решение. Воспользуемся формулой Бернулли при
; :
= =
.
З а м е ч а н и е. Вероятности того, что в независимых испытаниях событие наступит а) менее раз; б) более раз; в) не менее раз; г) не более раз, находят соответственно по формулам:
а)
б)
в)
г)
Пример 4.2. Монету подбрасывают шесть раз. Найти вероятности того, что при этом герб выпадет 1) два раза; 2) не менее двух раз; 3) менее двух раз.
Решение. Подбрасывание монеты шесть раз последовательность независимых испытаний. В каждом испытании происходит либо событие {выпадение герба}, либо событие {выпадение цифры}. Так как эти события равновозможные, то
Рассмотрим интересующие нас события:
{герб выпадет два раза};
{герб выпадет не менее двух раз};
{герб выпадет менее двух раз}.
Для расчета вероятностей этих событий воспользуемся формулой Бернулли и формулами а, б. У нас , поэтому получаем:
1)
2)
;
3)
Формула Пуассона
Когда число испытаний велико, вычисление затруднительно, поэтому формулу Бернулли заменяют приближенной формулой. Если n велико и р 0 (р<0,1), используют формулу Пуассона
,
где
.
Пример 4.3. Завод отправил на базу 500 деталей. Вероятность повреждения детали в пути равна 0,002. Какова вероятность повреждения в пути трех деталей.
Здесь схема Бернулли с n = 500, p = 0,002. Так как p 0 и n велико, то для отыскания применим формулу Пуассона c =500·0,002=1
Локальная формула Лапласа
Если n велико и р не близко к 0 или 1, то используют локальную формулу Лапласа (Муавра – Лапласа)
,
где , а
Значения (х) затабулированы для х[0,4] (приложение 1). Для х[0,4] значения (х) определяют, используя ее свойства:
1) четность;
2) при .
Функцию (х) называют функцией Гаусса, а ее график кривой Гаусса (рис. 4.1).
Рис. 4.1. Кривая Гаусса
Пример 4.4. Найти вероятность поражения мишени 250 раз при 600 выстрелах, если вероятность попадания при одном выстреле равна 0,4.
Решение. Имеем схему Бернулли с n = 600, p = 0,4 и k = 250. искомая вероятность . Для ее отыскания применим локальную формулу Муавра – Лапласа.
Найдем сначала
.
Затем по таблице приложения 1 находим (0,833)=0,282 и, наконец, искомую вероятность