- •Вопросы по ВиТа (Матанализу)
- •3. Несобственные интегралы, зависящие от параметра.
- •5. Эйлеровы интегралы: бета-функция и ее свойства (8 утверждений). Два вида записи бета-функции. Вычисление интеграла .
- •Доказательство.
- •8. Разбиение, диаметр разбиения, интегральная сумма. Определение и свойства кратных интегралов: интеграл Римана, свойства интегралов). Условия интегрируемости функции. Классы интегрируемых функций.
- •27. Криволинейная система координат. Коэффициенты Ламе. Выражение операций: градиент, дивергенция, ротор, оператор Лапласа в криволинейных координатах.
- •4. Оператор Лапласа определяется как . Тогда, используя выражения (230) и (234), получим:
Вопросы по ВиТа (Матанализу)
1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.
Теоремы о непрерывности (с доказательством), дифференцируемости и интегрируемости.
Правило Лейбница нахождения производной.
Примеры.
2. Несобственные интегралы, зависящие от параметра.
Равномерная сходимость, признаки равномерной сходимости (признак Вейерштрасса с доказательством).
Примеры.
3. Несобственные интегралы, зависящие от параметра.
Теоремы о непрерывности, дифференцируемости и интегрируемости.
Примеры.
4. Эйлеровы интегралы: гамма-функция и ее свойства (7 утверждений). Примеры.
Гамма-функция Эйлера Γ(x) (эйлеров интеграл второго рода) определяется как несобственный интеграл Γ(x)=+∞∫0tx−1e−tdt, x>0 с двумя особыми точками, t=0 и t=+∞.
Для того чтобы можно было применить теоремы об интегралах, зависящих от параметра, представим интеграл (1) в виде суммы двух интегралов Γ(x)=1∫0tx−1e−tdt++∞∫1tx−1e−tdt. Оба интеграла сходятся равномерно по параметру x на любом конечном отрезке [a,b]⊂(0,+∞) по признаку Вейерштрасса. Действительно, пусть 0<a<1, b>1. Тогда 0≤tx−1e−t≤ta−1 при x≥a, 0≤t≤1 и 1∫0ta−1dt=a−1. Следовательно, интеграл 1∫0tx−1e−tdt сходится равномерно на [a,b].
Аналогично 0≤tx−1e−t≤tb−1e−t при x≤b, t≥1, интеграл +∞∫1tx−1e−tdt сходится, а интеграл +∞∫1tx−1e−tdt сходится равномерно на [a,b].
Так как подынтегральная функция tx−1e−t непрерывна при t>0, x>0, то в силу теоремы 4 отсюда оба интеграла в формуле (2) будут непрерывными функциями параметра x на произвольном отрезке [a,b]⊂(0,+∞), а поэтому Γ(x) есть непрерывная функция при x>0.
При x>0 функция Γ(x) непрерывно дифференцируема, причем Γ′(x)=1∫0tx−1e−tlnt dt++∞∫1tx−1e−tlnt dt=+∞∫1tx−1lnt e−tdt. Дифференцирование под знаком интеграла законно, так как оба интеграла в формуле (3) сходятся равномерно по параметру x на любом отрезке [a,b]⊂(0,+∞).
По индукции можно доказать, что Γ(x) есть бесконечно дифференцируемая функция при x>0 и Γ(n)(x)=+∞∫0tx−1e−t(lnt)ndt. В частности, Γ″(x)=+∞∫0tx−1e−t(lnt)2dt>0. Поэтому Γ(x) — выпуклая вниз функция при x>0 и имеет единственный положительный минимум. Нетрудно было бы показать, что формула (3) имеет место и для комплексных x при Re x>0, и поэтому Γ(x) есть регулярная функция комплексной переменной x в правой полуплоскости Re x>0.
Выведем теперь основное функциональное соотношение для гамма-функции. Пусть x>0. Интегрируя по частям, находим Γ(x+1)=+∞∫0txe−tdt=−e−ttx|+∞0+x+∞∫0tx−1e−tdt=xΓ(x),Γ(x+1)=xΓ(x), x>0.
Это и есть основное функциональное соотношение для гамма-функции, найденное Эйлером. На нем в значительной мере основана теория гамма-функции.
Прежде всего заметим, что если x∈(0,1], то x+1∈(1,2]. Поэтому, зная значения Γ(x) на промежутке (0,1], можно при помощи формулы (5) найти значения Γ(x) на промежутке (1,2], а следовательно, и на любом отрезке [n,n+1], n=1,2,… Это существенно облегчает вычисление значений гамма-функции.
Далее, формула (5) позволяет исследовать поведение Γ(x) при
x→+0x→+0. Имеем
Γ(x)=Γ(x+1)x∼Γ(1)x при x→+0,Γ(x)=Γ(x+1)x∼Γ(1)x при x→+0,
так как Γ(x+1)Γ(x+1) — непрерывная функция при x=0x=0, а Γ(1)=∫0+∞e−tdt=1Γ(1)=∫0+∞e−tdt=1. Таким образом, Γ(x)→+∞Γ(x)→+∞ при x→+0x→+0.
Из формулы (5)(5) находим
Γ(n+1)=nΓ(n)=n(n−1)…1⋅Γ(1)=n!.Γ(n+1)=nΓ(n)=n(n−1)…1⋅Γ(1)=n!.
Функция n!n! определена для натуральных nn. Гамма-функция Γ(x)Γ(x) непрерывна для всех x>0x>0 и Γ(n+1)=n!Γ(n+1)=n!.
Формула (5)(5) позволяет продолжить функцию Γ(x)Γ(x) с сохранением ее свойств на отрицательные значения xx, не равные −1,−2,…,−n,…−1,−2,…,−n,…
Положим по определению
Γ(x)=Γ(x+1)x, −1<x<0.(6)(6)Γ(x)=Γ(x+1)x, −1<x<0.
Так как при x∈(−1,0)x∈(−1,0) имеем x+1∈(−1,0)x+1∈(−1,0), то определение (6) корректно. Исследуем поведение Γ(x)Γ(x) при x→−1+0x→−1+0. Полагая y=x+1y=x+1, получаем, что x→−1+0x→−1+0 эквивалентно y→+0y→+0. Поэтому при y→+0y→+0, используя (6), получаем
Γ(y−1)=Γ(y)y−1∼−Γ(y)∼−1y=−1x+1.Γ(y−1)=Γ(y)y−1∼−Γ(y)∼−1y=−1x+1. Итак,
Γ(x)∼−1x+1, x→−1+0.Γ(x)∼−1x+1, x→−1+0.
По индукции теперь можно определить Γ(x)Γ(x) на любом интервале (−(n+1),−n)(−(n+1),−n), где n∈Nn∈N, формулой Γ(x)=Γ(x+1)xΓ(x)=Γ(x+1)x, x∈(−(n+1),−n)x∈(−(n+1),−n), причем Γ(x)∼(−1)nx+nΓ(x)∼(−1)nx+n при x→−nx→−n.