новая папка 1 / 695252
.pdfCopyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ
УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
«ЛИПЕЦКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Кафедра высшей математики
Математические методы систем управления
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к практическим занятиям для магистров
И.И. Супрунов
Липецк Липецкий государственный технический университет
2018
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
УДК 517(07)
С899
Рецензент – Шмырин А.М., д-р техн. наук, проф.
Супрунов, И.И.
С899 Математические методы систем управления [Текст]: метод. указ. к прак-
тическим занятиям для магистров / И.И. Супрунов. – Липецк: Изд-во Липецкого государственного технического университета, 2018. – 16 с.
Методические указания содержат основной теоретический материал и ма-
тематический аппарат теории управления. Рассматриваются широко применяе-
мые математические модели и системы управления.
Предназначены магистрам физико-технологического факультета ЛГТУ направлений 27.04.03 «Системный анализ и управление» и 01.04.03 «Механика и математическое моделирование».
Ил.: 11. Библиогр.: 5 назв.
© ФГБОУ ВО «Липецкий государственный технический университет», 2018
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
1. Основы теории управления и классификации систем
1.1. Управление и системы управления
Термин «управление» в современном мире имеет множество трактовок и определений, относится к самым разным сферам деятельности человека, исполь-
зуется во многих отраслях знаний и науках как технического, так и гуманитар-
ного цикла. Часто возникают задачи управления целыми системами и процес-
сами в различных областях, в исследовательских работах и направлениях.
В широком смысле, управление – это регулирование и корректировка ка-
кого-либо процесса. В нашем случае речь идёт о целой области знаний, которая носит название «теория управления» – это наука о принципах и методах управ-
ления различными объектами и системами. Её основная задача состоит в постро-
ении абстрактной модели, которая позволит получить алгоритм управления в ди-
намике. При этом необходим предварительный анализ и определение типа дан-
ной системы.
В теории управления при описании систем в первую очередь выделяют по-
нятие объекта управления (ОУ). Под ним понимают математическую модель реального или гипотетического динамического процесса, протекание которого зависит от прикладываемых к нему внешних воздействий [1]. Такие воздействия называют входом для данного объекта или управлением. В источниках [2, 3, 4]
используется термин управляющее устройство (УУ). Совместно они образуют
систему управления (СУ) – совокупность управляющего устройства (УУ) и
объекта управления (ОУ). Действия системы управления направлены на дости-
жение некоторого результата – цели управления (рис. 1).
Рис. 1. Общая схема системы управления
3
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
При этом управляющее устройство должно реализовывать следующие функции [2]:
•сбор данных;
•переработку информации;
•передачу информации;
•выработку команд управления.
Общая функциональная схема для системы управления, на которой пред-
ставлены блоки с соответствующим назначением, изображена ниже (рис. 2). Ис-
ходя из предметной области такая функциональная схема наполняется своим конкретным содержанием. Общим принципом формирования систем управления является принцип обратной связи [3, 4]: управление объектом осуществляется на основе получения информации о желаемом и текущем движениях объекта и их сравнении для нахождения ошибки и выработки такого управляющего воз-
действия, чтобы ошибка с течением времени стремилась к нулю и выполнялась конечная цель управления.
Рис. 2. Функциональная схема системы управления
1.2. Классификация систем управления
Классификация систем управления проводится по соответствующей мате-
матической модели. Математическая модель системы управления – это пара
«оператор системы и модель внешних воздействий» [4]. Оператором системы
называют закон, в соответствии с которым система преобразует входной
4
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
сигнал (вход) в выходной сигнал (выход). Именно объект управления определя-
ется оператором, который устанавливает соответствие между входом и выходом объекта. Общий вид математической модели с оператором системы представлен на рис. 3.
Рис. 3. Математическая модель системы управления
По виду оператора, с учётом состояния системы и матричных параметров системы, системы управления подразделяют:
•на линейные/нелинейные;
•стационарные/нестационарные;
•непрерывные/дискретные;
•одномерные/многомерные;
•сосредоточенные/распределенные.
В некоторых источниках дополнительно проводят разделение на детерми-
нированные и стохастические системы; также, помимо непрерывных или дис-
кретных моделей, дополнительно рассматривают вариант непрерывно-дискрет-
ных систем [4].
Дополнительно рассматривают классификацию входных сигналов, кото-
рые делятся:
•на одномерные/многомерные;
•непрерывные/дискретные (функции соответствующего аргумента);
•детерминированные/случайные.
Для определения данной конкретной системы нужно обязательно указать все классы, к которым принадлежит оператор системы. При этом дополнительно может потребоваться указание классов для внешних воздействий (входных
5
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
сигналов). Особый интерес для теории управления представляют исследования двух видов систем: сосредоточенные непрерывные многомерные линейные ста-
ционарные системы управления и сосредоточенные дискретные многомерные линейные стационарные системы управления.
1.3. Классификация задач расчета систем управления
Задачи расчета систем управления подразделяют на три группы (рис. 4):
а) задачи анализа;
б) задачи синтеза;
в) задачи идентификации.
Рис. 4. Классификация задач для систем управления:
а) задача анализа; б) задача синтеза; в) задача идентификации
Элементы системы, которые требуется найти в ходе решения каждой из задач, обозначены вопросительном знаком. Из рисунка становится понятным назначение каждой из задач: задача анализа – по заданному входу и оператору необходимо найти закон изменения выхода; задача синтеза – по известному вы-
ходному сигналу найти оператор и входной сигнал; задача идентификации – по входу и выходу определить оператор системы.
2. Формы математического описания систем управления
Для математической записи системы управления рассматривают все ос-
новные вышеуказанные определения с учётом конкретной постановки задачи.
Как правило, объекты управления описывают процессы, протекающие во вре-
мени, поэтому функции входа и выхода зависят от переменной t.
6
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Объект управления часто задаётся системой обыкновенных дифференци-
альных уравнений вида
x(t) = f (t, x(t), u(t)), |
(1) |
где x(t) – вектор состояния, содержащий n элементов, а вектор u(t) – входной сигнал, содержащий m элементов. Кроме того, задаётся уравнение выхода
y(t) = h(t, x(t)). |
(2) |
Необходимо отметить, что векторный входной сигнал u(t) также может обозначаться v(t). Первое обозначение наиболее часто используется при иссле-
довании управляемости системы: в этом случае рассматривают уравнение дина-
мики, а входное воздействие рассматривают как управляющее и обозначают в
системе символом u.
Запишем пример линейной стационарной (матрицы системы не зависят от
времени) системы в общем виде:
|
( |
|
) |
|
( |
|
) |
|
( |
|
) |
|
x |
|
t |
|
= Ax |
|
t |
|
+ Bu |
|
t |
|
, |
y |
(t ) = Cx |
(t ), |
|
|
|
(3) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где x(t) – «состояние» системы (внутренний сигнал), u(t) – «вход» системы (вход-
ной сигнал), y (t) – «выход» системы (выходной сигнал), A, B и C – постоянные матрицы; при этом x(t) , u(t) , y(t) , где , , являются про-
странствами соответствующей размерности (n, m, l). Систему управления назы-
вают скалярной, если m = l = 1. Если m > 1 или l > 1, то такую систему называют
векторной.
Рассмотрим понятия непрерывного оригинала и преобразования Лапласа для определения передаточной функции и использования её в математической записи систем и структурных схемах.
Непрерывный оригинал f (t) – действительная функция действительного переменного (времени), удовлетворяющая следующим условиям [5]:
1)f (t) 0 , t 0 (условие причинности);
2)f (t) M e t , t 0 , α – действительное число (условие ограниченного
роста);
7
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
3) f (t) может быть кусочно-непрерывной функцией при неотрицательном значении t, т.е. может иметь точки разрыва первого рода, где число α является показателем скачка (показатель роста).
L – изображение F (p) – комплексная функция комплексного переменного,
определяемая интегралом – преобразованием Лапласа:
L |
|
|
f (t) = F ( p) = L f (t) = e− pt f (t)dt . |
(4) |
|
|
0 |
|
Данный несобственный интеграл существует в комплексной плоскости при условии, что действительная часть аргумента p будет больше числа α (в этом случае он сходится).
Перейдём непосредственно к понятию передаточной функции. Согласно источнику [1] передаточной функцией скалярной стационарной системы назы-
вают отношение преобразования Лапласа вывода и входа системы соответ-
ственно при x (0) = 0 (т.е. при нулевых начальных условиях):
|
|
|
|
|
Y (s) |
|
|
W (s) = |
L |
|
y(t) |
= |
|
|
|
|
|
, |
(5) |
||||
L u(t) |
U (s) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
где Y (s) и U (s) - преобразования Лапласа для вывода и входа системы соответ-
ственно. Выразив Y (s) из формулы (5), получим
Y (s) =W (s) U (s) . |
(6) |
В случае векторной системы определяется передаточная матрица, с коли-
чеством строк и столбцов l и m соответственно. Элементами данной матрицы яв-
ляются передаточные функции от j-го входа к i-му выходу (при условии, что
остальные входы – нулевые):
|
L yi |
(t) Y (s) |
|
|||
Wij (s) = |
|
|
= |
i |
|
|
L u j (t) |
U j (s) |
. |
(7) |
3. Структурные схемы
Структурная схема – это графическое изображение системы в виде сово-
купности её частей и связей. Части системы выделяются по различным
8
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
признакам, а связи отображают направления, по которым передаются воздей-
ствия от одной к другой частям системы.
Более подробно рассмотрим основные элементы структурной схемы.
1. Динамические звенья с передаточными функциями W (s), которые изоб-
ражают на схемах в виде прямоугольников (рис. 5). Записав его в математиче-
ском виде, получим y =W (s) u .
Рис. 5. Динамическое звено с передаточной функцией
2. Функциональные преобразователи (рис. 6), которые также изображают прямоугольниками, с математической записью вида y(t) = f (u(t)).
Рис. 6. Функциональный преобразователь
3. Сумматоры, которые изображают разделенными на секторы кругами, и
мультипликаторы, изображаемые кругами с точкой внутри (рис. 7). В случае сумматоров к кругам подходят стрелки, изображающие слагаемые, а отходят стрелки, изображающие сумму. Для мультипликаторов это сомножители и про-
изведения соответственно. Особенность для сумматора: при обозначении вычи-
тания соответствующий сектор заштриховывают.
Рис. 7. Сумматор и мультипликатор
4. Линии связи, показывающие передачу воздействия без изменения в од-
ном направлении. Их геометрическая иллюстрация – линии со стрелками, кото-
рые указывают направление передачи. При этом сами сигналы (воздействия)
изображаются такими же линиями со стрелками.
9
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
5. Узлы или точки ветвления на линиях связи, изображаемые жирными точками со входящей/выходящей стрелками (рис. 8). Значения сигналов на этих стрелках равны между собой.
Рис. 8. Узел на линии связи
Необходимо также рассмотреть основные виды соединения элементов структурной схемы. Согласно источнику [1] среди них выделяют три вида: по-
следовательная, параллельная и обратная связь.
1. При последовательном соединении выход каждого звена соединяется со входом последующего звена и только с ним (рис. 9). При этом передаточная функция получается из произведения отдельных звеньев:
W (s) = W2 (s) W1 (s) , y = W2 (s) W1 (s) u .
Рис. 9. Последовательное соединение элементов схемы
2. При параллельном соединении входная переменная для всех звеньев одинакова, а выходные переменные суммируются (рис. 10). При этом передаточ-
ная функция получается из суммы отдельных звеньев:
W (s) = W1 (s) + W2 (s) , y = (W1(s) +W2 (s))u .
Рис. 10. Параллельное соединение элементов схемы
10