8.1234+9
.1.pdfДругие ИДЗ Рябушко можно найти на странице http://mathprofi.ru/idz_ryabushko_besplatno.html
ИДЗ 8.1.
Найти неопределенные интегралы (в заданиях 1-5 результаты интегрирования проверить дифференцированием).
1.20.
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Получена исходная подынтегральная функция, таким образом, интеграл найден |
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правильно. |
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Получена исходная подынтегральная функция, таким образом, интеграл найден |
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Другие ИДЗ Рябушко можно найти на странице http://mathprofi.ru/idz_ryabushko_besplatno.html
4.20.
cos(3x 7)dx |
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arctg |
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Получена исходная подынтегральная функция, таким образом, интеграл найден |
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правильно. |
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3x2 6 |
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1 e6 x 4 |
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e6 x 4dx |
e6 x 4d(6x 4) |
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C, |
где C const |
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9.20. |
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ln3 (x 5)dx ln3 (x 5)d(ln(x 5)) ln4 (x 5) C, |
где C const |
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(x 5) |
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4 |
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10.20.
cos5xdx (*)
sin3 5x
Проведем замену:
t sin 5x dt 5cos5xdx cos5xdx dt |
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dt |
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3 |
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(*) 1 |
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1 t 2 dt |
1 ( 2) t |
2 |
C |
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C, |
где C const |
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5 |
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t3 |
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5 |
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5 |
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sin 5x |
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11.20. |
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ctg4xdx |
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(*) |
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sin2 4x |
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Проведем замену: |
4dx |
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dx |
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dt |
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t ctg4x dt |
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sin2 4x |
sin2 4x |
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4 |
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1 |
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3 |
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ctg |
3 |
4x |
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(*) 1 |
|
|
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dt |
1 |
t 2 dt |
1 |
2 t 2 |
C |
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|
C, |
где C const |
|||||||||||||||||||||
|
t |
|
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4 |
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6 |
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|||||||||||||||||||||||||||||
4 |
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4 |
3 |
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|||||||
12.20. |
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dx |
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d(arctgx) |
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2 |
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arctgx C, |
где C const |
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(1 x2 ) |
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|
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|
|
|
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||||||||||||||||||||||
|
arctgx |
arctgx |
|
|
|
13.20.
e5 2 x2 xdx (*) Проведем замену:
t5 2x2 dt 4xdx xdx dt4
(*)14 et dt 14 et C 14 e5 2 x2 C, где C const
14.20.
|
(2x 4)dx |
|
|
d(x2 16) 4dx |
|
d(x |
2 16) |
4 |
|
dx |
|
|
||||||||||||
x |
2 |
16 |
x |
2 |
16 |
|
x |
2 |
16 |
x |
2 |
4 |
2 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|||||||||||||
|
|
|
2 |
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|
4 |
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x |
|
|
2 |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|||
ln(x |
|
16) |
|
|
arctg |
|
|
|
C ln(x |
|
16) |
arctg |
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C,где C const |
|||||||||
|
4 |
|
|
4 |
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4 |
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ИДЗ 8.2.
Найти неопределенные интегралы
1.20.
|
|
1 3x |
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3 d(4x2 1) dx |
|
3 |
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d(4x2 1) |
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1 |
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d(2x) |
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dx |
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8 |
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2 |
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4x |
2 |
1 |
|
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|
4x |
2 |
1 |
|
|
8 |
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4x |
1 |
2 |
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(2x) |
2 |
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1 |
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3 ln |
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4x2 1 |
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1 |
|
1 ln |
|
|
2x 1 |
|
C |
3 ln |
|
4x2 1 |
|
|
1 ln |
|
|
2x 1 |
|
C, где C const |
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|
|
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|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|
2x 1 |
2x 1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
8 |
|
|
|
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|
|
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2 |
|
2 |
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8 |
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4 |
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|||||||
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2.20. |
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e2 xdx |
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e2 x 3 |
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Проведем замену:
te2 x 3 dt 2e2 xdx e2 xdx dt2
(*)12 dtt 12 2t C e2 x 3 C, где C const
3.20.
|
(x3 |
|
1)dx |
|
|
x(x2 |
1) x 1 |
|
|
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x |
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1 |
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dx x |
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dx |
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x |
2 |
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1 |
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|
x |
2 |
1 |
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|
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x |
2 |
1 |
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x |
2 |
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1 |
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|
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xdx |
1 |
|
d(x2 1) |
|
|
dx |
|
|
|
x2 |
|
|
1 |
ln(x |
2 |
1) arctgx C, где C const |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
x |
2 |
1 |
|
x |
2 |
1 |
|
2 |
|
|
2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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||||||||||||
4.20. |
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|
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|
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|||
sin2 3xdx 1 cos6xdx |
1 dx |
|
1 |
cos6xdx |
x |
|
1 |
|
1 sin 6x C |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
2 |
|
2 |
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
sin 6x C, |
где C const |
|
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||||||||||||||||||||||
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12 |
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||||||||||||||||||||||||
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2 |
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|||
5.20. |
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ctg3xdx |
|
cos3xdx |
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|||||||
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3 |
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|
2 |
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1 |
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|||||||||||||
ctg |
|
|
3xdx ctg |
|
3xctg3xdx |
|
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1 ctg3xdx |
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2 |
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|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
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2 |
3x |
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sin |
3x |
sin 3x |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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sin |
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|||||||||||
|
1 |
ctg3xd(ctg3x) |
1 |
d(sin 3x) |
|
ctg2 3x |
1 ln |
|
sin 3x |
|
C, |
где C const |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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3 |
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3 |
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sin 3x |
|
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6 |
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|
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3 |
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|
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|||||||||
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|
|
|
|
|
|
6.20.
cos 2xdx dx (*) sin4 2x
Проведем замену:
t sin 2x dt 2cos 2xdx cos 2xdx dt |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
dt |
|
1 |
|
|
|
1 |
|
1 |
|
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7.20.
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x 2 |
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1 ln |
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3 x 2x2 |
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2x 3 |
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C, |
где C const |
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x 1 |
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1 d(4x2 x 5) |
65 dx |
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(x 8)dx |
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d(4x2 x 5) 65 |
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dx |
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4x2 x 5 |
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4x2 x 5 |
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2 4x2 x 5 |
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x |
2 |
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x |
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© http://mathprofi.ru Высшая математика – просто и доступно!
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ИДЗ-8.3.
Найти неопределенные интегралы
1.20. |
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ln |
t |
t2 |
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C ln |
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1 |
C |
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2 |
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x 1 |
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2 |
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(x 1)2 |
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x 1 |
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1 3x 3 x2 2x 1 |
C |
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1 |
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x2 x 1 |
C, |
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1 |
2 |
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(x 1)2 |
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x 1 |
2 |
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x |
1 |
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|
|
где C const
© http://mathprofi.ru Высшая математика – просто и доступно!
Приветствуется свободное распространение данного файла, пожалуйста, не убирайте копирайты
Другие ИДЗ Рябушко можно найти на странице http://mathprofi.ru/idz_ryabushko_besplatno.html
5.20.
(x2 3)cos xdx (*)
Дважды интегрируем по частям: u x2 3 du 2xdx
dv cos xdx v sin xudv uv vdu
(*) (x2 3)sin x 2 xsin xdx (*) u 2x du 2dx
dv sin xdx v cos x
(*) (x2 3)sin x 2xcos x 2 cos xdx (x2 3)sin x 2xcos x 2sin x C(x2 5)sin x 2xcos x C, где C const
6.20.
(x 8)sin 3xdx (*)
Интегрируем по частям: u x 8 du dx
dv sin 3xdx v 13 cos3x
udv uv vdu
(*) 13 (x 8)cos3x 13 cos3xdx 13 (x 8)cos3x 19 sin 3x C, где C const
7.20.
x cos(x 4)dx (*)
Интегрируем по частям: u x du dx
dv cos(x 4)dx v sin(x 4)
udv uv vdu
(*) xsin(x 4) sin(x 4)dx xsin(x 4) cos(x 4) C, где C const
8.20.
ln(x 8)dx (*) Интегрируем по частям:
u ln(x 8) du |
dx |
|
|
|
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|
|||
x 8 |
|
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dv dx v x |
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(*) xln(x 8) |
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xdx |
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xln(x 8) |
(x 8 8)dx |
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x 8 |
x 8 |
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||||||
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8 |
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xln(x 8) 1 |
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dx xln(x 8) x 8ln |
x 8 |
C, |
где C const |
||||
|
|
|
|||||||||
|
|
x 8 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
© http://mathprofi.ru Высшая математика – просто и доступно!
Приветствуется свободное распространение данного файла, пожалуйста, не убирайте копирайты
Другие ИДЗ Рябушко можно найти на странице http://mathprofi.ru/idz_ryabushko_besplatno.html
ИДЗ-8.4. |
|
|
|
|
1.20. |
|
|
|
|
|
6x2dx |
|
6x2dx |
(*) |
(x 1)(x2 3x 2) |
(x 1)(x 1)(x 2) |
Методом неопределенных коэффициентов разложим подынтегральную функцию в сумму элементарных дробей:
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A |
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B |
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C |
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6x2 |
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x 1 |
|
x 1 |
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x 2 |
(x 1)(x 1)(x |
2) |
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A(x 1)(x 2) B(x 1)(x 2) C(x 1)(x 1) 6x2 |
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
A(x2 3x 2) B(x2 x 2) C(x2 1) 6x2 |
|
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A B C 6 |
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C 6 A B |
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6A 6; A 1; B 3;C 8 |
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3A B 0 |
|
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3A B 0 |
|
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2A 2B C 0 |
3A B 6 |
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(*) |
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1 |
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3 |
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8 |
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dx ln |
x |
1 |
3ln |
x 1 |
8ln |
x 2 |
C, где |
C const |
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|
|
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|
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|
|
|
|
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2.20. |
|
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x 1 |
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|
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x 1 |
|
|
x 2 |
|
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(x |
3 |
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4x |
2 |
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2x 1)dx |
|
(x |
3 |
x |
2 |
3x |
2 |
2x 1)dx |
3x |
2 |
2x 1 |
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3 |
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2 |
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3 |
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|
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|
2 |
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|
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|
3 |
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2 |
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|
|
|
|
|
|
x |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
x |
|
1 |
|
x |
x |
dx |
||||||||||||||||||||
|
|
|
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|
x 3x22 2x 1dx (*)
x(x 1)
Методом неопределенных коэффициентов разложим подынтегральную функцию в сумму элементарных дробей:
|
A |
|
B |
|
C |
|
|
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3x2 |
2x 1 |
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x |
x2 |
x |
1 |
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x2 (x 1) |
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A(x2 x) B(x 1) Cx2 3x2 2x 1 |
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A C 3 |
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2 B 1; A 1;C 2 |
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A B |
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B 1 |
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1 |
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1 |
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2 |
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1 |
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(*) x |
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dx x ln |
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x |
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2ln |
x 1 |
C, |
где C const |
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x |
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2 |
x 1 |
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3.20. |
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(19x x2 34)dx |
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(*) |
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(x 1)(x2 |
4x 13) |
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Методом неопределенных коэффициентов разложим подынтегральную функцию в сумму элементарных дробей:
A |
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Bx C |
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19x x2 |
34 |
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x |
1 |
(x2 4x |
13) |
(x 1)(x2 |
4x 13) |
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A(x2 4x 13) B(x2 |
x) C(x 1) 19x x2 34 |
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A B 1 |
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B A 1 |
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20 |
18A 54 |
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4A B C 19 |
5A C |
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13A C 34 |
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13A C 34 |
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A 3; B 2;C 5 |
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2x 5 |
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dx |
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d(x |
2 |
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4x 13) 9dx |
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(*) |
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3 |
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dx 3 |
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2 |
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2 |
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(x |
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4x 13) |
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x 1 |
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(x |
4x 13) |
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x 1 |
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3ln |
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x 1 |
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d(x2 4x 13) |
9 |
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dx |
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(x |
2 |
4x 13) |
(x |
2 |
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4x 4 9) |
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3ln |
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x 1 |
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ln(x |
2 |
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4x 13) 9 |
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d(x 2) |
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(x 2) |
2 |
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2 |
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3 |
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3ln |
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x 1 |
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ln(x |
2 |
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4x 13) 3arctg |
x 2 |
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C, |
где C const |
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3 |
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4.20. |
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(4x2 2)dx |
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(4x2 |
2)dx |
(*) |
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x4 x2 |
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x2 (x2 1) |
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Методом неопределенных коэффициентов разложим подынтегральную функцию в сумму элементарных дробей:
A |
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B |
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Cx D |
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4x2 2 |
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x |
x2 |
(x2 1) |
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x2 (x2 1) |
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Ax(x2 1) B(x2 1) (Cx D)x2 4x2 2 |
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A(x3 x) B(x2 1) Cx3 Dx2 4x2 2 |
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A C 0 |
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4 |
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B D |
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A 0; B 2;C 0; D 2 |
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A 0 |
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B 2 |
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2 |
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2 |
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dx |
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dx |
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x 1 |
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2 2 |
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ln |
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C, |
где C const |
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2 |
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x |
2 |
1 |
x |
x |
2 |
1 |
x |
x 1 |
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x |
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x 4dx (*) x
Проведем замену:
x 4 t2 dx 2tdt
x t2 4 |
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2t2dt |
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2(t2 4) 8 |
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(*) |
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t 2tdt |
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dt 2 dt 8 |
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dt |
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t |
2 |
4 |
t |
2 |
4 |
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t |
2 |
4 |
t |
2 |
2 |
2 |
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8 |
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t 2 |
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2 |
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2t |
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ln |
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C 2 |
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2ln |
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x 4 |
C, |
где C const |
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x 4 |
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2 2 |
t 2 |
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x 4 2 |
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6.20. |
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(6 |
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1)dx |
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3x 1 |
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3 |
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3x 1 |
3x 1 |
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3x 1 t6 3dx 6t5dt dx 2t5dt |
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(t 1) 2t5dt |
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(t 1) 2t3dt |
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(2t4 2t |
3 )dt |
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sin4 |
x 4cos4 x |
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(1 cos 2x)2 |
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(1 cos 2x)2 |
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(1 cos 2x)2 4(1 cos 2x)2 |
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z tgx; x arctgz dx |
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; sin 2x |
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2z |
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