612
.pdf531 З-635
СИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ
В.Б. ЗИНОВЬЕВ
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ТЕХНИЧЕСКОЙ МЕХАНИКЕ
НОВОСИБИРСК 2010
УДК 531.1
З-635
Зиновьев В.Б. Сборник задач по технической механике. —
Новосибирск: Изд-во СГУПСа, 2010. — 28 с.
Содержит задачи по основным разделам теоретической механики и сопротивления материалов. Приводятся примеры решения задач и необходимые справочные данные. Предназначен для студентов экономических специальностей.
Рассмотрен и рекомендован к печати на заседании кафедры «Теоретическая механика».
Ответственный редактор д-р. техн. наук, проф. А.М. Попов
Р е ц е н з е н т канд. экон. наук, доц. кафедры «Технология, организация и
экономика строительства» СГУПСа Р.М. Брызгалова
Зиновьев В.Б., 2010
Сибирский государственный университет путей сообщения, 2010
ВВЕДЕНИЕ
Настоящий сборник предназначен для самостоятельной работы студентовСГУПСа, изучающих курсы«Техническая механика» или «Основы теории конструирования».
В сборнике содержатся многовариантные задачи по разделам теоретическоймеханики исопротивления материалови примеры их решения. В приложении приведен сортамент стального проката, необходимый для решения задач.
Номера задач и порядок их выполнения сообщает преподаватель. Исходные данные к задачам студент выбирает самостоятельно, при этом во всех задачах по последней цифре шифра выбирается номер рисунка, а номер условия в таблице — по предпоследней. Например, если шифр заканчивается цифрами 54, то выбирают четвертый рисунок и пятое условие из таблицы.
Задача 1. Равновесие плоской системы сил
Постановка задачи. Жесткая рама закреплена как показано на рис. 1. На раму действует пара сил с моментом М = 50 кН∙м, распределенная нагрузка интенсивностью q = 5 кН/м и две силы, направление и точки приложения которых указаны в табл. 1. Кроме того, к раме прикреплен трос, переброшенный через блок, с грузом Р = 8 кН на другом конце.
Приняв a = 0,5 м, определить реакции связей.
3
1) |
A |
|
|
|
|
|
|
|
2) |
|
q |
|
К |
|
|
l |
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
||
Е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
30° |
|
Д |
Р |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
3l |
|
|
l |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2l |
|
q |
|
K |
|
|
|
|
Е |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А |
||||
|
|
l |
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
H |
|
|
|
|
|
Р |
2l |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
30° |
3l |
Д |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
30° |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
60° |
В |
|
|
|
|
В |
|
|
|
|
|
|
3) |
|
|
|
|
l |
|
60° |
|
4) |
|
|
|
l |
|
|
2l |
|
|
|
|
|
Д |
|
|
|
|
|
|
|
К |
|
A |
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2l |
|
|
|
|
|
|
|
|
Р |
|
|
|
|
|
|
|
|
Е |
q |
|
|
|
|
|
|
q |
|
Е |
2l |
|
|
|
|
l |
|
|
l |
|
|
Р |
|
|
|
|
|
|
||||
|
30° |
2l |
K |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
l |
60° |
H |
|
|
В |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Д |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2l |
|
30° |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
5) |
|
2l |
l |
|
|
|
|
6) |
|
|
|
2l |
|
l |
||
|
|
К60° |
|
|
|
|
|
|
В |
|
|
К |
|
|||
В |
|
30° |
|
|
|
|
|
|
|
30° |
|
Р |
||||
|
|
|
|
|
|
Р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
q |
Е |
|
|
|
|
|
|
|
|
q |
|
|
Е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
2l |
H |
|
|
|
|
A |
H |
|
|
2l |
|
||
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
60° |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2l |
|
|
2l |
|
|
|
|
|
|
|
|
2l |
2l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
7) l |
60° |
K |
|
q |
|
|
|
|
8) |
|
|
2l |
|
|
2l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
K |
|
|
|
||||
Е l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
60° |
|
30° |
|
||
|
2l |
|
|
|
|
Р |
|
l |
Е |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
2l |
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Д |
|
|
Р |
|
|
|
2l |
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
60° |
|
|
|
|
|
|
|
|
H |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
В |
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
2l |
9) |
|
|
|
|
|
|
|
|
10)А |
2l |
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
q |
|
|
|
l |
|
|
К |
|
|
|
|
||
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Е |
|
|
|
|||
|
60° |
|
|
|
Д |
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
||
2l |
Е |
2l |
|
К |
|
l |
|
|
|
|
2l |
|
q |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
60° |
H |
60° |
|
|
|
|
|
30° |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2l |
|
|
l |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Р |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 1 |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 1 |
|
|
F |
|
|
F2 |
|
|
|
|
Сила |
1 |
|
|
F3 |
|
F4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
F1 = 10 кН |
F2 = 20 кН |
F3 = 30 кН |
F4 = 40 кН |
||||
Номер |
Точка при- |
1, |
Точка при- |
2, |
Точка при- |
3, |
Точка при- |
4, |
условия |
ложения |
град. |
ложения |
град |
ложения |
град. |
ложения |
град |
0 |
K |
60 |
— |
— |
Е |
30 |
— |
— |
1 |
— |
— |
К |
60 |
— |
— |
E |
30 |
2 |
Д |
15 |
— |
— |
K |
60 |
— |
— |
3 |
— |
— |
K |
30 |
— |
— |
Д |
60 |
4 |
К |
30 |
— |
— |
E |
60 |
— |
— |
5 |
— |
— |
Д |
75 |
— |
— |
K |
30 |
6 |
E |
60 |
— |
— |
K |
75 |
— |
— |
7 |
— |
— |
К |
60 |
Д |
30 |
— |
— |
8 |
— |
— |
K |
30 |
— |
— |
E |
15 |
9 |
К |
30 |
— |
— |
— |
— |
Д |
60 |
Пример решения задачи. Дано: рама, приведенная на рис. 2;
F = 20 кН; P = 25 кН; = 60; = 60; q = 10 кН/м; М = 40 кН∙м.
Определить реакции опор.
y |
Q |
|
|
T |
q |
M |
YB |
|
|
|
XB |
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
a |
|
P |
2a |
a |
|
|
|
F |
2a |
|
|
|
|
RA |
A |
x |
Рис. 2
Решение. Выбираем в качестве объекта равновесия раму. К объекту равновесия прикладываем активные силы. Действие распределенной нагрузки заменяем на равнодействующую, приложенную в середине участка, величина которой равна Q = q∙2a = 20 кН. Отбрасываем наложенные на объект связи (шарнирнуюнеподвижнуюопорувточкеB,шарнирнуюподвиж-
5
ную опору в точке А, трос в точке С) и заменяем их действия реакциями, натяжение троса по модулю равно P. К раме приложена произвольная плоская система сил. Записываем уравнения равновесия:
Fkx = 0; –RA – Fcos – Tsin + XB = 0;
Fky = 0; –Fsin + Tcos – Q + YB = 0;
mB(Fk) 0;
–RB3a – Fcos a + Fsin 3a – Tcos 3a + Q2a + M = 0.
Подставив в составленные уравнения числовые значения заданных величин и решив эти уравнения, определим искомые реакции:
R = 41,5 кН; X = 73,1 кН; Y = 24,8 кН.
Задача 2. Определение реакций опор и усилий в стержнях плоской фермы
Постановказадачи.Наплоскуюферму(рис.3)действуютдве силы, величина которых указана в табл. 2.
Стержни фермы считаются невесомыми. Требуется определить опорные реакции и усилия в стержнях фермы и по условию прочности подобрать швеллер (ГОСТ 8240–72). Расчетное сопротивление принять равным 200 МПа, для сжатых стерней коэффициент понижения допустимых напряжений условно при-
нять равным 0,5. Примечание. Если площади одного швеллера недостаточно, следует взять два или три швеллера.
|
|
|
|
|
|
Таблица 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Номер |
P, кН |
P, кН |
P, кН |
P, кН |
a, м |
h, м |
|
условия |
|||||||
|
|
|
|
|
|
||
0 |
100 |
— |
150 |
— |
2 |
3 |
|
1 |
— |
100 |
— |
150 |
2 |
4 |
|
2 |
100 |
— |
— |
150 |
2,5 |
4 |
|
3 |
— |
100 |
150 |
— |
3 |
4 |
|
4 |
–150 |
— |
100 |
— |
2 |
5 |
|
5 |
— |
–150 |
— |
100 |
2,5 |
5 |
|
6 |
150 |
— |
— |
–100 |
3 |
5 |
|
7 |
— |
–100 |
–150 |
— |
2 |
6 |
|
8 |
–150 |
— |
— |
–150 |
2,5 |
6 |
|
9 |
100 |
150 |
— |
— |
3 |
6 |
Примечание. Знак «–» обозначает, что направление силы противоположно указанному на рис. 3.
6
1) |
|
|
|
|
|
|
2) |
|
|
|
|
|
|
|
P1 |
|
|
|
|
P3 |
|
P1 |
P3 |
|
|
|
|
P2 |
|
|
|
|
|
P4 |
|
P2 |
|
|
|
P4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h/2 |
|
|
|
|
|
|
|
h |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h/2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3) |
|
|
|
|
|
|
4) |
|
|
|
|
|
|
P1 |
|
|
|
|
|
|
P1 |
|
P3 |
|
|
||
P2 |
|
|
|
|
|
|
P2 |
|
|
|
P4 |
|
|
h |
|
|
|
|
P3 |
|
|
|
|
|
|
|
h |
|
|
|
|
|
P4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
5) |
|
|
P1 |
|
|
|
6) |
|
|
|
|
|
|
|
P2 |
|
|
|
|
|
P1 |
|
|
|
P3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
P2 |
|
|
P4 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
h |
|
|
|
|
|
|
h\2 |
|
|
|
|
P3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
h\2 |
|
|
|
|
P4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
/2 |
/2 |
/2 |
/2 |
/2 |
/2 |
|
7) |
|
|
|
|
|
|
8) |
|
|
|
P1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P2 |
|
|
|
|
P1 |
|
|
P3 |
h\2 |
|
|
|
|
|
|
h/2 |
|
P2 |
|
|
|
P4 |
|
|
|
|
|
|
P3 |
|
h/2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
h\2 |
|
|
|
|
P4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
/2 |
/2 |
/2 |
/2 |
/2 |
/2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
9) |
|
|
|
|
|
|
10) |
P1 |
|
|
P3 |
|
|
|
|
P1 |
|
|
|
P2 |
|
|
P4 |
|
|||
|
P2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
P3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
h/2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h\2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
P4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h/2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h\2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/2 |
/2 |
/2 |
/2 |
/2 |
/2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
Пример решения задачи. Дано: схема фермы (рис. 4),
F1 = 100 кН; F2 = 200 кН; = 30°.
Определить: опорные реакции и усилия в стержнях фермы.
XB
Рис. 4. Расчетная схема
Решение:
Выбираем в качестве объекта равновесия всю ферму в целом, считая нижний левый горизонтальный стержень опорным (связью). Отбрасываем наложенные на объект связи (опорный стержень и шарнирную неподвижную опору в точке B) и заменяем их действия реакциями. К ферме приложена произвольная плоская система сил. Записываем уравнения равновесия:
Fkx = 0; |
ХA – RA = 0; |
||
Fky = 0; |
YB – F1 – F2 = 0; |
||
mB( |
|
) 0; |
–RAactg – F1a – F23a = 0. |
Fk |
Подставив в составленные уравнения числовые значения заданных величин и решив эти уравнения, определим искомые реакции:
RA = –406,3 кН; XB = –406,3 кН; YB = 300 кН.
Выбираем последовательно в качестве объекта равновесия узлы фермы так, чтобы для каждого объекта было не более двух неизвестных усилий (реакций стержней).
Рассмотрим равновесие узла 6. К узлу приложена сходящаяся система сил. Запишем уравнения равновесия:
Fkx = 0; –S65 – S63sin = 0;
8
Fky = 0; –F2 + S63cos = 0.
Решивзаписаннуюсистемууравнений,получимS63 =231,1 кН;
S65 = –116,1кН.
Далее вырезаем узел 3. К нему также приложена сходящаяся система сил. Запишем уравнения равновесия:
Fkx = 0; –S32 + S36sin = 0;
Fky = 0; –S35 – S36cos = 0.
Учитывая, что согласно аксиоме о действии и противодействии S36 = S63, получим S32 = 116,1 кН; S35 = –200 кН.
Далее, поочередно вырезая узлы 5, 2, 4, вычислим усилия в оставшихся стержнях.
Условие прочности при растяжении имеет вид N R, отсюда
|
|
|
|
A |
|
|
следует: A |
N |
; для сжатых стержней |
A |
N |
. |
Здесь N — |
|
|
|||||
|
R |
|
R |
|
нормальное усилие, в нашем случае N = S; R — расчетное сопротивление; — коэффициент понижения допустимых напряжений, принимаемый равным 0,5.
Таким образом:
A |
|
400 103 |
|
20 10 4 м2; |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
63 |
|
200 106 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
из сортамента швеллер № 18 А = 20,7 см2; |
|
|
|
|||||||||||||
A65 |
|
346,4 103 |
|
|
34,6 м2; |
|
|
|
|
|
|
|
||||
0,5 200 10 |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
из сортамента швеллер № 27 А = 35,2 см2. |
|
|
|
|||||||||||||
Результаты вычислений приведены в табл. 3. |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
№ |
|
65 |
63 |
|
32 |
35 |
|
25 |
24 |
12 |
|
14 |
45 |
01 |
||
S, кН |
|
–116 |
231 |
|
116.1 |
–200 |
|
231 |
–300 |
231 |
|
–346 |
–231 |
406 |
||
A, см2 |
|
11,6 |
12,5 |
|
5,8 |
20 |
|
12,5 |
30,0 |
12,5 |
|
34,6 |
20 |
203 |
||
№ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
профиля |
12 |
12 |
|
5 |
18 |
|
12 |
24 |
12 |
|
27 |
18 |
18 |
9
Задача 3. Плоский поперечный изгиб
Постановка задачи. Для балки на двух опорах (рис. 5) с заданной нагрузкой (табл. 4) подобрать сечение из прокатного профиля — двутавра. Сделать проверку прочности балки по нормальным и касательным напряжениям.
|
|
|
Таблица 4 |
|
|
|
|
Номер условия |
F, кН |
М, кН·м |
q, кН/м |
0 |
10 |
20 |
10 |
1 |
–10 |
25 |
15 |
2 |
20 |
15 |
20 |
3 |
–20 |
10 |
25 |
4 |
15 |
30 |
30 |
5 |
–15 |
40 |
–30 |
6 |
25 |
10 |
–25 |
7 |
–25 |
20 |
20 |
8 |
15 |
30 |
15 |
9 |
–15 |
15 |
10 |
Примечание. Знак «–» обозначает, что направление силы противоположно указанному на рис. 5.
Пример решения задачи. Дано: Для балки на двух опорах (рис. 6) определить опорные реакции; построить эпюры Q и М; подобрать сечениеиз прокатных двутавров (поГОСТ 8239–89").
Решение. Найдем опорные реакции из уравнений равновесия:
mB(F) = 0; P∙12 – A∙10 + g∙10∙7 – m = 0.
A 12P 70g m 12 20 70 20 160 148 кН. 10 10
mA(F) = 0; B∙10 + P∙2 – m – g∙10∙3 = 0.
B |
2P m 30g |
|
20 20 160 30 20 |
72 |
кН. |
|
10 |
||||
10 |
|
|
|
Сделаемпроверкуправильностиопределенияопорныхреакций:
Fky = 0; –P – 10g + A + B = 0. –20 – 10∙20 + 148 + 72 = 0.
Так как горизонтальных сил на балке нет, то из уравненияFky = 0 горизонтальная реакция в точке А равна нулю.
Построение эпюр. Балку разделим натри участка. Напервом и втором участках построение эпюр ведем от сил слева, а на третьем — от сил справа.
10