2449
.pdfи
B0 ( j1a2 j2c2 j2b2) .
2r
На основании полученных формул представим график зависимости B(r)(рис.45).
B
0 |
a |
b |
c |
r |
|
|
Рис.45 |
|
|
Задача 4. Внутри длинного провода круглого сечения имеется круглая цилиндрическая полость, ось которой параллельна оси провода и смещена относительно последней на расстояние . По проводу течет постоянный ток плотности j . Найти индукцию магнитного поля внутри полости. Рассмотреть случай 0 .
|
|
|
|
Решение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Предположим, |
что |
в |
полости |
протекает |
ток |
||||||||||
плотностью j |
и такой же ток |
протекает в противоположном |
|||||||||||||
направлении, т.е. ток в полости |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
фактически отсутствует. В этом случае, |
|
|
|
|
|
|
|
|
А |
||||||
проводник |
с |
полостью |
можно |
|
|
r1 |
|||||||||
|
|
|
|||||||||||||
рассматривать |
|
как |
два |
сплошных |
|
|
|
|
|
|
|
|
r2 |
||
проводника, вложенных друг в друга по |
O |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
O1 |
||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||
которым идут токи в противоположных |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
направлениях. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Найдем поле в точке А, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
находящейся внутри |
полости |
(рис.46). |
Рис.46 |
|
|||||||||||
Для контура |
|
с |
радиусом |
r1 , в |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
соответствии с теоремой о циркуляции, имеем
71
|
|
|
B d 0 jS1 |
|
B1 2 r1 0 j r12 , |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
откуда |
B1 |
|
0 jr1 |
или в векторной форме B1 |
1 |
0 j, |
r1 |
. |
|
|||||||
|
|
2 |
|
|||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Для контура с радиусом r2 : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
B d 0 jS2 |
|
B1 2 r2 0 j r22 , |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
откуда |
B2 |
|
0 jr2 |
или в векторной форме B2 |
|
1 |
0 j, |
r2 |
. |
|||||||
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
Результирующее поле равно векторной сумме полей, созданных прямолинейными противоположно направленными токами
|
|
|
0 |
|
0 |
|
|
B B1 B2 |
j,(r1 r2) |
j, . |
|||||
2 |
2 |
||||||
|
|
|
|
|
Полученный результат свидетельствует о том, что поле в любой точке полости одинаково.
Задача 5. Ток течет вдоль длинной тонкостенной трубы радиусом R . Вдоль всей длины трубы прорезана узкая щель шириной h. Определить магнитную индукцию внутри трубы, если h R .
Решение Прежде всего, отметим, что
согласно теореме о циркуляции, внутри сплошной трубы индукция магнитного поля равняется нулю.
При решении этой задачи, как и в предыдущем случае, воспользуемся искусственным приемом. Будем считать, что ток I течет вдоль всей
z
A b
I I
O
h
Рис.47
72
трубы в одну сторону, а по щели ток I - в противоположную, причем такой, чтобы суммарный ток в
щели был равен |
нулю. Следовательно, |
магнитное поле |
внутри трубы формируется только током |
I . В этом случае |
|
для определения |
магнитной индукции |
внутри трубы, |
воспользуемся формулой прямолинейного проводника с током
B0I , 2 b
где b - расстояние от тока до некоторой точки А внутри трубы (рис.47).
Введя линейную плотность тока I
i I , 2 R
для тока I , получим
I ih Ih . 2 R
Таким образом, магнитное поле внутри трубы равно
B 0Ih . 4 2bR
Задача 6. Определить индукцию магнитного поля тока, равномерно распределенного:
а) по плоскости с линейной плотностью j ;
б) по двум параллельным плоскостям с линейными плотностями j и - j .
Решение Рассмотрим магнитное поле тока, равномерно
распределенного по плоскости. В данном случае линии
вектора B параллельны плоскости, перпендикулярны линиям тока и по разным сторонам этой плоскости имеют противоположные направления. Из симметрии поля следует, что для определения индукции достаточно воспользоваться
73
теоремой о циркуляции вектора B . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
На рис.48 показан выбранный |
|
|
|
|
|
|
|
B1 |
|||||||
контур |
L |
в |
сечении, |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
j |
|
|
|
|
|
||||||||||
перпендикулярном |
плоскости |
с |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
током, при этом |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
|||
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
B1 B , |
B2 B |
|
B2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
где |
– единичный |
вектор, |
Рис.48 |
|
|
|
|
|
|||||||
касательный к плоскости. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Всоответствии с теоремой
оциркуляции, имеем
(B,d ) 0 j d ,
|
|
|
Г |
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
|
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||||
B |
( ) B |
|
( ) B ( B) 2B j |
|
|
|
|
1 |
||||||||||
1 |
|
2 |
|
. |
|
|
|
|
j02 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Отсюда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B1 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
B |
|
|
j |
j1 |
|
|
|
|
|
|
|
B2 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
по |
В случае двух плоскостей, |
|
|
|
|
B1 |
|
B2 |
||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||
которым |
текут |
|
токи в |
|
|
|
|
|
Рис.49 |
|
||||||||
противоположных |
направлениях, |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
магнитные индукции между плоскостями направлены в одну сторону (рис.49). Индукция результирующего поля удваивается и равна B 0 j. Во внешних полупространствах
индукции B1 и B2 направлены в противоположные стороны и результирующее магнитное поле равно нулю.
Задача 7. Требуется получить индукцию магнитного поля B 0,05Тл в соленоиде длиной 20см и диаметром D 2см. Найти число ампер-витков IN , необходимое для этого соленоида, и разность потенциалов U , которую надо приложить к концам обмотки из медной проволоки диаметром d 0,5мм. Считать поле соленоида однородным.
74
Решение
В данной задаче диаметр соленоида D существенно меньше его длины , поэтому такой соленоид приближенно можно считать бесконечно длинным. Внутри бесконечно длинного соленоида магнитное поле однородно и равно
B 0nI ,
а, число ампер-витков для данного соленоида
I N B .
0
Напряжение, которое надо приложить к концам обмотки соленоида, найдем по закону Ома
U I R I L , S
где S d2 /4 – площадь сечения, L DN – длина медного провода, – удельное сопротивление меди.
Окончательно, получим
U4 B D .
0d2
Выполнив вычисления, найдем:
IN 80А, U 40,7В.
Задача 8. На тороид малого поперечного сечения
намотано |
равномерно |
N 2,5 103 витков |
провода, |
по |
|||||
которому |
течет |
ток |
I . |
Найти отношение |
|
|
индукции |
||
магнитного поля внутри тороида к индукции в его центре. |
|
||||||||
|
|
|
|
Решение |
|
R . |
|
|
|
Пусть средний |
радиус |
тороида равен |
Выбирая |
||||||
контур интегрирования в виде окружности радиуса |
R вдоль |
||||||||
осевой |
линии |
тороида, |
в |
соответствии |
с |
теоремой |
о |
||
циркуляции, получим |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
75 |
|
|
|
|
B 2 R 0 NI , |
B |
0 NI |
. |
|
|||
|
|
2 R |
При осуществлении навивки провода на поверхность тора, на внешней стороне витки провода неизбежно будут располагаться на некотором расстоянии h (шаге) друг от друга. Вследствие этого при пропускании тока I по обмотке тороида будет иметь место продольный ток I , который
можно рассматривать как круговой ток радиуса R . При этом магнитная индукция в центре тороида
B0 0I .
2R
Для нахождения продольного тока введем линейную плотность тока в витке i I /h. Вектор плотности тока i можно представить в виде продольной и поперечной составляющих i i in . Продольная составляющая равна
i i sin |
I |
|
h |
|
I |
, |
|
|
|
||||
|
h |
|
2 R |
2 R |
||
|
|
следовательно, продольный ток можно определить величиной
I |
|
i 2 R |
I |
2 R I . |
|
|
|||
|
|
2 R |
||
|
|
|
Таким образом, магнитная индукция в центре тороида, создаваемая продольным током, равна
B0 0 I ,
2R
а отношение
B 0 NI 2R N .
B0 2 R 0I
76
4. Определение магнитных полей, создаваемых вращающимися заряженными телами
Метод решения. При вращении заряженного тела вокруг его оси создаются элементарные круговые токи
dI |
|
dq, где |
– угловая скорость вращения, dq – |
|
|||
|
2 |
|
выделенный элементарный заряд, определяемый через линейную, поверхностную или объемную плотность распределения зарядов в теле. В дальнейшем, используя формулу индукции для кругового тока, путем интегрирования можно определить результирующее значение B , создаваемое всеми элементарными токами. Аналогично, путем интегрирования, можно определить и магнитный момент вращающегося тела.
Примеры решения задач
Задача 1. Тонкий непроводящий диск радиуса R , равномерно заряженный с одной стороны с поверхностной плотностью , вращается вокруг своей оси с угловой скоростью . Найти:
а) индукцию магнитного поля в центре диска; б) магнитный момент диска.
Решение
Рассмотрим кольцевой элемент диска радиуса r и ширины dr (рис.50). Электрический заряд данного кольца равен
dq dS 2 rdr .
Вращающееся заряженное |
z |
|
|||
кольцо подобно круговому току |
|
dr |
|||
dI dq |
|
2 rdr rdr. |
r |
R |
|
2 |
O |
||||
|
|
||||
Индукцию магнитного поля в |
Рис.50 |
|
|||
центре диска, создаваемую данным |
|
||||
|
|
||||
|
|
77 |
|
|
элементом, определим по формуле индукции кругового тока |
|
||||||||||||
|
|
|
|
dB 0dI 1 |
dr. |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
2r |
2 |
0 |
|
|
|
|
|
Интегрируя данное выражение по r |
в пределах от 0 до |
||||||||||||
R , получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
12 0 R. |
|
|
|||
|
|
|
|
B 21 0 dr |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
Магнитный момент, создаваемый элементарным током |
|||||||||||||
dI , равен |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dpm r2dI r3dr . |
|
|
|||||||
Интегрируя обе части этого выражения, найдем |
|||||||||||||
полный магнитный момент вращающегося диска: |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
pm |
r3dr R |
. |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача 2. Заряд q равномерно распределен по объему |
|||||||||||||
однородного шара массы m и радиуса R , |
который вращается |
||||||||||||
вокруг оси, проходящей через его центр, с угловой |
|||||||||||||
скоростью . Найти соответствующий магнитный момент и |
|||||||||||||
его отношение к механическому моменту. |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
Решение |
|
|
|
|
|
|
|
|
Заряженный шар мысленно делим на очень тонкие |
|||||||||||||
диски, перпендикулярные оси вращения |
|
|
|
|
|||||||||
шара (рис.51). Радиус выделенного диска |
|
|
z |
|
|||||||||
толщиной dz , равен |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
r |
R2 |
z2 . |
|
|
|
|
dz |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|||||
Для данного элементарного диска |
|
|
|
||||||||||
найдем магнитный момент, а затем путем |
|
|
O |
R |
|||||||||
|
|
|
|||||||||||
интегрирования |
определим |
магнитный |
|
|
|
|
|||||||
момент |
pm |
для вращающегося шара в |
|
|
Рис.51 |
|
|||||||
целом. |
В |
предыдущей |
задаче |
была |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
78 |
|
|
|
|
|
|
|
получена формула, определяющая магнитный момент вращающегося диска с поверхностной плотностью заряда :
pm R4 . 4
Применительно к рассматриваемой задаче в этой формуле произведем следующие замены:
pm dpm ; R r R2 z2 ; d dz,
где 3q/4 R3 - плотность заряда. Итак, для выделенного диска имеем:
dpm 3q 3 (R2 z2 )2 dz . 16R
Интегрируя по z от 0 до R и удваивая, полученный результат, найдем
|
3q R |
2 |
|
2 |
2 |
|
3q 4 |
|
||
pm |
|
(R |
|
z |
|
) |
dz |
|
(R |
z 2R |
8R3 |
|
|
8R3 |
|||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Механический момент шара
L I 2mR2
5
а отношение
pm q . L 2m
2 z3 |
|
z5 |
) |
|
R |
|
q R2 |
. |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
||||
3 |
5 |
|
|
0 |
5 |
|
|||
|
|
,
Задача 3. Заряд q равномерно |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
распределен по объему |
однородного |
|
|
|
|
R |
|||||||
цилиндра радиусом R и высотой h. |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Цилиндр вращается вокруг своей оси с |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
угловой |
скоростью |
. |
Найти |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
h |
|
|
|
|
|
|
dz |
||||||
соответствующий магнитный момент. |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Решение |
|
|
|
|
O |
|
|
|
|
|
|
|
Однородный цилиндр мысленно |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
разделим на очень тонкие диски |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
толщиной |
dz , перпендикулярные оси |
|
|
|
Рис.52 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
79 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
цилиндра (рис.52). Магнитный момент вращающегося диска, заряженного с поверхностной плотностью , был получен в предыдущей задаче
pm R4 . 4
В данной формуле проведем следующие замены:
q
pm dpm , d dz R2hdz,
q
где – объемная плотность заряженного цилиндра.
R2h
С учетом произведенных замен, получим
|
dp |
|
q R |
2 |
dz . |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
m |
|
|
4h |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Интегрируя данное выражение, найдем полный |
|||||||||||
магнитный момент цилиндра |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
q R |
2 h |
|
|
|
q R2 |
|
|
||
pm |
|
|
|
|
|
dz |
|
|
. |
|
|
4h |
|
|
4 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
R 50мм, |
||
Задача 4. Непроводящая сфера радиуса |
|||||||||||
заряженная равномерно |
|
с |
поверхностной |
плотностью |
|||||||
10мкКл/м2, вращается с угловой скоростью |
70рад/с |
вокруг оси, проходящей через ее центр. Найти магнитную индукцию в центре сферы.
Решение На сфере с помощью двух параллельных плоскостей на
расстоянии dz друг от друга и перпендикулярных оси вращения oz выделим кольцевой элемент, площадь которого будет равна
|
dS 2 rRd 2 R2 sin d , |
где r Rsin |
– радиус кольцевого элемента, – полярный |
угол. |
|
Вследствие вращения заряженной сферы данному кольцу будет соответствовать круговой ток
80