2449
.pdfЗадача |
10. |
Катушку |
|
|
|
|
K |
|
|
||||||
индуктивностью |
L 0,3 |
Гн |
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R2 |
|||||||
сопротивлением |
R1 0,3Ом |
в |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
|||||
некоторый |
момент |
времени |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||
подключают |
к |
источнику, ЭДС |
|
|
|
|
|
|
|
R1 ,L |
|||||
которого E |
= 12 В, через резистор |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
сопротивлением |
R2 |
2,7Ом |
|
|
|
|
|
Рис.85 |
|||||||
(рис.85). Определить: 1) силу тока в |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
цепи через 0,1 с; 2) количество теплоты, которое выделится на резисторе через 0,1 с; 3) энергию магнитного поля в катушке через 0,1 с.
Решение В момент включения цепи ток начнет нарастать и
возникнет ЭДС самоиндукции. Закон Ома для данной цепи имеет вид
I (R1 |
R2 ) L |
dI |
. |
|
|||
|
|
dt |
Разделяя переменные и интегрируя путем замены переменных, получим
|
|
|
|
|
|
|
dI |
1 |
|
dt |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
I(R R ) |
L |
||||||||
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
I I0(1 et / ), |
|||||||
|
I0 |
|
|
|
|
|
|
|
t |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
R R |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
– |
постоянная |
для |
данной |
цепи, называемая |
||||||
R1 R2 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
временем релаксации.
Таким образом, сила тока в цепи, спустя время 0,1с будет равна
151
|
|
I 12(1 2,78 1) 2,56А. |
|
|
|||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
Количество |
теплоты, которое выделится в катушке |
||||||
через 0,1 с, определим по закону Джоуля-Ленца |
|
|
|||||
t |
|
t |
|
|
(t 2 e t / e 2t / ). |
|
|
Q I2(t)R1dt I02R1 (1 e t / )2dt I02R1 |
|
||||||
0 |
|
0 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
При расчете, получим Q 0,54Дж. |
|
|
|||||
Энергию магнитного поля в катушке определим по |
|||||||
формуле |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
W |
LI2 |
|
|
|
|
|
|
1 0,98Дж. |
|
|
|||
Задача |
|
11. |
2 |
|
|
|
|
|
Катушка |
R2 |
|
|
|||
индуктивностью |
L 0,25Гн |
и |
I2 |
|
|||
сопротивлением |
R1 0,5Ом |
и |
L |
I |
|
||
резистор сопротивлением |
R 2,0Ом |
|
|||||
|
|
|
2 |
|
|
1 |
|
соединены |
параллельно |
и |
R1 |
K |
I |
||
подключены |
к |
источнику, |
ЭДС |
||||
которого 12 В, через ключ К (рис.86). |
Рис. 86 |
|
|
||||
Внутренним |
|
сопротивлением |
|
|
|||
источника пренебречь. В некоторый |
|
|
|
||||
момент ключ К размыкают. Определить: 1) силу тока в цепи |
|||||||
через 0,1 с; 2) количество теплоты, которое выделится на |
|||||||
резисторе через 0,1 с. |
|
|
|
|
|
Решение В установившемся режиме, до размыкания ключа К,
сила тока в цепи равна сумме токов текущих через катушку индуктивности I1 и резистор I2 , причем
I1 R1 .
В |
момент |
t 0 , |
соответствующий |
моменту |
отключения |
источника, |
ток через резистор |
исчезает |
|
|
|
|
152 |
|
мгновенно, и в цепи, состоящей теперь из последовательно соединенных резистора и катушки, сила тока одинакова и равна току в катушке I1. ЭДС самоиндукции, возникающая в катушке, будет способствовать постепенному исчезновению тока. Зависимость силы тока от времени может быть найдена из закона Ома. Для данной цепи
I(R1 R2) L dI . dt
После разделения переменных
dI R1 R2 dt . I L
Интегрируя это уравнение, получим
I |
dI |
|
R R |
t |
|
|
|
|
|
|
1 2 |
|
dt |
I(t) I e t/ , |
|
I |
L |
||||||
|
|
1 |
|||||
|
|
|
|
|
|
||
I1 |
|
|
|
0 |
|
|
где L - время релаксации.
R1 R2
Количество теплоты, которое выделится на резисторе, найдем по закону Джоуля-Ленца
t |
t |
|
2t / |
|
|
I2R |
|
|
2t / |
|
|
Q I2(t)R2dt I12R2 e |
|
|
dt |
1 2 |
e |
|
|
. |
|||
|
|
|
2 |
|
|
|
|||||
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Проведя вычисления, найдем
I 8,63 А, Q 7,45 Дж.
3. Расчет энергии магнитного поля
Метод решения. Применение формул, определяющих собственную энергию тока и объемную плотность энергии магнитного поля.
Собственная энергия тока I , текущего по контуру (катушке) с индуктивностью L при отсутствии ферромагнетиков, определяется формулами
153
W |
LI2 |
|
I |
|
2 |
|
|
|
|
. |
|||
2 |
2 |
|
||||
|
|
|
2I |
Эта энергия может быть целиком превращена во внутреннюю энергию проводников.
Энергия магнитного поля распределяется в пространстве с объемной плотностью
w W B2 .
V 2 0
Зная плотность энергии магнитного поля в каждой точке, можно путем интегрирования найти энергию поля, заключенного в любом объеме
W wdV |
1 |
B2dV . |
|
||
V |
2 0 V |
Отметим, что все данные формулы применимы только к диамагнетикам и парамагнетикам, но неприменимы к ферромагнетикам.
При решении задач, в которых требуется найти энергию магнитного поля в ферромагнетиках, для объемной плотности энергии необходимо использовать формулу
w BH . 2
При этом следует учесть, что напряженность H и индукция B в ферромагнетиках связаны кривой намагничивания (рис. 68).
Примеры решения задач
Задача 1. Соленоид без сердечника имеет плотную однослойную намотку проводом диаметром d 0,2 мм, и по нему течет ток I 0,1 А. Длина соленоида 20 см, диаметр D 5см. Найти энергию магнитного поля соленоида.
154
Решение
Определим вначале индуктивность соленоида
L 0n2 S ,
где n 1 – число витков на 1 м длины соленоида, S D2 –
d |
4 |
площадь поперечного сечения соленоида. Тогда
L 0 D2 . 4d2
Энергию магнитного поля соленоида, по которому идет ток I , найдем по формуле
W |
LI2 |
|
D2I2 |
. |
|
|
0 |
||||
2 |
8d2 |
||||
|
|
|
Вычисления дают
W 6,2 10 5 Дж.
Задача 2. Ток I течет по длинному прямому проводу круглого сечения из меди. Найти энергию магнитного поля внутри провода в расчете на единицу его длины. Считать, что магнитная проницаемость меди постоянна и практически равна единице.
Решение
Обозначим радиус провода через R . Внутри цилиндрического проводника магнитное поле обладает осевой симметрией, что позволяет нам для расчета индукции
применить закон о циркуляции вектора B . Выбрав контур интегрирования в форме окружности радиуса r R, совпадающей с линией индукции, можем записать
B d 0 I .
L
155
Если плотность тока j постоянна по поперечному сечению проводника, то сумма токов внутри контура интегрирования, равна
|
|
|
|
|
|
|
I |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||
|
I j r2 |
|
|
r2 |
Ir |
. |
|
||||||||||
|
R |
2 |
|
2 |
|
||||||||||||
После подстановки |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
B 2 r |
|
Ir2 |
, отсюда B |
|
|
Ir |
. |
|||||||||
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|||||||||||
|
R2 |
2 R2 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Объемная плотность магнитной энергии внутри |
|||||||||||||||||
провода |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
w |
|
B2 |
|
|
I2r2 |
|
. |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
2 0 |
8 2R4 |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Энергию |
поля |
|
|
внутри |
|
провода |
найдем |
||||||||||
интегрированием |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
W wdV .
V
В качестве элементарного объема dV возьмем тонкий цилиндрический слой, внутри которого индукция магнитного поля остается постоянной,
dV 2 r dr,
где – длина провода.
С учетом этого энергия магнитного поля, отнесенная к единице длины провода, равна
|
|
W |
|
2 |
R |
|
0I |
2 |
|
|
|
|
|
|
0I |
r3dr |
|
. |
|
||||
|
|
4 |
|
|
|
||||||
|
|
|
4 R |
0 |
|
16 |
|
||||
Задача |
3. На |
тор |
из магнетика |
намотано |
|||||||
|
|||||||||||
N 500 витков. |
Найти энергию магнитного поля, |
если при |
|||||||||
токе I 2,0А магнитный |
поток |
через поперечное сечение |
|||||||||
тора 1,0мВб. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
156
Решение
Энергия магнитного поля катушки индуктивностью L с током I равна
W LI2 . 2
По определению, индуктивность данной тороидальной катушки
L N . I
После подстановки и вычисления, получим
W |
N I |
, |
W 0,5Дж. |
|
|||
2 |
|
|
Задача 4. Железный сердечник, имеющий форму тора с круглым сечением радиуса a 3,0см, несет на себе обмотку из N 1000 витков, по которой течет ток I 1,0А. Средний радиус тора b 32см. Используя кривую намагничивания для железа (рис.70), найти магнитную энергию, запасенную в сердечнике, полагая напряженность поля H одинаковой по всему сечению.
Решение Определим напряженность магнитного поля внутри
данного тороида, по которому течет ток I , используя закон полного тока
H 2 b NI ,
откуда
H NI . 2 b
Для заданных значений N,I и b напряженность
H 500А/м.
Согласно кривой намагничивания железа, данному значению H соответствует индукция B 1,4Тл.
Таким образом, энергия, заключенная внутри намагниченного железного сердечника, равна
157
W wV BH V BH 2 b a2 2BHba2 . 2 2
Расчет дает W 2Дж.
Задача 5. Коаксиальный кабель состоит из внутреннего, сплошного проводника радиуса a и наружной проводящей тонкостенной трубки радиуса b . Найти индуктивность и полную энергию магнитного поля единицы длины кабеля. Магнитная проницаемость всюду равна единице.
Решение
Определим вначале энергию магнитного поля, приходящуюся на единицу длины кабеля, а затем уже через энергию, найдем его индуктивность.
Индукцию магнитного поля между проводящими поверхностями кабеля B1 и в центральном проводе B2 , определим с помощью теоремы о циркуляции.
Индукция поля между проводящими поверхностями:
B1 0I , здесь a r b; 2 r
Индукция внутри сплошного провода r<a:
|
|
|
|
|
B |
|
0Ir |
, |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
I |
|
2 |
|
2 r |
||
где I |
r |
|
r2 |
– ток, текущий по сплошному проводнику |
|||||
a2 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
радиуса r.
После подстановки
B2 0Ir2 . 2 a
Энергию магнитного поля на единицу длины кабеля найдем интегрированием. В качестве элементарного объема
158
dV возьмем тонкий цилиндрический слой, внутри которого индукция магнитного поля остается постоянной,
dV 2 r dr,
где 1м – длина кабеля.
С учетом этого энергия магнитного поля, отнесенная к единице длины кабеля, между оболочками:
|
|
B2 |
|
I |
2 b |
dr |
|
|
I2 |
|
b |
|
||
W1 wdV |
1 |
dV |
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
ln |
|
. |
|
|
4 |
|
r |
|
|
|
||||||||
V |
V |
2 0 |
|
a |
|
4 a |
|
|||||||
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Энергия магнитного поля в центральном проводе:
|
B2 |
|
|
I2 |
a |
|
|
I2 |
||
|
2 |
|
|
0 |
|
3 |
|
0 |
|
|
W2 |
|
|
dV |
|
r |
dr |
|
. |
||
2 |
0 |
4 a4 |
16 |
|||||||
V2 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
Полная энергия, приходящая на единицу длины кабеля,
равна
W W1 W2 0I2 (1 4ln b). 16 a
Индуктивность единицы длины кабеля определим, используя формулу для энергии поля
L |
2W |
|
0 |
(1 4ln |
b |
) . |
I2 |
8 |
|
||||
|
|
|
a |
Задача 6. Тонкое кольцо из магнетика имеет средний диаметр d 30см и несет на себе обмотку из N 800витков. Площадь поперечного сечения кольца S 5,0см2. В кольце сделана поперечная прорезь ширины b 2,0мм. Когда по обмотке течет некоторый ток, магнитная проницаемость магнетика 1400. Пренебрегая рассеянием магнитного поля на краях зазора, найти: а) отношение магнитной энергии в зазоре к магнитной энергии в магнетике; б) индуктивность системы.
Решение Характеристики магнитного поля внутри магнитного
сердечника и в его зазоре будем сопровождать индексами 1
159
и 2. При отсутствии рассеяния поля на краях зазора выполняются соотношения
B1 B2 B, H2 H1 .
Напряженность поля внутри магнетика определим по закону полного тока
H d H |
b NI |
H |
1 |
|
NI |
, |
|
|
|||||||
1 |
2 |
|
|
|
d b |
где b d , I - сила тока.
Определим теперь энергию магнитного поля:
1) |
в объеме сердечника |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
W |
BH1 |
V |
BH1 |
S d ; |
|||||
|
|
|
2 |
||||||||
|
|
1 |
2 |
1 |
|
|
|
||||
2) |
в объеме зазора |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
W |
BH2 |
V |
BH2 |
Sb |
BH1 |
Sb. |
||||
|
|
|
|
||||||||
|
2 |
2 |
2 |
2 |
2 |
|
Отношение энергий магнитного поля в зазоре и в магнетике, равно
W2 b .
W1 d
Для нахождения индуктивности системы, определим суммарную энергию магнитного поля:
W W W (1 )W (1 ) |
H1B |
S d |
||||||||
|
|
|||||||||
|
|
1 |
2 |
|
1 |
|
2 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1 |
(1 )H |
2 |
S d |
0 |
SN2I2 |
|||||
|
|
1 0 |
|
|
. |
|
||||
|
|
|
|
|||||||
2 |
|
|
|
|
2( d b) |
Следовательно, индуктивность данной системы
L |
2W |
|
|
N2S |
|
|
|
0 |
|
. |
|
I2 |
|
|
|||
|
|
d b |
Для заданных исходных величин
L 0,72Гн.
160