- •1.1 . Понятие матрицы
- •1.2 . Линейные операции над матрицами
- •1.2.3. Транспонирование матриц
- •1.3. Умножение матриц
- •1.4. Свойства произведения матриц
- •Пусть дана матрица
- •2.3. Ранг матрицы
- •2.4. Вычисление обратной матрицы
- •3.1. Общий вид и свойства системы уравнений
- •3.2. Матричная форма системы уравнений
- •Суть метода Гаусса в том, чтобы с помощью элементарных преобразований расширенной матрицы системы (3.1)
- •получить матрицу вида:
- •4.2. Линейные операции над векторами. Проекция вектора на ось и ее свойства
- •Правило сложения векторов обладает свойствами
- •Линейные свойства проекций
- •Алгебраические свойства скалярного произведения
- •4.5. Линейная зависимость и линейная независимость векторов на плоскости и в пространстве
- •Теорема. Необходимым и достаточным условием линейной зависимости двух векторов является их коллинеарность.
- •4.7. Декартова прямоугольная система координат
3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
3.1. Общий вид и свойства системы уравнений
Система m линейных уравнений с n неизвестными (переменными) x1 , x2 , ..., xn имеет вид
a11x1 a12 x2 ... |
a1n xn b1 , |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
a2n xn |
|
b2 |
|
|
||
a21x1 a22 x2 |
|
|
, |
(3.1) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
||
.......... |
|
.......... |
|
.......... |
|
|
.......... |
|
|
....... |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
m1 |
x a |
m2 |
x |
2 |
... |
a |
mn |
x |
n |
b . |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
m |
|
Здесь aij и b j -произвольные числа (i=1, 2, ..., m; j=1, 2,
..., n), которые называются соответственно коэффициентами при неизвестных и свободными членами уравнений (3.1).
Первый индекс у коэффициентов при неизвестных означает номер уравнения, и второй индекс соответствует номеру неизвестного xi .
Если все значения b j =0, то система уравнений (3.1) яв-
ляется однородной. В противном случае система уравнений (3.1) неоднородная.
Решением системы уравнений (3.1) называется набор n
чисел x1 1 , x2 2 , ..., xn n , при подстановке которых в
эту систему каждое уравнение данной системы превращается в тождество.
Система уравнений (3.1) называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение; если система не имеет решений, она называется несовместной. Совместная система уравнений имеет либо одно решение, и в таком случае она
29
называется определенной, либо, если у нее больше одного решения, она называется неопределенной.
Системы уравнений вида (3.1) называются эквивалентными, если они имеют одно и то же множество решений. Элементарные преобразования исходной системы приводят к эквивалентной системе. К элементарным преобразованиям
относятся: |
|
|
|
1) |
вычеркивание уравнения 0x1 0x2 |
... 0xn |
0 - |
нулевой строки; |
|
|
|
2) |
перестановка уравнений или слагаемых |
aij x j в |
уравнениях; 3) прибавление к обеим частям одного уравнения со-
ответственно обеих частей другого уравнения этой системы, умноженных на любое действительное число.
3.2. Матричная форма системы уравнений
Сведем коэффициенты при неизвестных в системе уравнений (3.1) в матрицу
a |
a |
... a |
|
|
11 |
12 |
1n |
|
|
a21 |
a22 ... a2n |
|
(3.2) |
|
А = |
|
|
|
|
... |
... ... ... |
|
|
|
|
|
|
|
|
am1 |
am2 ... amn |
|
Эта матрица состоит из m строк и n столбцов и называется матрицей системы. Введем в рассмотрение две матри- цы-столбца: матрицу неизвестных Х и матрицу свободных членов В:
30
x |
|
b |
|
|
||
|
1 |
|
|
1 |
|
|
x2 |
|
b2 |
|
|
||
A= |
|
|
, B= |
|
|
(3.3) |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
xn |
|
bm |
|
Тогда систему линейных уравнений (3.1) можно записать в матричной форме, поскольку размер матрицы А равен m n, а размер Х- n 1, значит, произведение этих матриц имеет смысл:
АХ=В. |
(3.4) |
Введем в рассмотрение еще одну матрицу; дополним матрицу системы А столбцом свободных членов и получим новую матрицу размера m (n 1) :
a |
a |
... |
a |
11 |
12 |
|
1n |
a21 |
a22 |
... |
a2n |
A / B |
|
|
|
|
|
|
|
... ... ... ... |
|||
|
am2 |
... |
amn |
am1 |
b1 |
|
|
|
b2 |
|
|
|
... bm .
Матрица A / B называется расширенной матрицей системы.
Теорема. (теорема Кронекера-Капелли; критерий со-
вместности системы). Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы системы.
3.3 . Метод обратной матрицы и теорема Крамера
Рассмотрим частный случай системы (3.1) , когда число уравнений равно числу неизвестных, т. е. m=n. Система уравнений имеет вид
31
a x a x |
|
|
a x |
|
|
b |
|
||||||||
|
11 |
1 |
12 |
|
2 |
13 |
|
3 |
1 |
|
|||||
a21x1 |
a22 x2 |
a23 x3 |
b2 |
(3.5) |
|||||||||||
a |
31 |
x a |
32 |
x |
2 |
a |
33 |
x |
3 |
b |
|
||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
Составим квадратную матрицу А третьего порядка этой системы:
a |
a |
a |
|
|
11 |
12 |
13 |
|
|
A a21 |
a22 |
a23 |
|
(3.6) |
|
a32 |
|
|
|
a31 |
a33 |
|
В матричной форме система уравнений (3.5) имеет вид
(3.4):
АХ=В,
где матрицы Х и В имеют размер 3 1. Пусть матрица системы А является невырожденной, т. е существует обратная мат-
рица А-1. Умножив обе части этого уравнения слева на A 1 , получаем решение системы (3.5) в матричной форме:
A 1 AX EX X A 1 B. |
(3.7) |
Вычисление обратной матрицы по заданной матрице А |
|
производится по формулам (2.3) и (2.8). |
|
В случае, когда порядок n матрицы А и A 1 |
доста- |
точно велик, вычисление обратной матрицы может быть очень сложным.
Другой метод решения системы уравнений (3.6) основан на теореме Крамера. Составим определитель матрицы системы А:
|
a11 |
a12 |
a13 |
|
|
|
a21 |
a22 |
a23 |
, |
(3.8) |
|
a31 |
a32 |
a33 |
|
|
|
|
|
32 |
|
|
который называется также определителем системы. Теорема. (теорема Крамера). Пусть –определитель
матрицы системы А, а j – определитель, полученный из оп-
ределителя заменой j-го столбца столбцом свободных членов В. Тогда, если 0 , система линейных уравнений (3.6) имеет единственное решение, определяемое по формулам
x j j / , j 1,2, ..., n. (3.9)
Формулы вычисления неизвестных (3.9) – решения системы (3.6) – носят название формул Крамера.
Пример 3.1. Найти решение системы уравнений
|
|
|
|
x 2 y 3z 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
y 4z 9 . |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
4x |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
3x 5y 2 y 10 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. Применим метод обратной матрицы |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
X A 1 B . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Определитель системы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
2 |
3 |
|
|
1 4 |
|
|
|
4 4 |
|
|
|
4 1 |
|
||||
|
1 |
=1 |
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
4 1 |
4 |
|
|
|
|
|
= |
|||||||||||
|
3 |
5 |
2 |
|
|
5 |
2 |
|
|
|
3 |
2 |
|
|
|
3 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=1(2 - 20) - 2(8 - 12) + 3(20 - 3) = -18 + 8 + 51 = 41.
Алгебраические дополнения:
33
A |
( 1)1 1 |
|
1 |
4 |
|
|
18; |
|
|
|
A |
|
( 1)2 1 |
2 |
|
|
3 |
11; |
|
|
||||||||||||||||||
11 |
|
|
|
|
|
5 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
21 |
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
( 1)3 1 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
( 1)1 2 |
|
4 |
|
4 |
|
|
|
|||||||||||||||||
A |
|
2 |
|
15; |
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
4; |
|
|||||||||||||||||||||||
31 |
|
|
|
|
|
|
1 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
2 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
( 1)2 2 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
( 1)3 2 |
|
|
1 |
|
3 |
|
|
|||||||||||||||||||
A |
|
1 |
7; |
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
8; |
|
||||||||||||||||||||||||
22 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
32 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
4 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
( 1)1 3 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
( 1)2 3 |
|
1 |
2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
A |
|
4 |
17; |
|
|
|
|
A |
|
|
1; |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
13 |
|
|
|
|
|
|
3 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
23 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
5 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( 1)3 3 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
1 |
|
7; |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
33 |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
18 |
11 |
5 |
|
6 |
|
|
|
|
|
|
108 99 50 |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
X |
|
|
|
|
|
|
4 7 8 |
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
24 63 80 |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
41 |
|
|
17 |
|
|
1 7 |
|
|
|
|
|
|
|
41 |
102 9 70 |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
41 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
41 1 ; |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
41 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
41 |
1 |
|
|
|
|
|
|
x=1; y=1; z=1.
Решим систему, применяя формулы Крамера. Определитель системы: 41 отличен от нуля, следовательно, система имеет единственное решение.
Вычисляем определители: x ; |
y ; z : |
||||
|
2 |
3 |
|
|
|
|
6 |
|
|
||
x |
9 |
1 |
4 |
6 ( 18) 2 ( 22) 3 35 108 44 105 41; |
|
|
10 5 |
2 |
|
|
|
|
|
|
34 |
|