- •ПРЕДИСЛОВИЕ
- •ОПРЕДЕЛЕНИЕ И НАЗНАЧЕНИЕ МОДЕЛИРОВАНИЯ
- •1.1. ЧТО ТАКОЕ МОДЕЛЬ?
- •Место моделирования среди методов познания
- •Определение модели
- •Определение модели
- •Цели моделирования
- •1.2. КЛАССИФИКАЦИЯ МОДЕЛЕЙ
- •Материальное моделирование
- •Идеальное моделирование
- •Когнитивные, концептуальные и формальные модели
- •1.3. Классификация математических моделей
- •Классификационные признаки
- •Классификация математических моделей в зависимости от оператора модели
- •Классификация математических моделей в зависимости от целей моделирования (рис. 1.11)
- •Классификация математических моделей в зависимости от методов реализации (рис. 1.12)
- •Задания для самостоятельного выполнения
- •Глава 2
- •ЭТАПЫ ПОСТРОЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ
- •2.1. ОБСЛЕДОВАНИЕ ОБЪЕКТА МОДЕЛИРОВАНИЯ
- •2.2. КОНЦЕПТУАЛЬНАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ МОДЕЛИРОВАНИЯ
- •2.3. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ МОДЕЛИРОВАНИЯ
- •2.4. ВЫБОР И ОБОСНОВАНИЕ ВЫБОРА МЕТОДА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ
- •stop
- •2.5. РЕАЛИЗАЦИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ В ВИДЕ ПРОГРАММЫ ДЛЯ ЭВМ
- •2.6. ПРОВЕРКА АДЕКВАТНОСТИ МОДЕЛИ
- •2.7. ПРАКТИЧЕСКОЕ ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ПОСТРОЕННОЙ МОДЕЛИ И АНАЛИЗ РЕЗУЛЬТАТОВ МОДЕЛИРОВАНИЯ
- •Задания для самостоятельного выполнения
- •ПРИМЕРЫ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ
- •3.1. СТАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ КОНСТРУКЦИЙ
- •Содержательная постановка задачи
- •Концептуальная постановка задачи
- •Математическая постановка задачи
- •Решение задачи
- •Анализ результатов
- •Концептуальная постановка
- •Математическая постановка задачи
- •Методика решения задачи
- •Анализ результатов
- •3.3. ДИНАМИКА ПОПУЛЯЦИИ
- •Содержательная постановка задачи
- •Концептуальная постановка задачи
- •Решение задачи
- •Анализ результатов
- •Математическая постановка задачи для модели Ферхюльста
- •Решение задачи
- •Анализ результатов
- •Численное исследование модели Ферхюльста
- •3.4. МОДЕЛЬ КОНКУРЕНЦИИ ДВУХ ПОПУЛЯЦИЙ
- •Математическая постановка задачи
- •Качественный анализ задачи
- •Численное исследование модели конкуренции популяций
- •3.5. ГАРМОНИЧЕСКИЙ ОСЦИЛЛЯТОР
- •Содержательная постановка задачи
- •Концептуальная постановка задачи
- •Математическая постановка задачи
- •Решение задачи
- •Качественный анализ задачи
- •Численное исследование модели
- •Качественный анализ задачи
- •Решение задачи
- •Задания для самостоятельного выполнения
- •Глава 4
- •СТРУКТУРНЫЕ МОДЕЛИ
- •4.1. ЧТО ТАКОЕ СТРУКТУРНАЯ МОДЕЛЬ?
- •4.2. СПОСОБЫ ПОСТРОЕНИЯ СТРУКТУРНЫХ МОДЕЛЕЙ
- •4.3. ПРИМЕРЫ СТРУКТУРНЫХ МОДЕЛЕЙ
- •Задания для самостоятельного выполнения
- •МОДЕЛИРОВАНИЕ В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ
- •5.1. ПРИЧИНЫ ПОЯВЛЕНИЯ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ И ИХ ВИДЫ
- •5.2. МОДЕЛИРОВАНИЕ В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ, ОПИСЫВАЕМОЙ С ПОЗИЦИЙ ТЕОРИИ НЕЧЕТКИХ МНОЖЕСТВ
- •5.3. МОДЕЛИРОВАНИЕ В УСЛОВИЯХ СТОХАСТИЧЕСКОЙ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ
- •5.4. МОДЕЛИРОВАНИЕ МАРКОВСКИХ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ
- •Задания для самостоятельного выполнения
- •ЛИНЕЙНЫЕ И НЕЛИНЕЙНЫЕ ЯВЛЕНИЯ
- •6.1. О ЗАКОНЕ ГУКА И ГРАНИЦАХ ЛИНЕЙНОСТИ
- •6.3. О ПОСТРОЕНИИ СПЛОШНЫХ МОДЕЛЕЙ. ВЫВОД ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ ИЗ ЗАКОНОВ МЕХАНИКИ
- •6.4. РЕШЕНИЕ ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ МЕТОДОМ ФУРЬЕ
- •6.6. УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА
- •6.7. О КЛАССИФИКАЦИИ КВАЗИЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
- •6.8. СВЯЗЬ НЕПРЕРЫВНОГО И ДИСКРЕТНОГО НА ПРИМЕРАХ УРАВНЕНИЯ КОЛЕБАНИЙ СТРУНЫ И УРАВНЕНИЯ ШРЕДИНГЕРА
- •6.9. О ПОЛЬЗЕ ФЕНОМЕНОЛОГИИ ПРИ ПОСТРОЕНИИ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ
- •6.10. АНАЛИЗ ПОДОБИЯ И РАЗМЕРНОСТИ
- •6.11. АВТОМОДЕЛЬНОСТЬ
- •6.12. САМООРГАНИЗАЦИЯ И СТРУКТУРЫ В НЕЛИНЕЙНЫХ СРЕДАХ
- •6.13. О НЕЛИНЕЙНЫХ ВОЛНАХ В СПЛОШНЫХ СРЕДАХ
- •6.14. ИЕРАРХИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ТУРБУЛЕНТНОСТИ И МНОГОМАСШТАБНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ БАЗИСЫ
- •Иерархический базис для турбулентных полей
- •Одномерный иерархический базис
- •Двумерный базис
- •6.15. ВЕЙВЛЕТЫ
- •Непрерывное вейвлет-преобразование
- •6.16. ВЕЙВЛЕТ-АНАЛИЗ ВРЕМЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ
- •6.17. О ФРАКТАЛАХ И ИХ ПРИМЕНЕНИИ
- •Примеры фракталов
- •Подобие и скейлинг
- •Множества Мандельброта и Жюлиа
- •Фрактальная размерность кластеров
- •Экспериментальные методы определения фрактальной размерности
- •Модель случайных фракталов для описания растущих дендритных структур
- •Результаты применения модели случайных фракталов
- •6.18. НЕЛИНЕЙНЫЕ МОДЕЛИ ДНК
- •Структура и физические свойства ДНК
- •Модель Пейрара-Бишопа
- •Задания для самостоятельного выполнения
- •Глава 7
- •7.2. ИМИТАТОР СИСТЕМЫ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ
- •7.3. КЛЕТОЧНЫЕ АВТОМАТЫ
- •7.4. МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИСЛОКАЦИЙ В МЕТАЛЛЕ
- •Самоорганизация дислокаций в модели клеточных автоматов
- •Задания для самостоятельного выполнения
- •ЯЗЫК ФОРМАЛЬНОГО ОПИСАНИЯ АЛГОРИТМОВ
- •====== Приложение 2
- •П2.1. Решение уравнений высоких степеней и трансцендентных уравнений с одним неизвестным
- •П2.2. Решение систем линейных уравнений
- •БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
- •ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
- •ОГЛАВЛЕНИЕ
- •Введение в математическое моделирование
ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
Учебное пособие
Допущено Министерством образования Российской Федерации в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлению 511200 - «Математика. Прикладная математика»
Москва
«Логос»
2004
УДК 510.6:683.3:531 ББК 22 в.6
В24
Р е ц е н з е н т ы :
Доктор физико-математических наук, профессор А.Р. Абдуллаев Член-корреспондент РАН, доктор технических наук,
профессор В.П. Матвиенко
А в т о р ы :
В.Н. Ашихмин, М.Б. Гитман, И.Э. Келлер, О.Б. Наймарк, В.Ю. Столбов, П.В. Трусов, П.Г. Фрик
В24 Введение в математическое моделирование: Учеб, посо бие / Под ред. П.В. Трусова. - М.: Логос,2004. - 440 с.
ISBN 5-94010-272-7
Рассмотрены основные понятия, определения, положения и подходы математическогомоделирования, представленаклассификацияматематичес ких моделей. Описаны основные этапы, технология построения математи ческих моделей, приведены простые примеры ее применения. Анализиру ются особенности математического моделирования в условиях различных типов неопределенности, разработки моделей с применением структурно го и имитационного подходов. Особое внимание уделено анализу линей ных и нелинейных моделей, выявлению их качественных различий. При ведены сведения о современных разделах математики (вейвлеты, фракта лы, клеточные автоматы), эффективно используемых прирешенииразлич ных проблемнелинейнойфизики. Каждый из разделов снабжен перечнем заданий для самостоятельной работы.
Для студентов высших учебных заведений, обучающихся по направле нию510000 - «Естественные наукииматематика» испециальности 010200 - «Прикладная математика». Представляет интерес для специалистов в об ласти математического моделирования физико-механических процессов и явлений.
ББК 22в.6
ISBN 5-94010-272-7. |
© Авторы, указанные на обороте |
|
титульного листа, 2004 |
|
© «Логос», 2004 |
Памяти наших Учителей посвящается.
Авторы
ПРЕДИСЛОВИЕ
...Становится ясно, что в следующем веке понадобятся не только эксперты по некоторым аспектам отдельных стадий избранных процес сов. Понадобятся специалисты по решению про блем... По-видимому, междисциплинарность бу дет в цене. А в институтах будут стараться учить не «предметам», а стилям мышления.
Г.Г.Малинецкий
Понятие «математическое моделирование» в последние два-три десятилетия является едва ли не самым распространенным в науч ной литературе, по крайней мере в естественно-научной и техни ческой. Сегодня трудно представить себе проектную или конструк торскую организацию, не использующую в своей практике в той или иной мере математические модели. Все более распространенным и эффективным становится применение математического моделиро вания в научных исследованиях. Интенсивно разрабатываются ма тематические модели в экономике, управлении, истории, биологии и многих других областях знаний. Подавляющее большинство из вестных авторам диссертационных работ по специальностям есте ственно-научных и инженерно-технических направлений связано с разработкой и использованием соответствующих математических моделей. В последние 10—15 лет эта тенденция получает все более широкое распространение при подготовке дипломных работ выпус кников вузов. Математическое моделирование используется в учебно исследовательской работе учащихся физико-математических школ и лицеев.
Можно констатировать, что математическое моделирование в пос ледние десятилетия оформилось в отдельную междисциплинарную область знаний с присущими ей объектами, подходами и методами ис следования. В связи с этим все более актуальной становится задача це ленаправленной подготовки специалистов-«матмодельеров» в вузах
различного профиля, в рамках различных направлений и специаль ностей. Кроме того, по мнению авторов, эту подготовку, форми рование соответствующего «стиля мышления» можно (а возможно, и необходимо) начинать со старших классов общеобразовательной школы. Определенный положительный опыт подобной работы с учащимися специализированных физико-математических школ и классов позволяет по крайней мере не отвергать данную гипотезу.
Реализация образовательного процесса по подготовке специа- листов-«матмодельеров», естественно, требует наличия соответству ющего методического обеспечения. За последние годы издано не мало прекрасных монографий, статей, научно-популярных брошюр, пособий, часть из которых цитируется в тексте. К их числу в пер вую очередь следует отнести работы отечественных ученых: А.А.Са марского, Н.Н.Моисеева, С.П.Курдюмова, Г.Г.Малинецкого и многих других, трудами которых математическое моделирование и превратилось в самостоятельную область знаний. В этих работах, большей частью написанных математиками, достаточно подробно и прозрачно освещены такие вопросы, как предмет, подходы, ме тоды математического моделирования, приведено огромное коли чество ярких примеров математических моделей. Как правило, в работах этого направления основное внимание уделяется методам исследования собственно математических моделей, качественному анализу решений, новым эффектам в исследуемых процессах и явлениях.
Следует отметить, что в настоящее время в значительной час ти учебников и учебных пособий по различным дисциплинам вклю чаются некоторые понятия, методы и примеры применения мате матического моделирования. Здесь обычно используется некоторый набор базовых моделей данной дисциплины или смежных с ней: из этих «кубиков» в дальнейшем строится модель анализируемого процесса. При этом, как правило, базовые модели принимаются в качестве данности, не обсуждается правомерность их использова ния, область применимости, степень адекватности описания. «За кадром» в большинстве случаев остается и собственно процесс со здания математической модели, процесс перехода от «языка при роды» к «языку математики».
Понятно, что указанные обстоятельства обусловлены сложив шимися в различных областях традициями, спецификой дисцип лин, личными склонностями авторов. В то же время нам представ ляется полезным появление пособия, в котором более детально рас
крывалась бы «кухня» разработчиков математических моделей. Не смотря на то, что создание любой новой модели —процесс твор ческий, близкий к искусству, существуют достаточно общие подхо ды, методы, «инструменты», пригодные для различных предметных областей. Именно этому кругу вопросов —технологии создания ма тематических моделей —будет уделено наибольшее внимание.
Предлагаемое пособие основано на материале специальных се минаров и курсов лекций по математическому моделированию, которые авторы читают студентам специальности «Прикладная ма тематика и информатика» (специализация «Математическое моде лирование»), курсов лекций по дисциплине «Концепции современ ного естествознания», читаемых для ряда инженерно-технических
игуманитарных специальностей Пермского государственного тех нического университета, а также на собственном опыте авторов в области разработки математических моделей (главным образом фи зико-механических процессов, что сказалось и на содержании ра боты). Естественно, широко использовались монографии, статьи, пособия, посвященные данной тематике.
Пособие ориентировано в первую очередь на студентов млад ших курсов математических и естественно-научных специальнос тей (главным образом —математиков-прикладников, физиков, механиков), на студентов технических специальностей (инженеровмехаников), а также на учителей и учащихся старших классов фи зико-математических школ. Книга может представлять интерес для аспирантов и научных сотрудников, специализирующихся в обла сти математического моделирования физико-механических процес сов и явлений. Для работы с большинством разделов пособия дос таточно знания вузовского курса математики (математический ана лиз, линейная алгебра и аналитическая геометрия, элементы теории вероятности, теории обыкновенных дифференциальных уравнений
иуравнений математической физики), изучаемого обычно на млад ших курсах. При этом мы стремились сделать пособие «замкнутым», т.е. содержащим по возможности все необходимые понятия, опре деления и другие сведения.
Глава 1 является вводной, содержащей описание предмета, ос новные понятия и определения, связанные с моделированием в целом и в частности с математическим моделированием, класси фикацию моделей. Для самой юной части читателей этот материал может показаться излишним; тем не менее, для дальнейшего чте ния необходимо познакомиться хотя бы с основными понятиями и
определениями. Глава 2 посвящена технологии построения мате матических моделей и представляется нам ключевой для специа листов, занимающихся построением конкретных моделей. В главе 3 мы попытались на простейших примерах, доступных всем отмечен ным выше категориям читателей, показать эту технологию в дей ствии (аналогичную цель в той или иной степени преследуют и при меры всех остальных глав). Главы 4 и 5 содержат необходимые све дения из отдельных разделов математики, широко используемых при построении различных математических моделей (системного анализа, теории вероятностей, теории нечетких множеств), а так же качественные примеры построения моделей с применением этих знаний. В главе 6, требующей для прочтения достаточной матема тической подготовки, авторы попытались отразить современные тенденции моделирования, связанные в первую очередь с создани ем нелинейных моделей и анализом возникающих при этом каче ственно новых эффектов. Здесь же отражены некоторые сведения о современных методах (вейвлетах, фракталах), используемых при разработке математических моделей физико-механических процес сов. Глава 7 посвящена одному из широко используемых в насто ящее время при построении различных моделей «инструментов» — имитационному подходу.
Каждая глава снабжена набором вопросов для самопроверки и/или заданий для самостоятельной работы, выполнение которых мы считаем обязательным элементом работы с предлагаемым по собием. Возможно, некоторые задания покажутся читателю триви альными; в случае правильности этого предположения выполнение задания не займет много времени. В то же время нельзя исключать возможности, что посылка была не верна. Кроме того, большин ство заданий можно сделать сложными настолько, насколько это приемлемо для конкретного читателя. В любом случае, выполне ние заданий не приведет к отрицательному результату в усвоении содержания.
Главы 1 и 2 предназначены в основном для преподавателей, чи тающих курсы «Введение в математическое моделирование» и «Кон цепции современного естествознания», и студентов специальности «Прикладная математика и информатика». Остальные главы, по мнению авторов, полезны для всех категорий читателей, указан ных выше. Студенты и учащиеся старших классов найдут в них сведения о современных методах и подходах, широко применяемых при исследовании нелинейных проблем, примеры построения ма
тематических моделей и задания для самостоятельной разработки моделей широкого спектра явлений и процессов, различного уров ня сложности и глубины. Учителя старших классов физико-мате матических школ могут использовать материал глав 3—7 при под готовке заданий по естественно-научным (физика, биология) и ма тематическим дисциплинам, а также для внеклассной (кружковой) работы. Преподаватели вузов могут воспользоваться материалом указанных глав при подготовке заданий по курсовым работам по указанным выше дисциплинам, а также в рамках курсов «Уравне ния математической физики», «Дифференциальные уравнения в ча стных производных», «Численные методы» и др.
Следует особо подчеркнуть, что приведенные примеры и зада ния соотносятся с математическими моделями сложных реальных процессов примерно так же, как холмы с Эверестом. Но пособие и не рассчитано на «покорителей вершин». Нам представляется це лесообразным начинать работу в математическом моделировании именно с простейших моделей, не отягченных математическими сложностями. Будущий специалист, избравший этот не самый лег кий путь, должен обладать широкими и глубокими знаниями не только во многих разделах «чистой» и «прикладной» математики и информатики, но и аналогичными познаниями в относящихся к объекту моделирования естественно-научных (физике, механике, химии и др.) и/или гуманитарных дисциплинах. Только доскональ ное знание объекта моделирования, соответствующей предметной области, а также возможность говорить на одном языке со специ- алистами-«заказчиками» модели позволяет надеяться на успешную реализацию того или иного проекта по созданию математической модели процесса или явления. По крайней мере, такими качества ми должен обладать «постановщик» задачи построения той или иной модели.
Надо сказать, что модели сложных процессов и явлений, как правило, разрабатываются коллективами научных сотрудников раз личных специальностей, «постановщик» обычно является руково дителем коллектива. Именно в подобных специалистах ощущается острый (и резко возрастающий) дефицит, а следовательно, подго товке специалистов данного профиля необходимо уделять повышен ное внимание. Возможно, хотя бы в малой степени, предлагаемое пособие будет способствовать решению этой задачи.
Авторы выражают искреннюю признательность своим студен там и аспирантам, вопросы и замечания которых в немалой степе
ни способствовали становлению курса, а в итоге —появлению пред лагаемого пособия. Не меньшую признательность и благодарность мы выражаем рецензентам —доктору физико-математических наук, профессору А.Р.Абдуллаеву и академику РАН, доктору техничес ких наук, профессору В.П.Матвеенко, обсуждение с которыми за мечаний и предложений по содержанию пособия позволило, как нам представляется, сделать последнее более подходящим «для употребления». Авторы благодарят доцентов кафедры «Математи ческое моделирование систем и процессов» Н.Д.Няшину и И.Ю.Зубко, написавших соответственно параграфы 6.17 и 7.4.