![](/user_photo/_userpic.png)
m32352_11
.DOC
Таким образом, общее решение дифференциального уравнения имеет вид
ПРИМЕР 2. Найти частное решение дифференциального уравнения первого порядка, удовлетворяющее заданному начальному условию (решить задачу Коши):
Решение.
Данное
уравнение является линейным. Разделим
обе его части на
,
а искомую функцию
представим
в виде произведения двух других:
.
Тогда
и
исходное уравнение примет вид
или
.
(**)
Выберем
функцию
так,
чтобы полученная при группировке скобка
в (**) обратилась в нуль:
(здесь выбрано частное решение с C = 0 и без знаков модулей).
Подставим в (**). Тогда имеем
.
В
качестве функции
возьмем
общее решение этого дифференциального
уравнения первого порядка с разделяющимися
переменными:
.
Вычислим интеграл с помощью формулы интегрирования по частям:
.
Таким
образом,
,
а общее решение исходного уравнения
имеет вид
.
Теперь
для нахождения значения произвольной
постоянной C
воспользуемся начальным условием
.
Тогда имеем
0,2=2(ln1 + 1)+C,
откуда
0,2=2(0+1)+C,
С= –
1,8.
Итак, искомое частное решение имеет вид
.
ПРИМЕР 3. Найти частные решения следующих линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами при заданных начальных условиях:
1) |
|
|
|
2) |
|
|
|
3) |
|
|
|
Решение.
1)
Характеристическое уравнение
имеет два различных вещественных корня
,
,
поэтому общее решение этого дифференциального
уравнения записывается в виде
,
где
,
произвольные постоянные.
Отсюда
.
Используя начальные условия, получаем
,
т.е.
,
и
,
т.е.
.
Решая систему уравнений
получаем
,
.
Частное решение исходного уравнения,
удовлетворяющее заданным начальным
условиям, найдено и имеет вид
.
2)
Характеристическое уравнение
имеет два равных корня
,
поэтому общее решение соответствующего
дифференциального уравнения записывается
в виде
,
откуда
.
Учитывая начальные условия, получаем систему уравнений для определения , :
Отсюда
;
,
поэтому искомое частное решение имеет
вид
.
3)
Характеристическое уравнение
имеет комплексно-сопряженные корни
,
поэтому общее решение соответствующего
дифференциального уравнения записывается
в виде
.
Отсюда
.
Таким образом, для определения значений , , исходя из начальных условий, получаем систему уравнений
решая
которую, имеем
,
.
Таким образом, искомое частное решение имеет вид
.
ПРИМЕР 4. Найти общие решения следующих линейных неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами:
1)
;
2)
.
Решение.
1)
Найдем общее решение
линейного однородного уравнения с теми
же коэффициентами, что и в левой части
заданного:
Так
как корни его характеристического
уравнения
действительны и различны (
;
),
то общее решение однородного уравнения
записывается в виде
,
где , произвольные постоянные.
Правая
часть заданного неоднородного уравнения
относится к виду
,
где
многочлен степени n
от переменной x.
В нашем случае
,
поэтому, учитывая совпадение одного из
корней характеристического уравнения
с параметром а,
подбираем частное решение исходного
неоднородного уравнения по формуле
,
где А, В неопределенные коэффициенты. Для отыскания их значений находим
,
.
Подставляя
,
,
в исходное уравнение и сокращая все
слагаемые на множитель
,
получаем
или, после упрощения,
.
Отсюда следуют равенства
,
,
т.е.
,
.
Таким образом, общее решение заданного неоднородного дифференциального уравнения имеет вид
.
2) Решаем характеристическое уравнение:
.
Отсюда записываем общее решение однородного уравнения:
.
Так
как правая часть заданного неоднородного
уравнения относится к типу
и имеется совпадение одного