4447
.pdfББК У9 (2) 26 Х12
Введение в актуарные расчёты : методические указания к выполнению контрольной работы по дисциплине «Актуарные расчёты» для студентов 3–5-го курсов специальности 080105 "Финансы и кредит" заочной формы обучения / сост. д-р физ.-мат. наук., проф. В. Ф. Бадюков, д-р экон. наук, доцент М. Ю. Серкин. – Хабаровск : РИЦ ХГАЭП, 2009.–
32 с.
Рецензент завкафедрой
финансов и кредита ТОГУ
канд. экон . наук, профессор
В.А. Фёдоров Утверждено издательско-библио- течным советом академии в качестве методических указаний
©Бадюков Владимир Фёдорович, 2009
©Серкин Максим Юрьевич, 2009
©Хабаровская государственная академия экономики и права, 2009
2
ВВЕДЕНИЕ
Раздел "Введение в актуарные расчёты" знакомит студентов с ос-
новными положениями теории процентных ставок в объёме, который принят в аналогичных учебных заведениях стран Запада.
В процессе изучения курса студент знакомится с кругом задач данной области (ренты, аннуитеты, кредитные расчёты, анализ инвестиционных проектов, ценных бумаг), которые практикуются в странах с рыночной экономикой. При этом следует иметь в виду, что наряду со знакомыми и достаточно простыми понятиями (простые, сложные проценты и др.)
появятся новые и непростые понятия, такие как "сила процента", "дискретные и непрерывные потоки наличности", "уравнение стоимости".
В этих новых терминах будут использоваться математические понятия производной и интеграла. Этого не следует бояться, так как в процессе выполнения заданий будут встречаться только интегралы, имеющиеся в таблицах интегралов любого учебника по высшей математике.
Знания, полученные при изучении первой части курса "Актуарные расчеты", будут использоваться при анализе случайных потоков наличности, страховых рент и страхования жизни, оценки риска.
Методические указания содержат программу первой части курса
"Актуарные расчёты", задания к контрольным работам и методические указания по их выполнению, а также литературу, в которой излагаются соответствующие вопросы.
Методические указания включают общие положения и порядок выполнения заданий, содержат необходимые определения, формулы,
анализ их применения к решению задач контрольной работы. Каждая тема снабжена решением типовых примеров.
3
1. Содержание раздела "Введение в актуарные расчёты "
Тема 1. ПРОСТЫЕ ПРОЦЕНТЫ План
1.Определение простых процентов.
2.Текущая стоимость.
3 Простой дисконт.
Тема 2. СЛОЖНЫЕ ПРОЦЕНТЫ План
1.Понятие сложных процентов.
2.Номинальные процентные ставки.
3.Коэффициенты накопления.
4.Принцип согласованности.
Тема 3. СИЛА ПРОЦЕНТА План
1.Определение силы процента.
2.Связь между силой процента и коэффициентом накопления.
3.Связь между номинальными процентными ставками и силой процента.
4.Текущая стоимость.
5.Формула Студли.
Тема 4. ПОТОКИ НАЛИЧНОСТИ План
1.Дискретные и непрерывные потоки наличности.
2.Текущая стоимость потока наличности.
3.Оценка текущей стоимости потока наличности.
4.Процентный доход.
Тема 5. УРАВНЕНИЕ СТОИМОСТИ План
1.Уравнение стоимости для дискретного и непрерывного потоков наличности.
2.Внутренняя норма прибыли или доходность сделки.
3.Условия существования доходности сделки.
4
1.2.БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1.Бадюков В. Ф. Введение в финансовую математику (Теория процентных ставок) : учеб. пособие Часть 1 / В. Ф. Бадюков. – Хабаровск
:ХГАЭП, 1996.
2.Капитоненко В. В. Задачи и тесты по финансовой математике : учеб. пособие / В. В. Капитоненко. – М. : Финансы и статистика, 2007.
3.Соловьёв А. К. Актуарные расчёты а пенсионном страховании / А. К. Соловьёв. – М. : Финансы и статистика, 2006.
4.Томас М. Математика рискового страхования : пер. с нем. / М. Томас. –М. : Олимп – Бизнес, 2005.
5.Шапкина А. С. Экономические и финансовые риски. Оценка,
управление, портфель инвестиций. 3-е изд. / А. С. Шапкина. – М. : Дашков
иКо, 2005.
6.Фисенко А. И. Основы финансово-экономических расчётов : учеб. пособие для вузов / А. И. Фисенко. – Владивосток : Изд-во Дальневост. ун-
та, 2003.
7.Бадюков В. Ф., Серкин М. Ю., Фещенко Н. В. Страхование : учеб. пособие / В. Ф. Бадюков, М. Ю. Серкин, Н. В. Фещенко. – Хабаровск : РИЦ ХГАЭП, 2003.
2. КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ
2.1. ТАБЛИЦА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЗАДАЧ ПО ВАРИАНТАМ ПО ПОСЛЕДНЕЙ ЦИФРЕ НОМЕРА В ЗАЧЁТНОЙ КНИЖКЕ
Вариант |
Задачи |
1 |
1, 11, 12,22, 32, 42 |
2 |
2, 11, 13, 23, 33, 43 |
3 |
3, 11, 14, 24, 34, 44 |
4 |
4, 11, 15, 25, 35, 45 |
5 |
5, 11, 16, 26, 36, 46 |
6 |
6, 11, 17, 27, 37, 47 |
7 |
7, 11, 18, 28, 38, 48 |
8 |
8, 11, 19, 29, 39, 49 |
5
9 |
9, 11, 20, 30, 40, 50 |
10 |
10, 11, 21, 31, 41, 51 |
Используя теорию простых процентов, решить задачи
1.Найти сумму простых процентов по кредиту 1 000 у. д. е на 53 дня при а) 8 % в год; б) 3 % в месяц. В случае а) найти годовую учётную ставку.
2.Кредит 135 у. д. е. погашается суммой 180 у. д. е. за 67 дней.
Найти простую квартальную процентную ставку и годовую учётную ставку.
3. Найти текущую стоимость суммы 750 у. д. е., уплачиваемой через 5
лет при простой процентной ставке 2% в квартал. Найти соответствующую годовую учётную ставку.
4. Дисконтировать 150 у. д. е. на 5 месяцев при простой учётной ставке d = 0,06 в год. Найти годовую процентную ставку.
5. Суммы 100 и 250 у. д. е. требуются соответственно через 3 и 5 лет.
Предполагая годовую процентную ставку равной 10 %, найти инвестируемую сумму, формирующую накопление по формуле простых процентов.
6. Инвестируемая сумма 100 у. д. е. позволяет при начислении по простому годовому проценту i выплачивать через 3 месяца 40 у. д. е. и
затем ещё через 6 месяцев 119 у. д. е. Найти i в процентах.
7. Дана учётная ставка 8 % в год. Найти соответствующую ей простую процентную ставку и накопление капитала 1 500 у. д. е. за 35 дней.
8.Срочная ценная бумага сроком на 72 дня под 15 % годовых с номинальной стоимостью 1 000 у. д. е. продаётся через 25 дней банку с учётной ставкой 17 % годовых. Найти цену продажи.
9.Инвестируемая сумма 125 у. д. е. позволяет под 22 % годовых получить через 4 месяца 50 у. д. е. и затем ещё через 7 месяцев X у. д. е.
Найти X.
6
10. Инвестируемая сумма 625 у. д. е. позволяет под 25 % годовых получить через 2 месяца X у. д. е. и затем ещё через 10 месяцев – 700 у. д.
е. Найти X.
11. Вексель с номинальной стоимостью 100 x + 400 у. д. е. с
процентной ставкой (0,1 у +12) % годовых сроком на Z + 70 дней продаётся через 40 – z дней после подписания векселя банку с учётной ставкой (10 – 0,1 у) % годовых. Найти норму прибыли продавца и банка,
если x – номер варианта, y – пятая цифра, z – четвёртая цифра зачётной книжки.
Решить следующие задачи на сложные проценты
12. Фактическая процентная ставка на настоящее время составляет
28% в год, но через 2 года она понизится до 20 %.
Найти накопление 1 500 у. д. е. за 5 лет.
13.По первоначальному вкладу 750 у. д. е. за 7 лет накоплена сумма 1 000 у. д. е. Найти фактическую годовую процентную ставку.
14.За три года накоплена сумма 7 500 у. д. е. при фактической процентной ставке 9 % в год. Найти первоначальный вклад.
15.Даны две номинальные процентные ставки 11,5 % в год сроком на
7 дней и 11,375 % сроком на 14 дней. Найти накопление 1 000 000 у. д. е.
за два последовательных недельных срока и на один двухнедельный срок. 16. Найти накопление суммы 750 у. д. е. за 5 лет, если коэффициент
накопления имеет вид
A(t1,t2 ) e0,05(t2 t1 ) .
Проверить выполнение принципа согласованности.
17. Фактическая процентная ставка на настоящее время составляет
17% в год, но через три года она повысится до 22 % в год. Найти накопление 2 500 у. д. е. за 7 лет.
18. По первоначальному вкладу 250 у. д. е. За 8 лет накоплена сумма
525 у. д. е. Найти фактическую годовую процентную ставку.
7
19. Найти текущую стоимость накопленной за 10 лет суммы 1 500 у. д.
е. при годовой процентной ставке 15 %.
20. Номинальная процентная ставка X % в год сроком на 1 день сумму
100 000 у. д. е. при двукратном применении увеличивает до 1000 25 у. д.
е. Найти X.
21. Найти текущую стоимость суммы 3 000 у. д. е. за 5 лет, если коэффициент накопления имеет вид
A(t1 , t2 ) e0,05 (t1 t2 ) .
Проверить выполнение принципа согласованности.
Решить следующие задачи, используя понятие силы процента
22. |
Найти накопленную стоимость суммы 250 у. д. е. за 75 |
дней, |
|||
начиная от |
t |
0 при силе процента 1/(2 t) в год. |
|
|
|
23. |
|
При |
постоянной силе процента |
0,07 в год |
найти |
соответствующие ей годовую процентную и учётную ставки, а также на-
копление 100 у. д. е. за 10 месяцев.
24. Дана годовая процентная ставка i |
0,09 , найти эквивалентные ей |
|
силу процента, а также процентные ставки, |
конвертируемые раз в 30 дней |
|
и в полгода. |
|
|
25. Сумма 350 у. д. е. инвестируется при силе процента |
at в год. |
Накопленная стоимость за 4 года начиная от момента t 2 равна 500 у. д.
е. Найти a . |
. |
26. Пусть время измеряется в годах и сила процента определяется |
|
формулой |
0,1t . Найти эквивалентную ей номинальную процентную |
ставку на срок 5 дней от момента t 2 и накопление 100 у. д. е. за то же время.
27. Пусть сила процента определяется формулой Студли с па-
раметрами p 0,12; r |
0,5; s 0,07 . Найти текущую стоимость 150 у. д. е. |
за 5 лет на момент t |
0 . |
8
28. При силе процента 1/(1 t) в год найти текущую стоимость
на 1 марта 1989 года суммы 750 у. д. е., выплачиваемой 1 октября 1991
года, если момент времени t |
0 соответствует 1 сентября 1988 года. |
|||
29. При кусочно-постоянной силе процента |
|
|
||
|
0, 27, |
0 |
t |
2, |
(t ) |
0, 2, |
2 |
t |
3, |
0,15, t 3.
в год. Найти номинальную процентную ставку в год от момента вре-
мени t 0 на срок 3 месяца. |
|
|
|
|
30. Пусть сила процента в год даётся формулой |
|
|||
|
0, 3, |
0 |
t |
1, |
(t) |
0, 25, |
1 |
t |
3, |
0,17, t 3.
Какая сумма даёт за 6 лет накопленную стоимость 300 у. д. е.?
31. Дана постоянная сила процента 0,21в год. Найти эквивалентные ей годовую учётную ставку и годовые процентные ставки,
конвертируемые раз в день и в квартал.
Решить следующие задачи на тему "Потоки наличности"
32. Пусть сила процента в год определяется формулой
|
0,12, |
0 |
t |
3, |
(t) |
0,8, |
3 |
t |
5, |
|
0, 4, |
t |
5. |
|
Найти дисконтирующий множитель V (t) и затем текущую стоимость
непрерывного потока наличности с нормой |
1в год за 8 лет начиная |
с момента t 0 . |
|
9 |
|
33. Бизнесмен должен уплатить 1 000 у. д. е. 1 января 2012 года, 3 500
у. д. е 1 января 2013 года и 3 000 у. д. е. 1 июля 2013 года. Полагая силу процента постоянной и равной 0,04 в год, найти стоимость этих платежей на 1 января 2010 года и пересчитать на 1 марта 2012 года.
34. Найти цену ежегодной ренты, выплачиваемой в конце каждого года в течение 10 лет с ежегодной суммой 150 у. д. е. , если процентная
ставка равна 12%.
35. Найти текущую стоимость на момент t 0 четырёх ежегодных
выплат в размере 1 000 у. д. е., если первая выплата производится в
момент t |
2 . |
Сила |
процента |
определяется |
формулой Студли с |
||||
параметрами |
p |
0,17; r |
0,6; s |
0,06. |
|
|
|
|
|
36. Пусть сила процента в год при |
t |
0 определяется формулой |
|||||||
|
|
|
(t) |
0,12 |
1 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
20 t |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Найти процентный доход от вложения в момент времени t |
0 |
||||||||
суммы 1 500 у.д.е. |
|
|
|
|
|
|
|
||
37. Найти процентный доход за первые 10 лет 1000 у. д. е. |
и текущую |
стоимость процентного дохода за последующие 10 лет на момент t 10,
если процентная годовая ставка равна 15 %.
38. Найти цену ежегодной пожизненной ренты с правом наследования,
выплачиваемой в конце каждого года суммой 350 у. е. д., если годовая
учётная ставка равна 8%.
39. Текущая стоимость процентного дохода на момент времени t 0
от суммы 1 000 у. д. е. за 16 лет составляет 900 у. д. е. Найти годовую процентную ставку.
40. Пусть сила процента в год определяется формулой
|
0, 2, |
0 |
t |
2, |
(t) |
0,15, |
2 |
t |
3, |
|
0,12, |
t |
3. |
|
10
Найти дисконтирующий множитель |
V (t) и текущую стоимость |
||||
дискретного потока |
наличности |
Ct |
100 у. е. д., |
Ct |
250 у. е. д., |
|
|
1 |
|
|
2 |
Сt3 375 у. е. д., t1 |
1, t2 3, t3 7 на момент времени t |
0. |
|||
41. Мистер А обязуется уплатить мистеру В 300 у. д. е. через 3 месяца |
|||||
и 500 у. д. е. через 6 |
месяцев от момента времени t |
0 при фактической |
процентной ставке 2 % в квартал. Однако мистер А хотел бы составить такую схему платежей, которая соответствовала бы его регулярным ежеквартальным доходам, а именно: первый платёж производится немедленно, а остальные два – в конце каждого квартала. Какой должен быть размер регулярного платежа?
В задачах 42–51 заданы сделки в виде дискретных потоков
наличности, определённых таблицами
Се |
Се2 |
Сет |
1 |
|
|
t1 |
t2 |
tn |
где Ct j – доходы или расходы, выраженные в условных денежных
единицах; соответственно t j – моменты времени, в которые происходят поступления или выплаты денег. Требуется: а) составить уравнение стоимости; б) определить, имеет ли сделка доходность; в) решить уравнение стоимости, если сделка имеет доходность, и вычислить с точностью до одного процента.
42. |
- 5 |
- 3 |
6 |
9 |
47. |
- 3 |
- 2 |
- 1 |
20 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
4 |
6 |
|
1 |
2 |
3 |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
43. |
-7 |
2 |
-1 |
9 |
48. |
- 10 |
1 |
5 |
20 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11