УПП / Курс 2 / Семестр 3 / Математика / Лекции / Лекция 3. Комплексные числа
.pdfПожидаев А.В., Вылегжанин И.А. Математика: Курс лекций для студентов технических специальностей. Ч. III. – Новосибирск: Изд-во СГУПСа, 2009. – 166 с. С. 85 – 94
Лекция.
Комплексные числа. Алгебраическая, тригонометрическая и показательная формы комплексного числа. Действия над комплексными числами.
Комплексные числа. Арифметические операции с комплексными числами
К введению понятия комплексного числа привела невозможность извлечения квадратного корня из отрицательных чисел.
Определение: Полагаем −1 = i . Это новое число i называется мнимой единицей.
Замечание 1: Из определения очевидно, что i2 = −1
Замечание 2: Мнимая единица не является действительным числом, это новый объект, свойства которого будут изучены в данной лекции.
Замечание 3: Введение в рассмотрение мнимой единицы позволяет извлекать квадратный корень из любого отрицательного числа. Например,
−4 = 4 (−1)= 4 −1 = 2i −5 = 5 (−1)= 5 −1 = i5
Определение: Число z = a +ib , где a,b - действительные числа, называется комплексным
числом. При этом действительное число a называется действительной частью числа z = a +ib и обозначается a = Re z ; действительное число b называется мнимой частью числа z = a +ib и обозначается b = Im z .
Замечание1: Любое действительное число a является и комплексным, т.к. a = a +i 0. Замечание 2: Запись комплексного числа виде z = a +ib называют алгебраической формой комплексного числа.
Определение: Комплексное число z = a −ib называется числом, комплексно сопряженным с числом z = a +ib .
Пример: 1) Если z = 2 −3i , то Re z = 2 , Im z = −3, z = 2 +3i
2) Если z = 5 , то Re z = 5 , Im z = 0 , |
z = 5 |
Сложение, вычитание, умножение и |
деление комплексных чисел z1 = a +ib и |
z2 = с+id определяются следующими правилами:
z1 + z2 = (a +c)+i(b + d ) z1 − z2 = (a −c)+i(b −d )
z1 z2 = (a +ib) (c +id )= ac +ibc +iad +i2bd = (ac −bd )+i(ad +bc)
т.е. при сложении, вычитании и умножении скобки раскрываются по обычным правилам, учитывается условие i2 = −1 и приводятся подобные.
z1 |
= |
a +ib |
= |
(a +ib)(c −id ) |
= |
(ac +bd )+i(bc −ad ) |
= |
|
z2 |
c +id |
(c +id )(c −id ) |
|
c2 + d 2 |
||||
ac +bd +i |
bc −ad |
|
|
|
||||
c2 |
+ d 2 |
c2 |
+ d 2 |
|
|
|
При делении необходимо числитель и знаменатель дроби умножить на число, комплексно сопряженное к знаменателю, раскрыть скобки и привести подобные.
1
Пожидаев А.В., Вылегжанин И.А. Математика: Курс лекций для студентов технических специальностей. Ч. III. – Новосибирск: Изд-во СГУПСа, 2009. – 166 с. С. 85 – 94
Пример: Если z1 = 2 +5i , |
z2 = 4 +3i , то |
|
|
|
|
|||||||||||
z1 + z2 |
= (2 + 4)+i(5 +3)= 6 +8i , |
|
|
|
|
=(2 +5i) (4 +3i) |
|
|||||||||
z − z |
2 |
= (2 −4)+i(5 −3)= −2 + 2i |
, z |
1 |
z |
2 |
=8 + 20i + 6i +15i2 = −7 + 26i , |
|||||||||
1 |
|
|
|
(2 +5i)(4 −3i) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
z |
= |
2 +5i |
|
= |
8 + 20i |
−6i −15i2 |
= |
23 |
+14i |
= |
||||||
z2 |
4 +3i |
= (4 +3i)(4 −3i) |
|
|
|
25 |
|
|
25 |
|||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
23 +i 14 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
25 |
|
25 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Очевидны следующие свойства комплексных чисел:
1.z1 + z2 = z2 + z1
2.(z1 + z2 )+ z3 = z1 +(z2 + z3 )
3.z1 z2 = z2 z1
4.(z1 z2 ) z3 = z1 (z2 z3 )
5.(z1 + z2 ) z3 = z1 z3 + z2 z3
Теорема (связь арифметических операций и комплексного сопряжения)
__
1. (z)= z
________
2. (z1 + z2 )= z1 + z2 (число, сопряженное к сумме равно сумме
сопряженных чисел)
________
3. (z1 − z2 )= z1 − z2 (число, сопряженное к разности равно разности сопряженных чисел)
________
4. (z1 z2 )= z1 z2 (число, сопряженное к произведению равно произведению сопряженных чисел)
|
________ |
|
|
|
|||
|
|
z1 |
|
|
z1 |
|
|
5. |
|
|
= |
(число, сопряженное к частному равно частному сопряженных чисел) |
|||
|
|
||||||
|
|
|
z2 |
||||
|
z2 |
|
|
|
Доказательство: 1. Очевидно.
Пусть z1 = a +ib , z2 = с+id , тогда z1 = a −ib , z2 = с−id
2., 3. z1 + z2 = (a +c)+i(b + d ), z1 − z2 = (a −c)+i(b −d ) и
________
(z1 + z2 )= (a +c)−i(b + d )= a −ib +c −id = z1 + z2
________
(z1 − z2 )= (a −c)−i(b −d )= a −ib +id −c = z1 − z2
________
4. z1 z2 =(ac −bd )+i(ad +bc), (z1 z2 )= (ac −bd )−i(ad +bc)
______
z1 z2 = (a −ib)(c −id )= ac −bd −i(ad +bc)= (z1 z2 )
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
________ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
z1 |
|
ac +bd |
|
bc −ad |
|
|
z1 |
|
|
ac +bd |
|
bc −ad |
||||||||||||
5. |
= |
+i |
, |
|
|
= |
−i |
||||||||||||||||||
z2 |
c |
2 |
+ d |
2 |
c |
2 |
+ d |
2 |
|
|
|
c |
2 |
+ d |
2 |
c |
2 |
+ d |
2 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
z2 |
|
|
|
|
|
|
|
2
Пожидаев А.В., Вылегжанин И.А. Математика: Курс лекций для студентов технических специальностей. Ч. III. – Новосибирск: Изд-во СГУПСа, 2009. – 166 с. С. 85 – 94
|
|
|
|
(a −ib)(c +id ) |
|
ac +bd +i(ad −bc) |
____ |
|
||||||
z1 |
|
a −ib |
|
|
|
|||||||||
= |
= |
= |
|
z1 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
||||||
z2 |
c −id |
(c −id )(c +id ) |
c |
+ d |
= |
. |
||||||||
|
|
|
|
|
z2 |
|
Теорема доказана.
Замечание: Понятий «больше» и «меньше» для комплексных чисел не существует. Доказано, что невозможно ввести для комплексных чисел эти понятия таким образом, чтобы они были согласованы с арифметическими операциями.
Геометрическая интерпретация комплексных чисел
В прямоугольной системе координат на плоскости отложим от начала координат вектор (a;b) и сопоставим этот вектор
комплексному |
числу |
z = a +ib . |
Очевидно, |
что такое |
сопоставление будет |
взаимно однозначным, т.е. каждому |
|||
комплексному |
числу |
соответствует |
ровно один |
вектор и |
каждому вектору соответствует ровно одно комплексное число. Из определений сложения векторов и сложения комплексных чисел следует, что сложение комплексных чисел можно производить геометрически как сложение соответствующих им векторов.
Аналогично можно производить вычитание комплексных чисел как |
соответствующих им |
|
векторов. |
|
|
Пусть z = x +iy - комплексное число. Рассмотрим |
полярную |
систему координат, |
совмещенную с прямоугольной обычным образом: полюс совпадает с началом прямоугольной системы координат, и полярная ось направлена по положительному направлению оси абсцисс. Тогда, поскольку
x = ρcosϕy = ρsinϕ ,
то z = ρ(cosϕ +i sinϕ).
Замечание: Запись комплексного числа в виде z = ρ(cosϕ +i sinϕ) называют геометрической формой комплексного числа.
Определение: Величина ρ = |
|
x2 + y2 |
|
называется модулем комплексного числа z = x +iy и |
|||||||||||||||
обозначается |
|
z |
|
. Величина ϕ называется аргументом комплексного числа z = x +iy . |
|||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||
Пример: Найти геометрическую форму комплексного числа z = −1+i |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
Из рисунка 2 |
|
видно, что |
|
ρ = |
|
|
, ϕ = |
3π |
(это можно было |
||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|||
|
|
|
|
определить и аналитически), значит, |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
z = |
|
|
|
3π |
+i sin |
3π |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 cos |
4 |
4 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
Пусть z1 = ρ1 (cosϕ1 +i sinϕ1 ), |
z2 = ρ2 (cosϕ2 +i sinϕ2 ), тогда |
||||||||||||||
|
|
|
|
z1 z2 |
= ρ1ρ2 (cosϕ1 +i sinϕ1 )(cosϕ2 +i sinϕ2 )= |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Пожидаев А.В., Вылегжанин И.А. Математика: Курс лекций для студентов технических специальностей. Ч. III. – Новосибирск: Изд-во СГУПСа, 2009. – 166 с. С. 85 – 94
=ρ1ρ2 ((cosϕ1 cosϕ2 −sinϕ1 sinϕ2 )+i(cosϕ1 sinϕ2 +sinϕ1 cosϕ2 ))=
=ρ1ρ2 (cos(ϕ1 +ϕ2 )+i sin(ϕ1 +ϕ2 ))
Таким образом, при умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются.
z1 |
|
ρ1 |
(cosϕ1 |
+i sinϕ1 ) |
ρ1 |
(cosϕ1 |
+i sinϕ1 )(cosϕ2 |
−i sinϕ2 ) |
||
|
= |
|
|
|
= |
|
|
|
|
= |
z2 |
ρ2 |
(cosϕ2 |
+i sinϕ2 ) |
ρ2 |
(cosϕ2 |
+i sinϕ2 )(cosϕ2 |
−i sinϕ2 ) |
=ρ1 ((cosϕ1 cosϕ2 +sinϕ1 sinϕ2 )+i(sinϕ1 cosϕ2 −sinϕ2 cosϕ1 ))=
ρ2 (cos2 ϕ2 +sin 2 ϕ2 )
=ρ1 (cos(ϕ1 −ϕ2 )+i sin(ϕ1 −ϕ2 ))
ρ2
Значит, при делении комплексных чисел их модули делятся, а аргументы вычитаются. Замечание: Из вышесказанного следует, что для любых комплексных чисел z1 , z2 имеют
место равенства |
|
z z |
|
= |
|
z |
|
|
|
z |
|
и |
|
|
z |
|
= |
|
z1 |
|
|
|
. |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
z2 |
|
|
|
z2 |
|
|
|||||||
Пусть z = ρ(cosϕ +i sinϕ), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
тогда, поскольку при умножении комплексных чисел их модули |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
перемножаются, а аргументы складываются: |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z2 = ρ2 (cos 2ϕ +i sin 2ϕ) |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
z3 = z2 z = ρ3 (cos3ϕ +i sin 3ϕ) |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
z4 |
= z3 z = ρ4 (cos 4ϕ +i sin 4ϕ) и т. д. |
|||||||||||||||||||||||||||||
Кроме того, |
z−1 |
= |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
= cosϕ −i sinϕ = ρ−1 (cos(−ϕ)+i sin(−ϕ)), |
|||||||||||||||||||
|
ρ |
(cosϕ +i sinϕ) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
= (z−1 )2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ρ |
|
||||||||||||||||||||
z−2 |
= ρ−2 (cos(−2ϕ)+i sin(−2ϕ)) и т. д. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
Таким образом, имеет место формула Муавра1: |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
zn |
= ρn (cos nϕ +i sin nϕ) при n Z . |
||||||||||||||||||||||||||
Пример: Найти z4 , если z = −1+i |
|
|
|
|
|
|
|
3π |
|
|||||||||||||||||||||||||||
Решение: Поскольку z |
|
|
|
|
|
|
|
3π |
|
+i sin |
|
|
||||||||||||||||||||||||
= |
2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
cos |
4 |
|
4 |
|
|
, то |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
4 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
3π |
|
|
|
|
|
|
|
3π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
z |
|
= ( 2) |
cos |
4 |
|
|
|
|
|
+i sin 4 |
|
|
|
|
= 4(−1+0 i)= −4 |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Определение: Корнем степени n из комплексного числа z называется комплексное число w
такое, что wn = z .
Очевидно, что если |
z = ρ(cosϕ +i sinϕ), то число w |
|
|
|
|
ϕ |
+i sin |
ϕ |
, где под |
|
|
|
|||||||
0 |
= n ρ cos |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
n |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
выражением nρ подразумевается арифметический корень степени n из действительного числа, является корнем степени n из числа z .
1 Муавр Абрахам де (1667-1754) английский математик
4
Пожидаев А.В., Вылегжанин И.А. Математика: Курс лекций для студентов технических специальностей. Ч. III. – Новосибирск: Изд-во СГУПСа, 2009. – 166 с. С. 85 – 94
Кроме |
|
|
|
|
|
|
того, |
|
|
при |
|
|
|
|
любом |
|
|
целом |
|
|
|
|
|
значении |
|
числа |
|
|
k |
комплексное |
число |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
wk |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ϕ |
|
+ 2πk |
+i sin |
ϕ + 2πk |
|
также является корнем степени n из числа z . |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
= n |
|
ρ |
cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Действительно: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
w |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ϕ + 2πk |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ϕ + 2πk |
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
k |
= ρ cos n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+i sin n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
= ρ(cos(ϕ + 2πk)+i sin(ϕ + 2πk))= ρ(cosϕ +i sinϕ)= z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Среди чисел wk |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ϕ + 2πk |
+i sin |
ϕ + 2πk |
|
|
|
различными являются только n чисел. Эти |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
= n |
ρ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
cos |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
числа получаются, если числу k последовательно придавать значения k = 0,1,2,..., n −1. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Пример1: Вычислить |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
Решение: Найдем геометрическую форму числа i : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Модуль числа равен 1, аргумент равен |
|
π |
|
, поэтому i = cos |
π |
|
+i sin |
π . |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Поскольку извлекается корень второй степени (n = 2 ), в формулу |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
wk |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ϕ |
+ |
2πk |
+i sin |
ϕ |
+ |
2πk |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= n |
|
|
ρ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos |
|
|
|
|
n |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
надо будет подставлять два значения: k = 0 и k =1: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
+0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
+0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
При k = 0 : w |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+i sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+i sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
= |
1 |
cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= cos |
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
При k =1: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
+ 2π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
+ 2π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
5π |
|
|
|
|
|
|
|
|
5π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
w |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 2: Вычислить |
6 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+i sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+i sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
= |
1 |
|
|
|
cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= − |
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Решение: Модуль комплексного числа z =1 равен 1, аргумент равен 0. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
w |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
+i sin |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
= 6 1 cos |
|
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2π |
|
|
|
|
|
|
|
|
2π |
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
w |
|
|
|
|
|
|
|
|
+i sin |
|
|
|
|
|
|
|
+i sin |
|
|
|
|
|
|
+i |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
= 6 1 cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= cos |
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
w2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
4π |
|
+i sin |
|
4π |
|
|
|
|
|
|
2π |
+i sin |
2π |
|
|
|
1 |
|
+i |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
= 6 1 cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
6 |
|
|
|
6 |
|
|
|
3 |
|
3 |
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
w |
|
|
|
|
|
|
|
|
6π |
|
+i sin |
|
6π |
= cosπ +i sinπ = −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
= 6 1 cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
w4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
8π |
|
+i sin |
|
8π |
|
|
|
|
|
|
4π |
+i sin |
4π |
|
|
|
|
1 |
|
−i |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
= 6 1 cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
6 |
|
|
|
|
6 |
|
|
3 |
|
|
3 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10π |
|
|
|
|
|
|
|
10π |
|
|
|
|
|
|
|
|
5π |
|
|
|
|
|
|
|
5π |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
w |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+i sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
+i sin |
|
|
−i |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
= 6 1 cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пожидаев А.В., Вылегжанин И.А. Математика: Курс лекций для студентов технических специальностей. Ч. III. – Новосибирск: Изд-во СГУПСа, 2009. – 166 с. С. 85 – 94
Замечание1: Если комплексные числа, являющиеся корнями степени n из 1, отметить на комплексной плоскости, то они будут являться вершинами правильного n -угольника с центром в начале координат.
Замечание 2: Для любого комплексного числа суравнение xn = c имеет ровно n различных комплексных корней.
Комплексные корни алгебраических уравнений
Понятие комплексного числа позволяет решать квадратные уравнения с отрицательным дискриминантом и даже с комплексными коэффициентами.
Пример 1: Решить уравнение x2 −4x +13 = 0
x1,2 = 4 ± (−42)2 −4 13 = 4 ± 2−36 = 4 ±26i = 2 ±3i
Пример 2: Решить уравнение x2 −(1+ 2i)x +i −1 = 0
|
|
1+ 2i ± |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
= |
(1+ 2i)2 |
−4 (i −1) |
= |
1 |
+ 2i ±1 |
. x = i; x |
2 |
=1+i |
||
|
|
|
|
|
|
||||||
1,2 |
|
2 |
|
|
|
2 |
1 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
Замечание: Если комплексное число z = a +ib является корнем уравнения с действительными коэффициентами, то комплексно сопряженное к нему число z = a −ib также является корнем того же уравнения.
Значит, любой многочлен второй степени можно представить в виде произведения двух многочленов первой степени. Так, в примере 1:
x2 −4x +13 = (x −(2 −3i)) (x −(2 +3i)), а в примере 2: x2 −(1+ 2i)x +i −1 = (x −i) (x −(i −1))
Всвязи с этим основную теорему алгебры, сформулированную в лекции 8 второго семестра можно переформулировать так: любой многочлен с комплексными коэффициентами может быть представлен в виде произведения многочленов первой степени с комплексными коэффициентами.
Вдальнейшем удобно будет считать, что многочлен степени n имеет ровно n комплексных корней (среди которых могут быть и одинаковые).
Определение: |
если уравнение имеет k одинаковых |
корней x0 , |
то говорят, что корень |
||
x0 имеет кратность k. |
|
|
|||
Пример: Найти все корни многочлена x5 −6x4 +9x3 |
|
|
|||
Решение: x5 |
−6x4 +9x3 = x3 (x2 −5x +6)= x x x (x −3) (x −3) |
|
|||
Выражение |
x x x (x −3) (x −3) равно нулю тогда, |
когда равен |
нулю хотя бы один из |
||
сомножителей, |
т.е. |
x = 0 или x = 0 или x = 0 или x −3 = 0 или x −3 = 0 . Значит, уравнение |
|||
имеет 5 корней: |
x1 |
= x2 = x3 = 0 , x4 = x5 = 3. |
|
|
Приведем без доказательства одну важную формулу (формулу Эйлера2), которая понадобится нам в дальнейшем.
eix = cos x +i sin x для любого действительного числа х.
2 Эйлер Леонард (1707-1783) математик, механик, физик и астроном. Автор более 800 работ по математическому анализу, дифференциальной геометрии, теории чисел, небесной механике, математической физике, оптике, баллистике, кораблестроению, теории музыки и др. С 1727 г. работал в России, академик Петербургской академии наук.
6