Учебное пособие 800174
.pdfН.Б. Ускова А.В. Бондарев А.В. Ряжских И.М. Пашуева
РЯДЫ
Учебное пособие
Воронеж 2017
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФГБОУ ВО «Воронежский государственный технический университет»
Н.Б.Ускова А.В. Бондарев А.В. Ряжских И.М. Пашуева
РЯДЫ
Утверждено учебно-методическим советом университета в качестве учебного пособия
Воронеж 2017
УДК 517.9 ББК 22.161
Р 98 |
|
Ряды: учеб. пособие / Н.Б. Ускова, |
А.В. Бондарев, |
А.В. Ряжских, И.М. Пашуева. – Воронеж: |
ФГБОУ ВО «Во- |
ронежский государственный технический университет», 2017. 85 с.
В пособии рассматриваются основные вопросы теории рядов: числовые ряды, степенные ряды и ряды Фурье.
Издание соответствует требованиям Федерального государственного образовательного стандарта высшего образования по направлению 11.03.03 «Конструирование и технология электронных средств», профиль «Проектирование и технология радиоэлектронных средств», направлению 12.03.01 «Приборостроение», профиль «Приборостроение», направлению 11.03.01 «Радиотехника», профиль «Радиотехнические средства передачи, приема и обработки сигналов» и специальности 11.05.01 «Радиоэлектронные системы и комплексы», специализация «Радиоэлектронные системы передачи информации», дисциплине «Математика».
Ил. 1. Библиогр.: 7 назв.
Рецензенты: кафедра информатики и методики преподавания математики Воронежского государственного педагогического университета (зав. кафедрой канд. пед. наук, доц.
В.В. Малев); канд. физ.-мат. наук, доц. В.С. Купцов
Ускова Н.Б., Бондарев А.В., Ряжских А.В., Пашуева И.М., 2017
ФГБОУ ВО «Воронежский государственный технический университет», 2017
ВВЕДЕНИЕ
В предлагаемом учебном пособии в кратком виде изложены основы теории рядов.
Учебное пособие состоит из 4 глав, в которых изложены следующие разделы: числовые ряды, функциональные и степенные ряды, ряды Фурье. Наряду с теоретическим материалом, по каждой теме разобраны примеры решения задач. В конце каждой главы даны задачи для самостоятельного решения. В 4 главе приведены задания для типового расчета по теме «Функциональные ряды».
Материал, представленный в учебном пособии, соответствует рабочим программам по направлению 11.03.03 «Конструирование и технология электронных средств», профиль «Проектирование и технология радиоэлектронных средств», направлению 12.03.01 «Приборостроение», профиль «Приборостроение», направлению 11.03.01 «Радиотехника», профиль «Радиотехнические средства передачи, приема и обработки сигналов» и специальности 11.05.01 «Радиоэлектронные системы и комплексы», специализация «Радиоэлектронные системы передачи информации»дисциплине «Математика».
3
1.ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ
1.Основные понятия
Числовым рядом называется выражение вида
a1 a2 a3 ... an ... (1.1)
Числа a1,a2,a3,...,an,... называются членами ряда. Обычно ис-
пользуют краткую запись an для обозначения числового ря-
n 1
да.
Сумма n первых членов ряда называется n-й частичной
n
суммой ряда и обозначается Sn . Таким образом, Sn ai .
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i 1 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
1 |
1 |
||||||
|
|
Пример. Рассмотрим ряд 1 |
|
|
|
... |
|
... |
|
, назы- |
||||||||||||
|
|
2 |
3 |
n |
n |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
||
ваемый гармоническим рядом. Для гармонического ряда S1 1, |
||||||||||||||||||||||
S |
|
1 |
1 |
|
3 |
, S |
|
1 |
1 |
|
1 |
|
11 |
и т.д. |
|
|
|
|
|
|
||
|
2 |
2 |
2 |
|
3 |
2 |
|
3 |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
Если существует конечный предел S последовательности |
||||||||||||||||||||
частичных сумм |
Sn , т.е. |
|
S limSn , |
то ряд называется сходя- |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
щимся рядом, а число S – суммой ряда. Ряд называется расходящимся, если не существует конечного предела последовательности частичных сумм Sn .
Пример. Рассмотрим ряд
|
|
1 q q2 q3 ... qn ... qn , |
(1.2) |
n 1 |
|
называемый геометрической прогрессией. Известна формула для нахождения суммы первых n членов геометрической прогрессии (частичной суммы ряда):
4
|
|
|
|
|
S |
|
|
1 qn |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
n |
|
|
. |
|
|
|
(1.3) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 q |
|
|
|
|
|||
Пусть |
|
q |
|
1, тогда qn |
0 |
при n и |
|
||||||||
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
S limS |
|
|
|
|
1 qn |
1 |
|
|
|||
|
|
|
|
n |
lim |
|
|
|
|
. |
|||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
n |
|
|
n 1 q |
1 q |
|
Следовательно, в этом случае геометрическая прогрессия являя-
ется сходящимся рядом и ее сумма равна 1 .
|
|
|
|
1 q |
|
|
Пусть |
|
q |
|
1, тогда qn при n и S lim |
1 qn |
. |
|
|
|||||
|
|
|
||||
|
|
|
|
n 1 q |
|
|
|
|
|
|
Следовательно, в этом случае геометрическая прогрессия являяется расходящимся рядом.
|
|
Пусть q 1, тогда получаем |
|
ряд 1 1 1 1 ..., |
|
S |
n |
1 1 1 1 ... n. Поэтому S limS |
n |
limn и ряд рас- |
|
|
|
n |
n |
n раз
ходится.
Пусть q 1, тогда ряд имеет вид 1 1 1 1 1 .... Его
частичная сумма Sn равна нулю при четных n и 1 при нечетных
n. Следовательно, не существует предела последовательности частичных сумм, и ряд расходится.
1.2. Свойства числовых рядов
Приведем далее некоторые теоремы, касающиеся числовых рядов.
Теорема 1. Если сходится ряд, полученный из данного отбрасыванием конечного числа его членов, то сходится и данный ряд.
Справедливо и обратное утверждение. Если сходится данный ряд, то сходится и ряд, полученный из данного отбрасыванием конечного чила его членов.
5
Доказательство. Рассмотрим ряд an . Пусть Sn – сум-
n 1
n
ма первых n его членов, Sn ai , k – сумма k отбрасыва-
i 1
емых членов (k n) и n k – сумма членов, вошедших в Sn и не вошедших в k . Таким образом, Sn k n k . Особо отметим,
что k есть величина построянная, от n не завясящая. В послед-
нем равенстве перейдем к пределу при n
limSn k lim n k .
n n
Следовательно, если существует limSn , то существует и
n
lim n k и наоборот. Теорема доказана.
n
Теорема 2. Если ряд a1 a2 a3 ... an ... an сходит-
n 1
ся и его сумма равна S, то ряд
ca1 ca2 ca3 ... can ... can ,
n 1
где с – некоторая константа, сходится и его сумма равна cS.
n
Доказательство. Пусть Sn ai – частичная сумма ряда
i 1
|
n |
|
an , а n cai – частичная сумма ряда can . Очевидно,
n 1 |
i 1 |
n 1 |
что
n n
n ca1 cna2 ... can cai c ai cS .
i 1 i 1
Поэтому lim n limcSn cS . Теорема доказана.
n n
6
Теорема 3. Если ряды an и bn сходятся и их суммы
n 1 n 1
равны S1 и S2 , то ряды an bn и an bn также схо-
n 1 n 1
дятся и их суммы равны S1 S2 и S1 S2 соответственно.
Доказательство. Докажет утверждение теоремы только
|
n |
n |
для ряда an bn . Обозначим |
S1n ai , |
S2n bi , |
n 1 |
i 1 |
i 1 |
n
n ai bi . Тогда
i 1
n a1 b1 a2 b2 ... an bn a1 a2 ... anb1 b2 ... bn S1n S2n.
lim n |
lim S1n |
S2n limS1n |
limS2n |
S1 S2 . |
n |
n |
n |
n |
|
Из теоремы 3 следует важное часто используемое правило: сходящиеся ряды можно почленно складывать и вычитать.
1.3. Признаки сходимости числовых рядов
Обычно важно знать не сумму ряда, ее в случае сходимости ряда легко можно посчитать численно, а сходится ряд или расходится. Далее будут сформулированы признаки сходимости числовых рядов.
1.3.1. Необходимый признак
Теорема. Если ряд an сходится, то
n 1
lima 0. |
(1.4) |
n n |
|
Доказательство. По определению, S limSn , но также по
n
определению, S limSn 1 . Вычитая из первого равенства второе,
n
7
получаем lim Sn Sn 1 S S 0 . Но т.к. |
Sn Sn 1 an , то |
n |
|
lima 0. Теорема доказана. |
|
n n |
|
Важно помнить, что необходимый признак не используется для определения сходимости ряда. Его используют только
следующим образом. Если liman 0, то ряд расходится.
n
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|||||
Пример 1. Исследовать на сходимость ряд |
|
|
|
. |
|
|
||||||||||||||
n 1 |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|||
Решение. a |
|
; lima |
|
lim |
|
1 0. |
|
|
|
|
|
|||||||||
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
n |
n |
n |
n n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Следовательно, ряд расходится. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Пример 2. Исследовать на сходимость ряд |
|
3n 2 |
. |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1000n 1 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|||
Решение. a |
|
3n 2 |
; |
|
lima |
lim |
3n 2 |
|
3 |
0. |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
n |
1000n 1 |
|
n n |
n 1000n 1 |
1000 |
|
|
Следовательно, ряд расходится.
1
Пример 3. Исследовать на сходимость ряд n 1 n2 2 .
Решение. a |
1 |
; lima |
lim |
1 |
0. |
n2 2 |
|
||||
n |
n n |
n n2 2 |
|
Об этом ряде по необходимому признаку ничено нельзя сказать. Далее, используя другой признак (признак сравнения) мы получим, что этот ряд сходится.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
Пример 4. Исследовать на сходимость ряд |
|
. |
||||||||
2n 3 |
||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
n 1 |
|
|
Решение. a |
|
|
|
; lima |
lim |
0. |
|
|
||
|
n |
|
2n 3 |
n n |
n 2n 3 |
|
|
|
Об этом ряде по необходимому признаку ничено нельзя сказать. Из приводимого далее признака сравления следует расходимость этого ряда.
8
Переходим к достаточным признакам сходимости для числовых рядов с положительными членами.
1.3.2. Интегральный признак Коши
Теорема. Пусть общий член ряда an задается равен-
|
n 1 |
ством an f n . Если функция |
f x , принимающая в точках |
x n, n 1,2,3,..., значения f n , монотонгно убывает в неко-
тором промежутке a x , где a 1, то исходный ряд и не-
собственный интеграл f x dx ведут себя одинаково: или оба
a
сходятся, или оба расходятся.
Доказательство этой теоремы приводить не будем ввиду его громоздкости.
Пример. Рассмотрим несобственный интеграл x1 dx.
1
Известно, что при a 1 интеграл сходится, а при a 1 – расхо-
1
дится. Следовательно, числовой ряд n 1 n сходится при a 1 и
1
расходится при a 1. В частности, гармонический ряд
n 1 n
расходится.
1.3.3. Признак сравнения
Рассмотрим два числовых ряда с положительными члена-
|
|
ми: an , его обозначим ряд (А), и bn , его обозначим ряд
n 1 |
n 1 |
(В).
Из признака сравнения для несобственных интегралов и интегрального признака Коши вытекают следующие теоремы.
Теорема. Пусть 0 an bn для всех достаточно больших n.
9