- •А.П. Бырдин н.В. Заварзин а.А. Сидоренко л.П. Цуканова основы численных методов Учебное пособие
- •А.П. Бырдин н.В. Заварзин а.А. Сидоренко л.П. Цуканова
- •Введение
- •1. Действия над приближенными числами
- •1.1. Основные источники погрешностей
- •1.2. Приближенные числа. Абсолютная и относительная погрешности
- •1.3. Правила записи приближенных чисел
- •Решение. В нашем случае и . Следовательно,
- •Решение. Имеем .
- •2. Интерполирование функции
- •2.1. Постановка задачи интерполирования
- •2.2. Вычисление значений многочлена по схеме Горнера
- •2.3. Интерполяционный многочлен Лагранжа
- •Интерполяционный многочлен Ньютона
- •Сопоставление интерполяционных формул Лагранжа и Ньютона. Погрешность интерполяции
- •2.6. Интерполирование функции кубическими сплайнами
- •Методы численного решения систем
- •3.1. Метод Гаусса
- •3.2. Метод итерации
- •3.3. Метод Зейделя
- •4. Методы численного решения
- •4.1. Отделение корней
- •Метод половинного деления
- •4.3. Метод хорд
- •4.4. Метод Ньютона
- •Комбинированный метод
- •4.6. Метод итерации
- •4.7. Метод Ньютона для системы двух уравнений
- •Метод итерации для системы двух уравнений
- •5. Численное дифференцирование
- •5.1. Постановка вопроса
- •5.2. Формулы приближенного дифференцирования, основанные на первой интерполяционной формуле Ньютона
- •5.3. Конечно-разностные аппроксимации производных
- •6. Среднеквадратичное приближение функций
- •6.1. Метод наименьших квадратов
- •7. Численное интегрирование
- •Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений
- •8.1. Понятие о численном решении задачи Коши
- •8.2. Метод Эйлера
- •8.3. Методы Рунге-Кутта
- •8.4. Численные решение систем дифференциальных уравнений первого порядка
- •9. Численное решение дифференциальных уравнений в частных производных
- •Решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа методом сеток
- •Решение смешанной задачи для уравнения гиперболического типа методом сеток
- •9.3. Решение смешанной задачи для уравнения теплопроводности типа методом
- •Библиографический список
- •Оглавление
- •1. Действия над приближенными числами ..……………...4
- •2. Интерполирование функций ……………………….…... 9
- •3. Методы численного решения систем линейных
- •4. Методы численного решения нелинейных уравнений
- •10. Библиографический список …….…….……..……… 110
- •Составители: Бырдин Аркадий Петрович
- •394026 Воронеж, Московский просп., 14
5. Численное дифференцирование
5.1. Постановка вопроса
Обычное нахождение производной с помощью таблицы производной при численном решении задач применимо не всегда, в частности, если функция задана таблично, а также при решении дифференциальных уравнений разностными методами. В этих случаях обычно прибегают к приближенному дифференцированию.
Для вывода формул приближенного дифференцирования заменяют данную функцию на отрезке интерполирующей функцией (чаще всего полиномом), а затем полагают
. (5.1)
Аналогично поступают при нахождении производных высших порядков функции .
Если для интерполирующей функции известна погрешность , то погрешность производной выражается формулой
, (5.2)
то есть погрешность производной интерполирующей функции равна производной от погрешности этой функции. То же самое справедливо и для производных высших порядков.
Следует отметить, что приближенное дифференцирование представляет собой операцию менее точную, чем интерполирование. Действительно, близость друг к другу ординат двух кривых
и
на отрезке еще не гарантирует близости на этом отрезке их производных и , т.е. малого расхождения угловых коэффициентов касательных к рассматриваемым кривым при одинаковых значениях аргумента (рис. 10).
Рис.10
5.2. Формулы приближенного дифференцирования, основанные на первой интерполяционной формуле Ньютона
Пусть имеем функцию , заданную в равноотстоящих точках отрезка с помощью значений . Для нахождения на производных , и т.д. функцию приближенно заменим интерполяционным полиномом Ньютона, построенного для системы узлов , т.е.
Имеем
где .
Перепишем ее, выполнив умножение:
Так как
то
(5.3)
Аналогично, так как
то
. (5.4)
Таким же способом в случае надобности можно вычислить и производные функции любого порядка.
Иногда требуется находить производные функции в основных табличных точках . В этом случае формулы численного дифференцирования упрощаются. Так как каждое табличное значение можно считать за начальное, то положим тогда будем иметь
(5.5)
и
. (5.6)
Пример. Найти функции , заданной таблицей 6.
Таблица 6
|
|
|
|
|
50 55 60 65 |
1.6990 1.7404 1.7782 1.8129 |
414 378 347 |
-36 -31 |
5 |
Решение. Здесь . Используя первую строчку таблицы, на основании формулы (5.5), с точностью до разностей третьего порядка, будем иметь
Для оценки точности найденного значения, заметим, что так как табулированная выше функция есть , то Следовательно, Таким образом, результаты совпадают с точностью до четвертого десятичного знака.