![](/user_photo/_userpic.png)
- •Введение
- •Определители, матрицы. Системы линейных уравнений
- •2. Линейные пространства.
- •Решение систем линейных уравнений
- •3. Подпространства, образованные решениями линейной однородной системы (лос) уравнений. Нахождение общего решения лос
- •4. Линейные преобразования и действия Над ними
- •5. Собственные значения и собственые векторы матрицы
- •6. Приведение квадратичной формы к каноническому виду
- •7. Векторы и действия над ними
- •8. Плоскость и прямая в пространстве
- •9. Кривые второго порядка на плоскости
- •10. Приведение общего уравнения кривой второго порядка к каноническому виду
- •11. Исследование общего уравнения кривой. Поверхности второго порядка.
- •12. Комплексные числа. Теорема
- •И ее предел.
- •13. Функция. Предел функции
- •14. Применение эквивалентных бесконечно малых к вычислению пределов
- •15. Производная функции и ее вычисление
- •16. Дифференциал функции. Применение дифференциала
- •17. Неопределенный интеграл
- •18. Определенный интеграл
- •19. Несобственные интегралы
- •20. Приложения определённого интеграла
- •2) Вычисление объёмов тел по известным поперечным сечениям
- •21. Функции нескольких переменных Основные теоретические сведения
- •22. Частные производные первого порядка. Полный дифференциал функции и его применение к приближенным вычислениям
- •1) Случай одной независимой переменной.
- •23. Производные и дифференциалы высших порядков
- •1) Случай одной независимой переменной.
- •2) Случай нескольких независимых переменных.
- •24. Формула Тейлора для функции двух переменных
- •25. Экстремум функции нескольких независимых переменных
- •26. Условный экстремум. Наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области
- •27. Дифференциальные уравнения
- •28. Система линейных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами
- •29. ЧиСлоВые ряды
- •30. Функциональные ряды
- •31. Тригонометрические ряды Фурье
- •32. Интеграл Фурье
- •33. Двойной интеграл
- •34. Тройные интегралы
- •35. Криволинейные интегралы
- •36. Поверхностные интегралы
- •Поверхностные интегралы второго рода
- •Так же получены формулы:
- •37. Теория поля
- •Скалярные поля
- •Формула Остроградского на плоскости
- •Циркуляция вектора вдоль контура не зависит от выбора координатной системы.
- •38. Оператор Гамильтона
- •Дифференциальные операции второго порядка
- •39. Функция комплексного переменного
- •40. Дифференцирование функций комплексного переменного, условия коши — римана
- •41. Интегрирование функций комплексного переменного
- •42. Ряд лорана
- •43. Преобразование Лапласа
- •44. Задача коши для обыкновенных линейных дифференциальных уравнений
- •Заключение
- •Библиографический список
- •35. Криволинейные интегралы ……………………………….302
- •394026 Воронеж, Московский просп.,14
4. Линейные преобразования и действия Над ними
Говорят,
в линейном векторном пространстве R
задано преобразование А,
если каждому элементу (вектору)
по некоторому закону (или правилу)
ставится в соответствие вектор
. Преобразование А
называют
линейным , если для любых векторов
и любого действительного числа
выполняется
равенства
и
.
Для простоты возьмём линейное пространство R3 (n=3) .
Пусть
в этом пространстве R3
имеются два базиса:
(старый)
и
(новый), связанные равенствами
(**)
где
матрица перехода от старого базиса к
новому, столбцы, которой являются
координатами в формулах перехода (**).
Если вектор
задан в базисе
,
то его координаты
в новом базисе можно найти по формуле
,
где матрица линейного преобразования
является обратной для матрицы A;
т.к. detA
,то - невырожденная матрица. Заметим,
что в конечномерном пространстве R
линейное преобразование (оператор)
называется невырожденным , если
определитель матрицы этого линейного
преобразования отличен от нуля. Матрицу
линейного оператора (преобразования )
при переходе от одного ортонормированного
базиса к другому находится по формуле
,
где A-матрица
перехода от старого базиса к новому , B
матрица оператора в старом базисе
Пример. Найти координаты вектора в базисе
( ), если он задан в базисе ( ).
Дано:
,
,
,
Решение.
Имеем по условию разложение вектора
старом
базисе
.
Требуется разложить вектор
в новом базисе
,
т.е. надо найти новые координаты
вектора
Учитывая
условие задачи, запишем
+
+
или в координатной форме
Векторное
уравнение равносильно трем скалярным
уравнениям
Это линейная неоднородная система(ЛНС), у которой
det A=-1. Решаем ЛНС уравнений по правилу Крамера:
,
,
Находим:
,
.
Таким образом,
=(5,6,7).
5. Собственные значения и собственые векторы матрицы
Пусть Rn - заданное n-мерное линейное пространство.
Ненулевой
вектор
называется собственным вектором
линейного оператора (преобразования)
,заданного матрицей А
, если найдется такое число
,
что выполняется равенство
.
Само число
называют
собственным (или характеристическим)
числом оператора А,
соответствующим собственному вектору
.
Собственные (значения) матрицы А
являются корнями характеристического
уравнения det
(A-
E)=0,
являющегося алгебраическим уравнением
n-ой
степени. Если
,
,
то характеристическое уравнение в
координатной форме имеет вид:
=0
(***)
Для нахождения ненулевого собственного вектора
=
,
отвечающему собственному числу
,
m=1,2,…n
надо решить
линейную однородную систему (ЛОС)
уравнений:
Эта ЛОС уравнений имеет бесконечно много решений. Поэтому, собственному значению соответствует семейство собственных векторов. Выбирают любой из них.
Если
характеристическое уравнение (***) имеет
n
различных корней, то соответствующие
им собственные векторы
…
-
линейно независимые и образуют базис.
Если среди корней характеристического
уравнения (*) имеются кратные, т.е. равные
корни, например,
-
корень кратности к,
то хорошо найти к
линейно независимых собственных векторов
…
,
отвечающих собственному значению,
кратности к;
их число m=n-r
, где n-порядок
матрицы
(A-
E),
r=Rang
(A-
E);
.
Пример.
Найти
собственные значения и собственные
векторы матрицы А.
Дано:
.
Решение. Решаем характеристическое уравнение
или
,
.
Откуда -собственные значения матрицы А.
Для
простого корня
находим собственный вектор
=
,
решая ЛОС уравнений
коэффициенты
этой системы равны элементам определителя
det (A-
E)=0,
при
:
.
Решим
методом Гаусса:
, получим
или
,
где
-свободная переменная , полагая
,
получаем,
=
-семейство собственных векторов,
отвечающих собственному значению
.
Например,
=
.
Для кратного корня
сначала определим число линейно
независимых собственных векторов.
Подставляя
в левую часть характеристического
уравнения, получаем матрицу
.
Ее порядок n=3,
ранг r=1
(наивысший
порядок миноров, не равных нулю). Число
линейно независимых собственных векторов
равно m=n-r=2
совпадает с кратностью корня к=2.
Найдем их.
Имеем
или
.Полагая
где
-любые
константы, одновременно не обращающееся
в ноль, получим
=
-
семейство собственных векторов для
.
Пусть
.
Тогда
=
.
Пусть
.
Тогда
=
.
Два
линейно независимых собственных вектора
и
,
соответствующих собственному числу
.
Ответ:
,
–
собственные значения матрицы A,
,
,