- •Операции над комплексными числами.
- •2.1. Условие дифференцируемости функции комплексной переменной
- •2.2. Геометрический смысл аргумента и модуля производной
- •2.3. Гармонические функции
- •3. Элементарные функции комплексной переменной (кп)
- •3.1. Дробно-линейная функция
- •3. Рассмотрим общее дробно-линейное преобразование
- •3.3. Показательная функция и логарифм
- •4.Разложение функции комплексной переменной в ряды тейлора и лорана
- •4.1. Сходимость и равномерная сходимость
- •4.2. Свойства равномерно сходящихся рядов
- •4.3. Область сходимости степенного ряда
- •4.4. Ряд Тейлора
- •4.5. Способы разложения функций в ряд Тейлора
- •4.6. Ряд Лорана, разложение функций в ряд Лорана.
- •5. Вычеты и их приложения
- •Библиографический список
- •394026 Воронеж, Московский просп., 14
2.3. Гармонические функции
Гармонической в области D функцией называется действительная функция двух действительных переменных, обладающая в этой области непрерывными вторыми частными производными и удовлетворяющая дифференциальному уравнению
/здесь - символ дифференциального оператора/.
Это уравнение обычно называют уравнением Лапласа. Однако Лаплас рассмотрел его в 1782 г., а задолго до него это уравнение использовал Л. Эйлер в своих работах по гидродинамике.
Заметим, что в силу линейности уравнения Лапласа любая линейная комбинация гармонических функций является гармонической функцией.
Гармонические функции весьма популярны в приложениях: потенциалы важнейших векторных полей, рассматриваемых в физике, являются гармоническими функциями, и любую гармоническую функцию можно представить физически как потенциал некоторого поля.
Поэтому очень часто теорию гармонических функций называют теорией потенциала.
Установим связь между понятиями аналитических и гармонических функций. Эта связь выражается двумя простыми теоремами.
Теорема 1. Действительная и мнимая части произвольной функции , однозначной и аналитической в области D, являются в этой области гармоническими функциями.
Так как аналитические функции обладают производными любого порядка, то условия Даламбера-Эйлера (2) можно дифференцировать по x и y . Продифференцировав первое из них по x, второе – по у, в силу теоремы о смешанных производных получим
, .
Две гармонические в области D функции и , связанные условиями Даламбера-Эйлера, называются сопряженными.
Теорема 2. Для всякой функции , гармонической в односвязной области D, можно найти сопряженную с ней гармоническую функцию .
Рассмотрим интеграл
, где - фиксированная, а - переменная точка области D. В силу уравнения Лапласа
, этот интеграл не зависит от пути интегрирования и является функцией только точки z. Пользуясь свойствами криволинейных интегралов, получим , . Следовательно, функция и является искомой, сопряженной с . Так как функция определяется своими частными производными с точностью до постоянного слагаемого, то совокупность всех гармонических функций, сопряженных с , задается формулой
, где с – произвольная действительная постоянная.
В многосвязной области интеграл определяет, вообще говоря, многозначную функцию. Интеграл может принимать различные значения вдоль путей L и , соединяющих точки и , если эти пути нельзя деформировать друг в друга, т.е. если внутри области, ограниченной L и , имеются точки не принадлежащие D.
При практическом восстановлении аналитической функции по её действительной (или мнимой) части можно воспользоваться следующим рассуждением.
Пусть , , функция удовлетворяет соотношению . На условия Даламбера-Эйлера смотрим как на систему дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка относительно неизвестной функции :
;
Из первого уравнения следует, что
так как по частному дифференциалу функция восстанавливается с точностью до слагаемого, зависящего от переменной y (вспомните, что по теореме о первообразной функция восстанавливается по полному дифференциалу с точностью до аддитивной постоянной). При вычислении интеграла , y – считается постоянным параметром.
Из второго условия Даламбера-Эйлера получим
.
В силу гармоничности
Таким образом,
.
Постоянную с можно вычислить, если известно значение восстанавливаемой функции в некоторой точке : .
Пример: найти аналитическую функцию по известной ее части и дополнительном условии .
Решаем с помощью уравнений Даламбера-Эйлера:
функция φ(x) пока неизвестна.
Дифференцируя по x и используя второе из условий аналитичности, получим
откуда , а значит , .
Итак, , и, следовательно,
.
Здесь мы воспользовались определением показательной функции (см. п. 3).
Постоянную с найдем из условия , т.е. ; .