![](/user_photo/_userpic.png)
- •Программа курса “алгебра и геометрия ” (первый семестр) Элементы аналитической геометрии и линейной алгебры
- •Индивидуальные задания Задача №1
- •Задача №2
- •Задача №3
- •Задача №4
- •Задача №2
- •Задача №3
- •Задача №4
- •Задача №5
- •Задача №6
- •Задача №7
- •Библиографический список
- •Содержание
- •Методические указания
- •Составители: Бырдин Аркадий Петрович
- •394026 Воронеж, Московский просп., 14
Задача №2
Даны координаты вершин пирамиды :
,
,
,
.
Найти:
длину ребра
;
угол между ребрами и ;
уравнение плоскости и угол между ребром
и плоскостью ;
уравнение высоты, опущенной из вершины на грань
и ее длину;
площадь грани и объем пирамиды.
Сделать чертеж.
Решение. 1) Длина ребра равна расстоянию между точками и :
.
2) Найдем координаты
векторов, которые совпадают с выходящими
из вершины
ребрами пирамиды:
Угол между ребрами
и
равен углу
между векторами
и
.
Определим этот угол, используя формулу
скалярного произведения векторов:
.
Отсюда
Тогда
.
3) Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки, имеет вид
.
Подставляя в уравнение координаты точек , и получим
,
или
.
Таким образом, уравнение плоскости имеет вид
или
.
Составим уравнение прямой, проходящей через точки и . Уравнение прямой, проходящей через две точки, имеет вид
,
где
– координаты первой точки,
– координаты второй точки. Подставляя
в уравнение координаты точек
и
,
получим
.
Угол между прямой
и плоскостью
определяется по формуле
Воспользуемся
этой формулой для вычисления угла между
ребром
и плоскостью
:
Отсюда
.
4) Уравнение высоты
найдем как уравнение прямой, проходящей
через точку
перпендикулярно плоскости
,
задаваемой уравнением
.
Из условия перпендикулярности прямой
и плоскости следует
,
поэтому уравнение высоты
имеет вид
.
Для нахождения
длины высоты можно использовать формулу
.
Объем
и площадь
будут найдены в
п.5). Поэтому
.
5) Грань
представляет
собой треугольник, площадь которого
равна половине площади параллелограмма,
построенного на векторах
и
.
Найдем векторное произведение этих векторов. Имеем
.
.
Следовательно,
.
Для вычисления
объема пирамиды воспользуемся смешанным
произведением векторов. Напомним,
смешанное произведение трех векторов
по модулю равно объему параллелепипеда,
построенного на этих векторах. А объем
пирамиды равен
части объема этого параллелепипеда.
Имеем
.
Поэтому
.
Задача №3
Пример 1.
Найти уравнение геометрического места
точек, одинаково удаленных от начала
координат и точки
.
Решение.
Пусть точка
принадлежит искомой линии. Расстояние
между точками
и
вычисляется по формуле
.
По условию задачи
,
поэтому
.
Возведем обе
части уравнения в квадрат. Приводя
подобные члены, получим
.
Это и есть уравнение искомого
геометрического места точек. Рекомендуется
проверить, что эта прямая перпендикулярна
отрезку
и проходит через его середину.
Пример 2.
Найти уравнение геометрического места
точек, каждая точка которой находится
вдвое дальше от точки
,
чем от точки
.
Решение. Пусть точка принадлежит искомой линии. По условию задачи
Найдем расстояния от точки до точек и
,
.
Тогда
.
Возведем обе части уравнения в квадрат
.
Преобразуем это уравнение
,
.
Приведем это уравнение к каноническому виду, выделив полные квадраты
,
,
Это есть каноническое
уравнение окружности с центром в точке
и радиусом
.
Для изображения этой окружности сделаем
параллельный перенос осей координат в
точку
.
Чертеж в системе координат
приведен на рис. 2.
Пример 3.
Найти уравнение геометрического места
точек, каждая точка которой равноудалена
от точки
и от прямой
.
Рис. 2
Р
x
расстояние от точки
до этой прямой. По условию задачи
Для вычисления
расстояния от точки
до прямой
воспользуемся формулой
.
Тогда
,
или
.
Возведем обе части уравнения в квадрат
,
,
Приведем это
уравнение к виду
.
,
,
.
Это есть каноническое
уравнение параболы. Вершина параболы
находится в точке
,
параметр
,
а ветви параболы направлены в положительную
сторону оси
.
Для выполнения чертежа перенесем начало
координат в точку
.
Тогда в системе координат
парабола будет иметь вид (рис.3)
Рис. 3